Jos opiskelet trigiä tai laskentaa – tai valmistaudut siihen – sinun on tutustuttava yksikköympyrään. Yksikköympyrä on olennainen työkalu kulman sinin, kosinin ja tangentin ratkaisemiseen. Mutta miten se toimii? Ja mitä tietoja sinun tulee tietää voidaksesi käyttää niitä?

Tässä artikkelissa selitämme, mikä yksikköympyrä on ja miksi sinun pitäisi tietää se. Annamme myös kolme vinkkiä, jotka auttavat sinua muistamaan yksikköympyrän käytön.

Ominaisuuskuva: Gustavb /Wikimedia

Yksikköympyrä: perusjohdanto

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoran, joka on vedetty ympyrän keskipisteestä mihin tahansa ympyrän reunan pisteeseen, sen pituus on aina 1. (Tämä tarkoittaa myös, että ympyrän halkaisija on 2, koska halkaisija on kaksi kertaa säteen pituus.)

Tyypillisesti, yksikköympyrän keskipiste on kohta, jossa x-akseli ja y-akseli leikkaavat, tai koordinaateissa (0, 0):

Yksikköympyrä tai liipaisuympyrä, kuten se myös tunnetaan, on hyödyllistä tietää, koska sen avulla voimme helposti laskea minkä tahansa kulman kosinin, sinin ja tangentin välillä 0° - 360° (tai 0 ja 2π radiaania).

Kuten yllä olevasta kaaviosta näet, piirtämällä säteen mihin tahansa kulmaan (merkitty kuvassa ∝), luot suorakulmaisen kolmion. Tässä kolmiossa kosini on vaakaviiva ja sini pystysuora viiva. Toisin sanoen, kosini =x-koordinaatti ja sini = y-koordinaatti. (Kolmion pisin viiva eli hypotenuusa on säde ja on siten yhtä suuri kuin 1.)

Miksi tämä kaikki on tärkeää? Muista, että voit ratkaista kolmion sivujen pituudet käyttämällä Pythagoraan lause eli $a^2+b^2=c^2$ (jossa a ja b ovat kolmion sivujen pituudet ja c on hypotenuusan pituus).

Tiedämme, että kulman kosini on yhtä suuri kuin vaakaviivan pituus, sini on yhtä suuri kuin pystysuoran viivan pituus ja hypotenuusa on yhtä suuri kuin 1. Siksi voimme sanoa, että kaava mille tahansa suorakulmaiselle kolmiolle yksikköympyrässä on seuraava:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Koska ^2=1$, voimme yksinkertaistaa tätä yhtälöä seuraavasti:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Ole tietoinen siitä nämä arvot voivat olla negatiivisia riippuen muodostuneesta kulmasta ja siitä, mihin neljännekseen x- ja y-koordinaatit kuuluvat (selitän tämän myöhemmin tarkemmin).

Tässä on yleiskatsaus kaikista yksikköympyrän tärkeimmistä kulmista asteina ja radiaaneina:

Yksikköympyrä — asteet

käyttöjärjestelmäesimerkkejä

Yksikköympyrä – radiaanit

Mutta entä jos kolmiota ei muodostu? Katsotaanpa mitä tapahtuu, kun kulma on 0°, jolloin muodostuu vaakasuora suora viiva pitkin x-akselia:

Tällä rivillä x-koordinaatti on 1 ja y-koordinaatti on 0. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin x-koordinaatti ja sini on yhtä suuri kuin y-koordinaatti, jotta voimme kirjoittaa tämän:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Mitä jos kulma on 90° ja muodostaa täysin pystysuoran linjan y-akselia pitkin?

Tässä voimme nähdä, että x-koordinaatti on 0 ja y-koordinaatti on 1. Tämä antaa meille seuraavat arvot sinille ja kosinille:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Tämä iskulause pätee ehdottomasti, jos et ole matematiikan ystävä.

Miksi sinun pitäisi tietää yksikköympyrä

Kuten edellä todettiin, yksikköympyrä on hyödyllinen, koska sen avulla voimme helposti ratkaista minkä tahansa asteen tai radiaanin sinin, kosinin tai tangentin. Yksikköympyräkaavion tunteminen on erityisen hyödyllistä, jos sinun on ratkaistava tietyt trig-arvot matematiikan kotitehtävissä tai jos olet valmistautumassa opiskelemaan laskemista.

Mutta kuinka yksikköympyrän tunteminen voi auttaa sinua? Oletetaan, että saat seuraavan tehtävän matematiikan kokeessa – ja oletkin ei saa käyttää laskinta sen ratkaisemiseen:

$$sin30°$$

Mistä aloitat? Katsotaanpa yksikköympyräkaaviota uudelleen – tällä kertaa kaikki suuret kulmat (sekä asteina että radiaaneina) ja niitä vastaavat koordinaatit:

Jim.belk /Wikimedia

Älä hukku! Muista, että ratkaiset vain $sin30°$. Katsomalla tätä kaaviota voimme nähdä sen y-koordinaatti on yhtä suuri kuin /2$ 30° kulmassa. Ja koska y-koordinaatti on sini, vastauksemme on seuraava:

$$sin30°=1/2$$

Mutta entä jos saat ongelman, joka käyttää radiaaneja asteiden sijaan? Prosessi sen ratkaisemiseksi on edelleen sama. Oletetaan esimerkiksi, että saat ongelman, joka näyttää tältä:

$$cos{{3π}/4}$$

Yllä olevan kaavion avulla voimme jälleen nähdä, että ${3π}/4$ (joka on 135°) x-koordinaatti (tai kosini) on $-{√2}/2$. Tältä vastauksemme tähän ongelmaan näyttäisi silloin:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Kaikki tämä on melko helppoa, jos sinulla on yllä oleva yksikköympyräkaavio viitteenä. Mutta useimmiten (jos ei koko ajan) näin ei tapahdu, ja sinun odotetaan vastaavan tällaisiin matemaattisiin kysymyksiin käyttämällä vain aivojasi.

Joten kuinka voit muistaa yksikköympyrän? Lue parhaat vinkkimme!

Kuinka muistaa yksikköympyrä: 3 tärkeää vinkkiä

Tässä osiossa annamme sinulle parhaat vinkit trig-ympyrän muistamiseen, jotta voit käyttää sitä helposti kaikissa sitä vaativissa matemaattisissa tehtävissä.

En suosittele harjoittelemaan yksikköympyrää post-itillä, mutta hei, se on alku.

#1: Muista yhteiset kulmat ja koordinaatit

Jotta voit käyttää yksikköympyrää tehokkaasti, sinun on muistaa yleisimmät kulmat (sekä asteina että radiaaneina) sekä niitä vastaavat x- ja y-koordinaatit.

Yllä oleva kaavio on hyödyllinen yksikköympyräkaavio tarkasteltavaksi, koska se sisältää kaikki tärkeimmät kulmat sekä asteina että radiaaneina niiden vastaavien x- ja y-akselien koordinaattipisteiden lisäksi.

Yleinen suojausvirhe

Tässä on kaavio, jossa luetellaan samat tiedot taulukkomuodossa:

Nyt, vaikka olet enemmän kuin tervetullut yrittämään muistaa kaikki nämä koordinaatit ja kulmat, tämä on paljon muistettavista asioista.

Onneksi on olemassa temppu, jonka avulla voit muistaa yksikköympyrän tärkeimmät osat.

Katso yllä olevia koordinaatteja ja huomaat selkeän kuvion: kaikki pisteet (pois lukien 0°, 90°, 270° ja 360°) Vaihtoehtoisesti vain kolme arvoa (joko positiivinen tai negatiivinen):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Jokainen arvo vastaa lyhyt, keskipitkä tai pitkä viiva sekä kosinille että sinille:

Tässä on mitä nämä pituudet tarkoittavat:

Lyhyt vaaka- tai pystyviiva= /2$ Keskipitkä vaaka- tai pystyviiva= ${√2}/2$ Pitkä vaaka- tai pystyviiva= ${√3}/2$

Jos esimerkiksi yrität ratkaista $cos{π/3}$, sinun pitäisi tietää heti, että tämä kulma (joka on 60°) osoittaa lyhyt vaakasuora viiva yksikköympyrässä. Siksi, sen vastaavan x-koordinaatin on oltava /2$ (positiivinen arvo, koska $π/3$ luo pisteen koordinaattijärjestelmän ensimmäiseen neljännekseen).

Lopuksi, vaikka on hyödyllistä muistaa kaikki yllä olevan taulukon kulmat, huomaa se ylivoimaisesti tärkeimmät muistettavat näkökohdat ovat seuraavat:

• 30° / $p/6 dollaria
• 45° / $p/4 $
• 60° / $p/3 $

Käsittele negatiivisia ja positiivisia puolia kuten kaapeleita, jotka voivat tappaa sinut, jos ne kytketään väärin.

#2: Opi mikä on negatiivista ja mikä on positiivista

On tärkeää pystyä erottamaan positiiviset ja negatiiviset x- ja y-koordinaatit, jotta löydät oikean arvon laukaisuongelmalle. Muistutuksena, Sisään riippuu siitä, onko yksikköympyrän koordinaatti positiivinen vai negatiivinen mihin neljännekseen (I, II, III tai IV) piste kuuluu:

Tässä on kaavio, joka näyttää, onko koordinaatti positiivinen vai negatiivinen tietyn kulman (asteina tai radiaaneina) kvadrantin perusteella:

Oletetaan esimerkiksi, että sinulle annetaan seuraava tehtävä matematiikan kokeessa:

$$cos210°$$

Ennen kuin yrität edes yrittää ratkaista sitä, sinun pitäisi pystyä tunnistamaan, että vastaus on negatiivinen luku koska kulma 210° osuu neljännekseen III (missä x-koordinaatit ovat aina negatiivinen).

Nyt käyttämällä vihjeessä 1 opittua temppua voit selvittää, että 210°:n kulma luo pitkä vaakasuora viiva. Siksi vastauksemme on seuraava:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Osaa ratkaista Tangentti

Lopuksi on tärkeää osata käyttää kaikkea tätä trigiympyrää sekä siniä ja kosinia koskevia tietoja, jotta ratkaise kulman tangentti.

Trigissä kulman θ tangentin löytäminen (joko asteina tai radiaaneina) yksinkertaisesti jaa sini kosinilla:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Oletetaan esimerkiksi, että yrität vastata tähän ongelmaan:

$$ an300°$$

Ensimmäinen askel on määrittää yhtälö sinin ja kosinin suhteen:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Nyt, jotta voimme ratkaista tangentin, meidän on löydettävä sini ja kosini 300°. Sinun pitäisi pystyä tunnistamaan nopeasti, että kulma 300° osuu neljänteen neljännekseen, mikä tarkoittaa sitä kosini tai x-koordinaatti on positiivinen ja sini tai y-koordinaatti on negatiivinen.

Sinun pitäisi myös tietää se heti muodostaa 300° kulman lyhyt vaakaviiva ja pitkä pystysuora viiva. Siksi kosini (vaakaviiva) on yhtä suuri kuin /2$ ja sini (pystyviiva) on yhtä suuri kuin $-{√3}/2$ (negatiivinen y-arvo, koska tämä piste on neljännessä IV) .

Nyt, löytääksesi tangentin, sinun tarvitsee vain kytkeä virta ja ratkaista:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Aika kehrätä matemaattisia taitojasi!

Yksikköpiirin harjoituskysymyssarja

Nyt kun tiedät, miltä yksikköympyrä näyttää ja miten sitä käytetään, testataanpa oppimaasi muutamalla harjoitustehtävällä.

Kysymyksiä

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Vastaukset

1. ${√2}/2$
2. -1/2 dollaria
3. /2$
4. $-√3 $

Vastaus Selitykset

#1: $sin45°$

Tämän ongelman yhteydessä on kaksi tietoa, jotka sinun pitäisi pystyä tunnistamaan heti:

Vastaus on myönteinen,koska kulma 45° on neljännessä I ja kulman sini on yhtä suuri kuin y-koordinaatti

• Kulma 45° luo keskipitkä pystyviiva (heidän)

Koska 45° osoittaa positiivista, keskipitkää viivaa, oikea vastaus on ${√2}/2$.

Jos et ole varma kuinka selvittää tämä, piirrä kaavio, jonka avulla voit määrittää, onko viivan pituus lyhyt, keskipitkä vai pitkä.

#2: $cos240°$

Kuten yllä olevassa ongelmassa 1, on kaksi tietoa, jotka sinun pitäisi pystyä ymmärtämään nopeasti tämän ongelman kanssa:

Vastaus on kielteinen,koska kulma 240° on neljännessä III ja kulman kosini on yhtä suuri kuin x-koordinaatti

• Kulma 240° luo lyhyt vaakasuora viiva (kosinukselle)

Koska 240° osoittaa negatiivista, lyhyttä viivaa, oikea vastaus on -1/2 dollaria.

#3: $cos{5π}/3$

Toisin kuin yllä mainitut ongelmat, tämä ongelma käyttää radiaaneja asteiden sijaan. Vaikka tämä saattaa saada ongelman näyttämään vaikeammalta ratkaista, todellisuudessa se käyttää samoja perusvaiheita kuin kaksi muuta ongelmaa.

Ensin sinun tulee huomata, että kulma ${5π}/3$ on neljännessä IV, joten x-koordinaatti eli kosini on positiivinen luku. Sinun pitäisi myös pystyä kertomaan se${5π}/3$luo lyhyt vaakasuora viiva.

Tämä antaa sinulle tarpeeksi tietoa sen määrittämiseen the vastaus on /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Tämä ongelma koskee tangenttia sinin tai kosinin sijaan, mikä tarkoittaa, että se vaatii meiltä hieman enemmän matematiikkaa. Ensinnäkin, muista peruskaava tangentin löytämiseksi:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Otetaan nyt saamamme tutkinto – ${2π}/3$- ja liitä se tähän yhtälöön:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Sinun pitäisi nyt pystyä ratkaisemaan sini ja kosini erikseen käyttämällä mitä olet muistanut yksikköympyrästä. Koska kulma ${2π}/3$ on kvadrantissa II, x-koordinaatti (tai kosini) on negatiivinen ja y-koordinaatti (tai sini) on positiivinen.

Seuraavaksi sinun pitäisi pystyä määrittämään vaakaviivan kulman perusteella lyhyt rivi, ja pystyviiva on pitkä jono. Tämä tarkoittaa, että kosini on yhtä suuri kuin $-1/2$ ja sini on yhtä suuri kuin ${√3}/2$.

Nyt kun olemme selvittäneet nämä arvot, meidän tarvitsee vain liittää ne alkuperäiseen yhtälöimme ja ratkaista tangentti:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

mikä on lepotila

$$ an {2π}/3=-√3$$

Mitä seuraavaksi?

Jos suoritat pian SAT- tai ACT-kokeen, sinun on tiedettävä joitain triggejä, jotta voit pärjätä hyvin matematiikan osiossa. Tutustu asiantuntijaoppaihimme SAT:n ja ACT:n käynnistämiseksi, jotta voit oppia tarkalleen, mitä sinun tulee tietää testipäivää varten!

Yksikköympyrän ulkoa opettelemisen lisäksi on hyvä idea opetella liittämään numeroita ja liittämään vastauksia . Lue oppaistamme kaikki nämä kaksi hyödyllistä strategiaa, joita voit käyttää missä tahansa matematiikan kokeessa – mukaan lukien SAT ja ACT!