Edellytykset: BITTI Kun 'n' janaa on, jokainen niistä on joko vaaka- tai pystysuora. Etsi suurin määrä kolmioita (mukaan lukien kolmiot, joiden pinta-ala on nolla), jotka voidaan muodostaa yhdistämällä janojen leikkauspisteet. Kaksi vaakasuoraa viivasegmenttiä ei mene päällekkäin, eikä myöskään kahta pystysuoraa viivasegmenttiä. Suora esitetään käyttämällä kahta pistettä (neljä kokonaislukua, joista kaksi ovat ensimmäisen pisteen x- ja y-koordinaatteja ja kaksi muuta ovat toisen pisteen x- ja y-koordinaatit) Esimerkkejä:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Idea perustuu Pyyhkäisyviiva-algoritmi . Ratkaisun rakentaminen vaiheittain:
- Tallenna kaikkien viivanosien molemmat pisteet vastaavan tapahtuman kanssa (kuvattu alla) vektoriin ja lajittele kaikki pisteet niiden x-koordinaattien ei-laskevaan järjestykseen.
- Kuvitellaan nyt pystysuora viiva, jonka pyyhkäisimme kaikkien näiden pisteiden poikki, ja kuvataan kolme tapahtumaa sen perusteella, missä pisteessä tällä hetkellä olemme:
- a pystysuora viiva
- Kutsumme aluetta 'aktiivinen' tai vaakasuuntaisia viivoja 'aktiivinen' joilla on ollut ensimmäinen tapahtuma mutta ei toista. Meillä on BIT (binaarinen indeksoitu puu), joka tallentaa kaikkien aktiivisten linjojen "y"-koordinaatit.
- Kun rivi tulee epäaktiiviseksi, poistamme sen "y":n BIT:stä.
- Kun tapahtuu kolmannen tyyppinen tapahtuma, eli kun olemme pystysuoralla viivalla, kysymme puulta sen 'y'-koordinaattien alueella ja lisäämme tuloksen tähän mennessä olevien leikkauspisteiden määrään.
- Lopuksi kerrotaan risteyspisteiden määrä m silloin kolmioiden lukumäärä (mukaan lukien nollaalue) on mC3 .
sisään - vaakasuoran janan vasen pisteulos - vaakasuoran janan oikeanpuoleisin pisteHuomautus: Meidän täytyy huolellisesti lajitella kohdat tarkastella cmp() selvennyksen vuoksi.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Lähtö:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Aputila: O(maxy), jossa maxy = 1000005