Käyrän alla oleva pinta-ala on käyrän ja koordinaattiakselien ympäröimä pinta-ala, joka lasketaan ottamalla hyvin pienet suorakulmiot ja ottamalla sitten niiden summa jos otetaan äärettömän pieniä suorakulmioita, niin niiden summa lasketaan ottamalla näin muodostetun funktion raja.

Tietylle välissä [a, b] määritellylle funktiolle f(x) f(x):n käyrän alla oleva pinta-ala (A) välillä 'a' - 'b' saadaan kaavalla A = ∫ _a ^b f(x)dx . Käyrän alla oleva pinta-ala lasketaan ottamalla funktion itseisarvo väliltä [a, b], summana alueen yli.

Tässä artikkelissa opimme käyrän alla olevasta alueesta, sen sovelluksista, esimerkeistä ja muista yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Mikä on käyrän alla oleva alue?
• Käyrän alla olevan alueen laskeminen
• Reimannin summien käyttö
• Määrällisten integraalien käyttö
• Arvioitu käyrän alla oleva pinta-ala
• Käyrän alaisen alueen laskeminen
• Area Under Curve kaavat

Mikä on käyrän alla oleva alue?

Käyrän alla oleva pinta-ala on minkä tahansa x-akselin ja annetuilla reunaehtoilla varustetun käyrän ympäröimä alue, eli alue, jota rajoittavat funktio y = f(x), x-akseli ja linja x = a ja x = b. Joissakin tapauksissa rajaehtoja on vain yksi tai ei ollenkaan, koska käyrä leikkaa x-akselin joko kerran tai kahdesti.

Käyrän alla oleva pinta-ala voidaan laskea erilaisilla menetelmillä, kuten Reimannin summa, ja Varma integraali ja voimme myös arvioida alueen käyttämällä perusmuotoja eli kolmiota, suorakulmiota, puolisuunnikasta jne.

Lue tarkemmin: Laskeminen matematiikassa

Käyrän alla olevan alueen laskeminen

Käyrän alla olevan alueen laskemiseksi voimme käyttää seuraavia menetelmiä, kuten:

• Reimannin summien käyttö
• Määrällisten integraalien käyttö
• Approksimaatiota käyttämällä

Tutkitaanpa näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti seuraavasti:

Reimannin summien käyttö

Reimann summat lasketaan jakamalla tietyn funktion kaavio pienemmiksi suorakulmioiksi ja summaamalla kunkin suorakulmion pinta-alat. Mitä enemmän suorakulmioita tarkastelemme jakamalla tarjotun välin, sitä tarkempi tällä lähestymistavalla laskettu alue on; kuitenkin, mitä enemmän osaväliä tarkastelemme, sitä vaikeammaksi laskelmat tulevat.

Reimann Sum voidaan luokitella kolmeen muuhun kategoriaan, kuten:

• Vasen Reimann Sum
• Oikea Reimann Sum
• Keskipiste Reimann Sum

Pinta-ala Reimannin summalla on annettu seuraavasti:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

missä,

• f(x _i ) on integroitavan funktion arvo i ^th näytepiste
• Δx = (b-a)/n on kunkin osavälin leveys,
  • a ja b ovat integraation rajat ja
  • n on osavälien lukumäärä
• ∑ edustaa kaikkien termien summaa välillä i=1 - n,

Esimerkki: Etsi funktion f(x) = x käyrän alla oleva alue ² rajojen x = 0 ja x = 2 välillä.

Ratkaisu:

Haluamme löytää tämän funktion käyrän alla olevan alueen välillä x = 0 ja x = 2. Käytämme vasemmanpuoleista Reimannin summaa, jossa on n = 4 osaväliä alueen approksimointiin.

Lasketaan käyrän alla oleva pinta-ala käyttämällä 4 osaväliä.

Siten osavälien leveys, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Kaikki 4 osaväliä ovat

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Nyt voimme arvioida funktion näillä x-arvoilla löytääksemme kunkin suorakulmion korkeudet:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Käyrän alla oleva pinta-ala voidaan nyt arvioida summaamalla näiden korkeuksien muodostamien suorakulmioiden pinta-alat:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Siksi f(x) käyrän alla oleva pinta-ala = x²välillä x = 0 ja x = 2, likiarvo käyttämällä vasemmanpuoleista Reimannin summaa, jossa on 4 osaväliä, on noin 1,25.

Määrällisten integraalien käyttö

Definite Integral on melkein sama kuin Reimannin summa, mutta tässä osavälien lukumäärä lähestyy ääretöntä. Jos funktio on annettu välille [a, b], niin tarkka integraali määritellään seuraavasti:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Tarkka integraali antaa tarkan käyrän alla olevan alueen, toisin kuin Reimannin summa. Tarkka integraali lasketaan etsimällä funktion antiderivaata ja arvioimalla se integroinnin rajoilla.

Alue X-akselin suhteen

Alla olevassa kuvassa näkyvä käyrä on esitetty käyttämällä y = f(x). Meidän on laskettava käyrän alla oleva pinta-ala x-akselin suhteen. X-akselin käyrän raja-arvot ovat a ja b. Tämän käyrän alla oleva pinta-ala x-akselin suhteen lasketaan pisteiden x = a ja x = b väliltä. Harkitse seuraavaa käyrää:

Kaava käyrän alla olevalle pinta-alalle w.r.t x-akselille saadaan seuraavasti:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

missä,

• A on käyrän alla oleva alue
• ja tai f(x) on käyrän yhtälö
• a, ja b ovat x-arvoja tai integrointirajaa, jolle meidän on laskettava pinta-ala

Alue Y-akselin suhteen

Yllä olevassa kuvassa näkyvä käyrä on esitetty käyttämällä x = f(y). Meidän on laskettava käyrän alla oleva pinta-ala suhteessa Y-akseliin. Y-akselin käyrän raja-arvot ovat a ja b. Alue A tämän käyrän alla suhteessa Y-akseliin pisteiden y = a ja y = b välillä. Harkitse seuraavaa käyrää:

Kaava käyrän alla olevalle alueelle w.r.t y-akselille saadaan seuraavasti:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

missä,

• A on käyrän alla oleva alue
• x tai f(y) on käyrän yhtälö
• a, b ovat y-leikkauksia

Lisätietoja, Kahden käyrän välinen alue

Arvioitu käyrän alla oleva pinta-ala

Käyrän alla olevan alueen arvioiminen edellyttää yksinkertaisten geometristen muotojen, kuten suorakulmioiden tai puolisuunnikkaan, käyttämistä käyrän alla olevan alueen arvioimiseksi. Tämä menetelmä on hyödyllinen, kun funktiota on vaikea integroida tai kun funktion antiderivaastaa ei ole mahdollista löytää. Approksimaation tarkkuus riippuu käytettyjen muotojen koosta ja lukumäärästä.

Käyrän alaisen alueen laskeminen

Voimme helposti laskea eri käyrien pinta-alan käyttämällä tässä artikkelissa käsiteltyjä käsitteitä. Tarkastellaan nyt joitain esimerkkejä käyrän alaisen alueen laskemisesta joidenkin yleisten käyrien osalta.

Käyrän alla oleva pinta-ala: Paraabeli

Tiedämme, että standardiparaabeli on jaettu kahteen symmetriseen osaan joko x- tai y-akselilla. Oletetaan, että otamme paraabelin y²= 4ax ja sitten sen pinta-ala lasketaan arvosta x = 0 arvoon x = a. Ja tarvittaessa tuplaamme sen pinta-alan löytääksemme paraabelin alueen molemmista kvadrantista.

Laske pinta-alaa,

ja²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Siten paraabelin alla oleva pinta-ala x = 0 - x = a on 8/3a ² neliöyksiköitä

Käyrän alla oleva alue: Ympyrä

Ympyrä on suljettu käyrä, jonka ympärysmitta on aina yhtä etäisyydellä sen keskustasta. Sen pinta-ala lasketaan laskemalla ensin pinta-ala ensimmäisessä kvadrantissa ja kertomalla se sitten neljällä kaikille neljälle neljännekselle.

Oletetaan, että otamme ympyrän x²+ ja²= a²ja sitten sen pinta-ala lasketaan x = 0:sta x = a:han ensimmäisessä kvadrantissa. Ja tarvittaessa nelinkertaistamme sen pinta-alan löytääksemme ympyrän alueen.

pinta-alan laskeminen,

x²+ ja²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 ilman^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.ilman^-1} - 0]

regexp_like mysql:ssä

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Siten ympyrän alla oleva pinta-ala on pa ² neliöyksiköitä

Käyrän alla oleva pinta-ala: Ellipsi

Ympyrä on suljettu käyrä. Sen pinta-ala lasketaan laskemalla ensin pinta-ala ensimmäisessä kvadrantissa ja kertomalla se sitten neljällä kaikille neljälle neljännekselle.

Oletetaan, että otamme ympyrän (x/a)²+ (y/b)²= 1 ja sitten sen pinta-ala lasketaan x = 0:sta x = a:hen ensimmäisessä kvadrantissa. Ja tarvittaessa nelinkertaistamme sen pinta-alan löytääksemme ellipsin alueen.

pinta-alan laskeminen,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 ilman^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.ilman^-1} - 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Siten ellipsin alla oleva alue on πab neliöyksiköitä.

Area Under Curve kaavat

Alla on taulukoitu kaava käyrän alaisen pinta-alan eri laskentatyypeille:

Myös Lue

• Integraalit
• Alue määrättynä integraalina

Esimerkkejä käyrän alla olevasta alueesta

Esimerkki 1: Etsi pinta-ala käyrän y alla ² = 12x ja X-akseli.

Ratkaisu:

Annettu käyräyhtälö on y²= 12x

Tämä on paraabeliyhtälö, jossa a = 3, joten y²= 4(3)(x)

Vaaditun alueen kaavio näkyy alla:

X-akseli jakaa yllä olevan paraabelin kahteen yhtä suureen osaan. Joten voimme löytää alueen ensimmäisestä neljänneksestä ja sitten kertoa sen kahdella saadaksemme vaaditun alueen

Joten voimme löytää tarvittavan alueen seuraavasti:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 neliöyksikköä

Esimerkki 2: Laske käyrän alla oleva pinta-ala x = y ³ – 9 pisteiden y = 3 ja y = 4 välillä.

Ratkaisu:

Annettu käyrän yhtälö on x = y³– 9

Rajapisteet ovat (0, 3) ja (0, 4)

Koska käyrän yhtälö on muotoa x = f(y) ja pisteet ovat myös Y-akselilla, käytämme kaavaa,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 neliöyksikköä

Esimerkki 3: Laske käyrän alapuolella oleva pinta-ala y = x ² – 7 pisteiden x = 5 ja x = 10 välillä.

Ratkaisu:

Annettu käyrä on y = x²−7 ja rajapisteet ovat (5, 0) ja (10, 0)

Näin ollen käyrän alla oleva pinta-ala saadaan seuraavasti:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 neliöyksikköä

Esimerkki 4: Etsi paraabelin y ympäröimä alue ² = 4ax ja suora x = a ensimmäisessä kvadrantissa.

Ratkaisu:

Käyrä ja annettu viiva voidaan piirtää seuraavasti:

Nyt käyrän yhtälö on y²= 4ax

Rajapisteet ovat (0, 0) ja (a, 0)

Joten pinta-ala X-akselin suhteen voidaan laskea seuraavasti:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Esimerkki 5: Etsi ympyrän x peittämä alue ² + ja ² = 25 ensimmäisessä kvadrantissa.

Ratkaisu:

Annettu, x²+ ja²= 25

Käyrä voidaan piirtää seuraavasti:

Vaadittu alue on varjostettu yllä olevassa kuvassa. Yhtälöstä näemme, että ympyrän säde on 5 yksikköä.

Kuten, x²+ ja²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Käytämme alueen löytämiseen:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 neliöyksikköä

Usein kysyttyä alueesta käyrän alla

Määritä käyrän alla oleva alue.

Käyrän, akselin ja rajapisteiden ympäröimää aluetta kutsutaan käyrän alla olevaksi alueeksi. Koordinaattiakseleiden ja integrointikaavan avulla käyrän alla oleva pinta-ala on määritetty kaksiulotteiseksi alueeksi.

Kuinka laskea käyrän alla oleva pinta-ala?

Käyrän alla olevan alueen löytämiseen on kolme tapaa, jotka ovat:

• Reimann summat Käyrän jakaminen pienempiin suorakulmioihin ja niiden pinta-alojen lisääminen, jolloin osavälien määrä vaikuttaa tuloksen tarkkuuteen.
• Tarkat integraalit ovat samanlaisia ​​kuin Reimannin summat, mutta käyttävät ääretöntä määrää osaväliä tarkan tuloksen saamiseksi.
• Lähentämismenetelmät käytetään tunnettuja geometrisia muotoja käyrän alla olevan alueen likimääräiseksi arvioimiseksi.

Mitä eroa on määrätyllä integraalilla ja Reimannin summalla?

Keskeinen ero määrätyn integraalin ja Reimannin summan välillä on, että määrätty integraali edustaa tarkkaa aluetta tietyn käyrän alla, kun taas Reimannin summa edustaa alueen likimääräistä arvoa ja summan tarkkuus riippuu valitusta osion koosta.

Voiko käyrän alla oleva pinta-ala olla negatiivinen?

Jos käyrä on akselin alapuolella tai sijaitsee koordinaattiakselin negatiivisissa kvadranteissa, käyrän alla oleva alue on negatiivinen. Tässäkin tapauksessa käyrän alla oleva pinta-ala lasketaan tavanomaisella lähestymistavalla, ja sitten ratkaisu moduloidaan. Silloinkin, kun vastaus on negatiivinen, huomioidaan vain alueen arvo, ei vastauksen negatiivinen merkki.

Mitä käyrän alainen pinta-ala edustaa tilastoissa?

Area under curve (ROC) on kvantitatiivisen diagnostisen testin tarkkuuden mitta.

Kuinka tulkitset käyrän alla olevan alueen merkin?

Aluemerkki osoittaa, että käyrän alla oleva pinta-ala on x-akselin yläpuolella tai x-akselin alapuolella. Jos pinta-ala on positiivinen, käyrän alla oleva pinta-ala on x-akselin yläpuolella ja jos negatiivinen, käyrän alla oleva pinta-ala on x-akselin alapuolella.

Kuinka käyrän alla oleva pinta-ala on arvioitu?

Segmentoimalla alueen pieniksi suorakulmioiksi käyrän alla oleva pinta-ala voidaan arvioida karkeasti. Ja lisäämällä näiden suorakulmioiden pinta-alat, voidaan saada käyrän alla oleva pinta-ala.