Sääntö 2

Jos lausekkeiden LHS ja RHS vaihdetaan, epäyhtälö kääntyy. Sitä kutsutaan käänteisomaisuudeksi.

• Jos a> b, niin b
• Jos a
• Jos a ≥ b, niin b ≤ a
• Jos a ≤ b, niin b ≥ a

Sääntö 3

Jos sama vakio k lisätään tai vähennetään epäyhtälön molemmilta puolilta, niin epäyhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret.

• Jos a> b, niin a + k> b + k
• Jos a> b, niin a – k> b – k

Samoin muiden epätasa-arvojen osalta.

• Jos
• Jos
• Jos a ≤ b, niin a + k ≤ b + k
• Jos a ≤ b, niin a – k ≤ b – k
• Jos a ≥ b, niin a + k ≥ b + k
• Jos a ≥ b, niin a – k ≥ b – k

Epäyhtälön suunta ei muutu vakion lisäämisen tai vähentämisen jälkeen.

Sääntö 4

Jos k on positiivinen vakio, joka kerrotaan tai jaetaan epäyhtälön molemmilla puolilla, niin epäyhtälön suunnassa ei ole muutosta.

• Jos a> b, niin ak> bk
• Jos
• Jos a ≤ b, niin ak ≤ bk
• Jos a ≥ b, niin ak ≥ bk

Jos k on negatiivinen vakio, joka kerrotaan tai jaetaan epäyhtälön molemmilla puolilla, epäyhtälön suunta kääntyy.

• Jos a> b, niin ak
• Jos a> b, niin ak
• Jos a ≥ b, niin ak ≤ bk
• Jos a ≤ b, niin ak ≥ bk

Sääntö 5

Minkä tahansa luvun neliö on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

• a²≥ 0

Sääntö 6

Neliöjuurien ottaminen epäyhtälön molemmille puolille ei muuta epäyhtälön suuntaa.

• Jos a> b, niin √a> √b
• Jos
• Jos a ≥ b, niin √a ≥ √b
• Jos a ≤ b, niin √a ≤ √b

Epäyhtälöiden kuvaaja

Epäyhtälöt ovat joko yhdellä tai kahdella muuttujalla tai meillä on epäyhtälöjärjestelmä, jotka kaikki voidaan piirtää karteesiselle tasolle, jos siinä on vain kaksi muuttujaa. Yhden muuttujan epäyhtälöt piirretään reaalisuoralle ja kaksi muuttujaa suorakulmaiselle tasolle.

Intervallimerkintä epäyhtälöille

Tärkeitä kohtia epäyhtälöiden intervallien kirjoittamiselle:

• Jos suurempi ja yhtä suuri kuin ( ≥ ) tai pienempi kuin yhtä suuri kuin ( ≤ ), loppuarvot ovat mukana, joten käytetään suljettuja tai hakasulkeita [ ].
• Jos suurempi kuin ( > ) tai vähemmän kuin ( < ), loppuarvot jätetään pois, joten käytetään avoimia sulkuja ().
• Sekä positiiviselle että negatiiviselle äärettömälle käytetään avoimia hakasulkuja ().

Seuraava taulukko esittää intervallit eri epäyhtälöille:

Graafi lineaarisille epäyhtälöille yhdellä muuttujalla

Seuraavasta taulukosta ymmärrämme, kuinka eri lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla piirretään todelliselle suoralle.

Epätasa-arvo	Intervalli	Kaavio
x> 1	(1, ∞)	Lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Kaavio lineaarisille epäyhtälöille kahdella muuttujalla

Otetaan esimerkki lineaarisista epäyhtälöistä kahdella muuttujalla.

Tarkastellaan lineaarista epäyhtälöä 20x + 10y ≤ 60, koska mahdolliset ratkaisut tietylle epäyhtälölle ovat (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), ja myös kaikki näiden pisteiden takana olevat pisteet ovat myös epäyhtälön ratkaisu.

Piirretään kaavio annetuista ratkaisuista.

Varjostettu alue kuvaajassa edustaa mahdollisia ratkaisuja annetulle epäyhtälölle.

Lue myös

• Lineaaristen epäyhtälöiden graafinen ratkaisu kahdessa muuttujassa

Eriarvoisuuksien tyypit

On olemassa erilaisia ​​epätasa-arvotyyppejä, jotka voidaan luokitella seuraavasti:

• Polynomiepäyhtälöt: Polynomiyhtälöt ovat epäyhtälöitä, jotka voidaan esittää polynomien muodossa. Esimerkki - 2x + 3 ≤ 10.
• Absoluuttisen arvon epätasa-arvo: Absoluuttiset arvoepäyhtälöt ovat absoluuttisen arvon merkin sisällä olevia eriarvoisuuksia. Esimerkki- |y + 3| ≤ 4.
• Rationaaliset epätasa-arvot: Rationaaliset epäyhtälöt ovat epäyhtälöitä murto-osien ja muuttujien kanssa. Esimerkki- (x + 4) / (x - 5) <5.

Kuinka ratkaista epätasa-arvo

Epätasa-arvon ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavia vaiheita:

• Vaihe 1: Kirjoita epäyhtälö yhtälön muotoon.
• Vaihe 2: Ratkaise yhtälö ja hanki epäyhtälöiden juuret.
• Vaihe 3: Esitä saadut arvot numeroviivalla.
• Vaihe 4: Esitä poissuljetut arvot myös numeroviivalla avoimilla ympyröillä.
• Vaihe 5: Etsi intervallit numeroriviltä.
• Vaihe 6: Ota jokaiselta väliltä satunnainen arvo ja laita nämä arvot epäyhtälöön ja tarkista, täyttääkö se epäyhtälön.
• Vaihe 7: Ratkaisu epätasa-arvoon ovat välit, jotka tyydyttävät epäyhtälön.

Kuinka ratkaista polynomiset epäyhtälöt

Polynomiset epäyhtälöt sisältävät lineaariset epäyhtälöt, neliöepäyhtälöt, kuutioepäyhtälöt jne. Tässä opimme ratkaisemaan lineaarista ja neliöllistä epäyhtälöä.

Lineaaristen epäyhtälöiden ratkaiseminen

Lineaariset epäyhtälöt voidaan ratkaista kuten lineaariset yhtälöt, mutta epäyhtälisyyssäännön mukaan. Lineaariset epäyhtälöt voidaan ratkaista yksinkertaisilla algebrallisilla operaatioilla.

Yksi tai kaksivaiheinen epätasa-arvo

Yksivaiheinen epätasa-arvo on eriarvoisuutta, joka voidaan ratkaista yhdellä askeleella.

Esimerkki: Ratkaise: 5x <10

Ratkaisu:

⇒ 5x <10 [jakamalla molemmat puolet 5:llä]

⇒ x <2 tai (-∞, 2)

Kaksivaiheinen epätasa-arvo on eriarvoisuutta, joka voidaan ratkaista kahdessa vaiheessa.

Esimerkki: Ratkaise: 4x + 2 ≥ 10

Ratkaisu:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Vähentämällä 2 molemmilta puolilta]

⇒ 4x ≥ 8 [jakamalla molemmat puolet 4:llä]

⇒ x ≥ 2 tai [2, ∞)

Yhdistetyt epätasa-arvot

Yhdistetyt epäyhtälöt ovat epätasa-arvoja, joissa on useita eriarvoisuuksia erotettuina ja tai tai. Yhdistelmäepäyhtälöiden ratkaisemiseksi ratkaise epäyhtälöt erikseen ja lopulliselle ratkaisulle suorita saatujen ratkaisujen leikkaus, jos epäyhtälöt erotetaan toisistaan ​​ja ja suorita saatujen ratkaisujen liitto, jos epäyhtälöt erotetaan merkillä tai.

Esimerkki: Ratkaise: 4x + 6 <10 ja 5x + 2 < 12

Ratkaisu:

Ratkaise ensin 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Vähentämällä 6 molemmilta puolilta]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 tai (-∞, 1) —–(i)

Toinen ratkaisu 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Vähentämällä 2 molemmilta puolilta]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 tai (-∞, 2) ——-(ii)

Kohdista (i) ja (ii) meillä on kaksi ratkaisua x <1 ja x < 2.

Otamme lopullisen ratkaisun leikkauspisteen, koska epäyhtälöt erotetaan toisistaan ​​ja.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Lopullinen ratkaisu tietylle yhdisteepäyhtälölle on (-∞, 1).

Lue lisää

• Yhdistetyt epätasa-arvot
• Lineaarisen epätasa-arvon sanaongelmat
• Kolmion epätasa-arvo

Solvw Quadratic epäyhtälöt

Otetaan esimerkki absoluuttisten arvojen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Ratkaisu:

Seuraavassa on vaiheet epätasa-arvon ratkaisemiseksi: x²– 7x + 6 ≥ 0

Vaihe 1: Kirjoita epäyhtälö yhtälön muodossa:

lataa youtube-video vlc:llä

x²– 7x + 6 = 0

Vaihe 2: Ratkaise yhtälö:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 ja x = 1

Yllä olevasta vaiheesta saadaan arvot x = 6 ja x = 1

Vaihe 3: Yllä olevista arvoista välit ovat (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Koska epäyhtälö on ≥, joka sisältää yhtä kuin, joten käytämme suljettuja arvoja.

Vaihe 4: Yllä olevien intervallien numeroviivaesitys.

Vaihe 5: Ota satunnaislukuja kunkin intervallin väliin ja tarkista, täyttääkö se arvon. Jos se tyydyttää, sisällytä väli ratkaisuun.

Välille (-∞, 1] satunnaisarvo on -1.

Laitetaan x = -1 epäyhtälöön x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (tosi)

Olkoon välille [1, 6] satunnaisarvo 2.

Laitetaan x = 0 epäyhtälöön x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (väärä)

Välille [6, ∞) olkoon satunnaisarvo 7.

Laitetaan x = 7 epäyhtälöön x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (tosi)

Vaihe 6: Eli itseisarvoepäyhtälön x ratkaisu²– 7x + 6 ≥ 0 on väli (-∞, 1] ∪ [6, ∞), koska se täyttää epäyhtälön, joka voidaan piirtää lukuviivalle seuraavasti:

Kuinka ratkaista absoluuttiset arvoerot

Otetaan esimerkki absoluuttisten arvojen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö: |y + 1| ≤ 2

Ratkaisu:

Seuraavassa on vaiheet epäyhtälön ratkaisemiseksi: |y + 1| ≤ 2

Vaihe 1: Kirjoita epäyhtälö yhtälön muotoon:

|y + 1| = 2

Vaihe 2: Ratkaise yhtälö:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 ja y + 1 = – 2

y = 1 ja y = -3

Yllä olevasta vaiheesta saadaan arvot y = 1 ja y = -3

Vaihe 3: Yllä olevista arvoista välit ovat (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Koska epäyhtälö on ≤ joka sisältää yhtä kuin, joten käytämme suljettuja hakasulkuja saaduille arvoille.

Vaihe 4: Yllä olevien intervallien numeroviivaesitys.

Vaihe 5: Ota satunnaislukuja kunkin intervallin väliin ja tarkista, täyttääkö se arvon. Jos se tyydyttää, sisällytä väli ratkaisuun.

Välille (-∞, -3] satunnaisarvo on -4.

Laitetaan y = -4 epäyhtälöön |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (väärä)

Välille [-3, 1] olkoon satunnaisarvo 0.

Laitetaan y = 0 epäyhtälöön |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (tosi)

Välille [1, ∞) olkoon satunnaisarvo 2.

Laitetaan y = 2 epäyhtälöön |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

matriisiohjelma c-kielellä

⇒ 3 ≤ 2 (väärä)

Vaihe 6: Eli absoluuttisen arvon epäyhtälön |y + 1| ratkaisu ≤ 2 on väli [-3, -1], koska se täyttää epäyhtälön, joka voidaan piirtää numeroviivalle seuraavasti:

Kuinka ratkaista rationaaliset eriarvoisuudet

Otetaan esimerkki rationaalisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö: (x + 3) / (x – 1) <2

Ratkaisu:

Seuraavat vaiheet eriarvoisuuden ratkaisemiseksi:

Vaihe 1: Kirjoita epäyhtälö yhtälön muodossa: (x + 3) / (x - 1) <2

(x + 3) / (x - 1) = 2

Vaihe 2: Ratkaise yhtälö:

(x + 3) / (x - 1) = 2

(x + 3) = 2(x - 1)

x + 3 = 2x - 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Yllä olevasta vaiheesta saadaan arvo x = 5

Vaihe 3: Yllä olevista arvoista välit ovat (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Koska eriarvoisuus on

Koska x = 1 epäyhtälö on määrittelemätön, niin otamme avoimen hakasulkeen x = 1:lle.

Vaihe 4: Yllä olevien intervallien numeroviivaesitys.

Vaihe 5: Ota satunnaislukuja kunkin intervallin väliin ja tarkista, täyttääkö se arvon. Jos se tyydyttää, sisällytä väli ratkaisuun.

Olkoon välille (-∞, 1) satunnaisarvo 0.

Laitetaan x = 0 epäyhtälöön (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 - 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (tosi)

Välille (1, 5) olkoon satunnaisarvo 2.

Laitetaan x = 3 epäyhtälöön (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 - 1) <2

⇒ 6/2 <2

⇒ 3 <2 (väärä)

Välille (5, ∞) olkoon satunnaisarvo 2.

Laitetaan y = 6 epäyhtälöön (x + 3) / (x - 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 - 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (tosi)

Vaihe 6: Eli absoluuttisen arvon epäyhtälön ratkaisu (x + 3) / (x - 1) <2 on väli (-∞, 1) ∪ (5, ∞), koska se täyttää epäyhtälön, joka voidaan piirtää numeroviivalle seuraavasti:

Kuinka ratkaista lineaarinen epäyhtälö kahdella muuttujalla

Otetaan esimerkki lineaarisen epäyhtälön ratkaisemisesta kahdella muuttujalla.

Esimerkki: Ratkaisu: 20x + 10y ≤ 60

Ratkaisu:

Tarkastellaan x = 0 ja laita se annettuun epäyhtälöön

⇒ 20x + 10v ≤ 60

⇒ 20(0) + 10v ≤ 60

⇒ 10v ≤ 60

⇒ ja ≤ 6 ——(i)

Nyt, kun x = 0, y voi olla 0 - 6.

Samoin arvojen asettaminen eriarvoisuuteen ja sen tarkistaminen tyydyttää epätasa-arvon.

Jos x = 1, y voi olla 0-4.

Jos x = 2, y voi olla 0-2.

Jos x = 3, y voi olla 0.

Mahdollinen ratkaisu tietylle epäyhtälölle on (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Epätasa-arvojärjestelmät

Epäyhtälöjärjestelmät ovat joukko kahdesta tai useammasta epäyhtälöstä, joissa on yksi tai useampi muuttuja. Epäyhtälöjärjestelmät sisältävät useita epäyhtälöitä, joissa on yksi tai useampi muuttuja.

Epätasa-arvojärjestelmä on muotoa:

a_yksitoistax₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a_{kaksikymmentäyksi}x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Epätasa-arvojärjestelmien graafinen esitys

Epätasa-arvojärjestelmä on monien eriarvojen ryhmä. Ratkaise ensin jokainen epäyhtälö ja piirrä kaavio jokaiselle epäyhtälölle. Kaikkien epäyhtälöiden kaavion leikkauspiste edustaa epäyhtälöjärjestelmien kuvaajaa.

Harkitse esimerkkiä,

Esimerkki: Piirrä kuvaaja epäyhtälisyysjärjestelmille

• 2x + 3v ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Ratkaisu:

Kaavio 2x + 3y ≤ 6

Kaavion varjostettu alue edustaa 2x + 3y ≤ 6

Kaavio x ≤ 3

Varjostettu alue edustaa x ≤ 3

mikä on kaksoisjava

Kaavio y:lle ≤ 2

Varjostettu alue edustaa y ≤ 2

Kuvaaja tietylle epäyhtälöjärjestelmälle

Varjostettu alue edustaa annettua epätasa-arvojärjestelmää.

Epätasa-arvo – FAQ

Mikä on eriarvoisuuden käsite?

Epäyhtälöt ovat matemaattisia lausekkeita, joissa lausekkeen LHS ja RHS ovat eriarvoisia.

Mitkä ovat eriarvoisuuden symbolit?

Epäyhtälöiden symbolit ovat:>, <, ≥, ≤ ja ≠.

Mikä on eriarvoisuuksien transitiivinen ominaisuus?

Epäyhtälöiden transitiivinen ominaisuus sanoo, että jos a, b, c ovat kolme lukua,

• Jos a> b ja b> c, niin a> c
• Jos
• Jos a ≥ b ja b ≥ c, niin a ≥ c
• Jos a ≤ b ja b ≤ c, niin a ≤ c