logo

TechCodeview

Integrointikaavat

Integrointikaavat ovat peruskaavoja, joita käytetään erilaisten integraalisten ongelmien ratkaisemiseen. Niitä käytetään algebrallisten lausekkeiden, trigonometristen suhteiden, käänteisten trigonometristen funktioiden sekä logaritmien ja eksponentiaalisten funktioiden integroinnin löytämiseen. Nämä integrointikaavat ovat erittäin hyödyllisiä eri funktioiden integroinnin etsimisessä.

Integrointi on käänteinen differentiaatioprosessi, eli jos d/dx (y) = z, niin ∫zdx = y. Minkä tahansa käyrän integrointi antaa käyrän alla olevan alueen. Löydämme integroinnin kahdella menetelmällä Indefinite Integration ja Definite Integration. Epämääräisessä integraatiossa integraatiolla ei ole rajoituksia, kun taas määrätyssä integraatiossa on raja, jonka alle toiminto integroidaan.



Opitaanpa näistä integraalikaavat, ja heidän luokittelu, yksityiskohtaisesti tässä artikkelissa.

Sisällysluettelo

Integraalilaskenta

Integraalilaskenta on laskennan haara, joka käsittelee integraalien teoriaa ja sovelluksia. Integraalien löytämisprosessia kutsutaan integraatioksi. Integraalilaskenta auttaa löytämään funktion antiderivaatat. Antiderivaatteja kutsutaan myös funktion integraaleiksi. Sitä merkitään ∫f(x)dx. Integraalilaskenta käsittelee kokonaisarvoa, kuten pituuksia, alueita ja tilavuuksia. Integraalia voidaan käyttää likimääräisten ratkaisujen löytämiseen tietyn datan tietyille yhtälöille. Integraalilaskenta sisältää kahden tyyppisen integroinnin:



  • Epämääräinen Integraalit
  • Tarkat integraalit

Mitä ovat integrointikaavat?

Integrointikaavat on esitetty laajasti seuraavina kaavajoukkoina. Kaavat sisältävät perusintegrointikaavat, trigonometristen suhteiden integroinnin, käänteiset trigonometriset funktiot, funktioiden tulon ja joitain edistyneitä integrointikaavojen joukkoja. Integrointi on tapa yhdistää osia kokonaisuuden löytämiseksi. Se on erilaistumisen käänteinen operaatio. Siten integroinnin peruskaava on

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrointikaavat



Tätä käyttämällä johdetaan seuraavat integrointikaavat.

Eri integraalilaskennan kaavat ovat

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logse on|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/ Hirsise ona) + C

Lisää integraalikaavoja käsitellään alla artikkelissa,

Huomautus:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , missä k on vakio
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Perusintegraatiokaavat

Joitakin integraation peruskaavoja, joita käytetään integrointiongelmien ratkaisemiseen, käsitellään alla. Ne johdetaan integraation peruslauseesta. Luettelo integraalin peruskaavoista on alla:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ jaxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ jax[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {jossa f'(x) = d/dx[f(x)]}

Integraalikaavojen luokitus

Integraalikaavat luokitellaan eri luokkiin seuraavan funktion perusteella.

  • Rationaaliset toiminnot
  • Irrationaaliset toiminnot
  • Hyperboliset toiminnot
  • Käänteiset hyperboliset funktiot
  • Trigonometriset funktiot
  • Käänteiset trigonometriset funktiot
  • Eksponentiaaliset funktiot
  • Logaritmiset funktiot

Trigonometristen funktioiden integrointikaavat

Trigonometristen funktioiden integrointikaavoja käytetään ratkaisemaan trigonometrisiä funktioita sisältäviä integraaliyhtälöitä. Alla on luettelo integraalikaavoista, jotka sisältävät trigonometrisiä ja käänteisiä trigonometrisiä toimintoja,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = tan x + C
  • ∫ kosek2x dx = -sänky x + C
  • ∫ s x tan x dx = s x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -kosek x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ pinnasänky x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – pinnasänky x| + C

Käänteisten trigonometristen funktioiden integrointikaavat

Alla on esitetty erilaisia ​​käänteisten trigonometristen funktioiden integrointikaavoja, joita käytetään ratkaisemaan integraalikysymyksiä,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = synti-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = rusketus-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = pinnasänky-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = kosek-1x + C

Edistyneet integrointikaavat

Joitakin muita edistyneitä integrointikaavoja, jotka ovat erittäin tärkeitä integraalien ratkaisemisessa, käsitellään alla,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a rusketus-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2– x2) dx = synti-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 ilman-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Erilaiset integrointikaavat

Erityyppisten integraalisten kysymysten ratkaisemiseen käytetään erilaisia ​​integrointimenetelmiä. Jokainen menetelmä on vakiotulos, ja sitä voidaan pitää kaavana. Joitakin tärkeitä menetelmiä käsitellään alla tässä artikkelissa. Tarkastellaan kolme tärkeää integrointimenetelmää.

  • Integrointi Parts Formulan avulla
  • Integrointi korvauskaavalla
  • Integrointi osittaisten murtolukujen kaavalla

Integrointi Parts Formulan avulla

Integrointi osien mukaan Kaavaa käytetään, kun annettu funktio on helppo kuvata kahden funktion tulona. Matematiikassa käytetty integrointi Parts-kaavalla on annettu alla,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Esimerkki: Laske ∫ xe x dx

Ratkaisu:

∫ autoxdx on muotoa ∫ f(x) g(x) dx

olkoon f(x) = x ja g(x) = ex

tiedämme, että ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ autoxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= autox- Se onx+ c

Integrointi korvauskaavalla

Integrointi korvauskaavalla käytetään, kun funktio on toisen funktion funktio. eli olkoon I = ∫ f(x) dx, missä x = g(t) siten, että dx/dt = g'(t), sitten dx = g'(t)dt

Nyt, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Esimerkki: Arvioi ∫ (4x +3) 3 dx

Ratkaisu:

Olkoon u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

aws punasiirtymä

= 1/4 ∫(u)3/

= 1/4. sisään4/5

= u4/kaksikymmentä

= 4x+3)4/kaksikymmentä

Integrointi osittaisten murtolukujen kaavalla

Integrointi osittaisilla murtoluvuilla Kaavaa käytetään, kun P(x)/Q(x):n integraali vaaditaan ja P(x)/Q(x) on väärä murtoluku siten, että P(x):n aste on pienempi kuin (<) aste Q(x), niin murto-osa P(x)/Q(x) kirjoitetaan muodossa

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

missä

  • R(x) on polynomi x:ssä
  • P 1 (x)/ Q(x) on oikea rationaalinen funktio

Nyt R(x) + P integrointi1(x)/Q(x) on helppo laskea käyttämällä yllä käsiteltyjä kaavoja.

Integraalien soveltaminen

Integraalikaavat ovat erittäin hyödyllisiä matematiikassa kaavoja, joita käytetään erilaisiin tehtäviin. Eri integraalien sovellukset sisältää:

  • Käyrän pituuden löytäminen
  • Käyrän alla olevan alueen löytäminen
  • Funktion likimääräisten arvojen löytäminen
  • Objektin ja muiden polun määrittäminen
  • Käyrän alla olevan alueen etsiminen
  • Epäsäännöllisten muotojen pinta-alan ja tilavuuden löytäminen
  • Massa- tai painopisteen löytäminen

Nämä kaavat on periaatteessa luokiteltu kahteen luokkaan,

  • Tarkat integraatiokaavat
  • Epämääräiset integraatiokaavat

Selkeä integrointikaava

Tarkkoja integraalikaavoja käytetään, kun integroinnin raja on annettu. Määrätyssä integraatiossa kysymyksen ratkaisu on vakioarvo. Yleensä selvä integrointi ratkaistaan ​​seuraavasti,

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Epämääräinen integraatiokaava

Indefinite Integration Kaavoja käytetään ratkaisemaan määrittelemätön integraatio, kun integroinnin rajaa ei ole annettu. Epämääräisessä integroinnissa käytämme integroinnin vakiota, jota yleensä merkitään C:llä

∫f(x) = F(x) + C

  • Epämääräiset integraalit
  • Määrittele integraaliominaisuudet
  • Trigonometristen funktioiden integrointi

Esimerkkejä integraalikaavoista

Esimerkki 1: Arvioi

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Ratkaisu:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/ Hirsise on3) + C [∫a x dx = (a x / Hirsi se on a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , missä k on vakio]

= 4 jax+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . s x dx [ ∫tan x .sec x dx = s x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫kosek2x dx [∫kosek 2 x dx = -sänky x + C ]

= -sänky x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [tiedämme sen, dx = synti -1 (x/a) + C]

= ilman-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [tiedämme sen,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a) s-1(x/a) + C]

= (1/3) s-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫kosek x dx [tiedämme, että ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – pinnasänky x| + C

Esimerkki 2: Arvioi ∫{e 9log se on x + ja 8 log se on x }/{Se on 6 log se on x + ja 5 log se on x } dx

Ratkaisu:

Siitä asti kun, se on vapina se on x = x a

∫{e 9log se on x + ja 8 log se on x }/{Se on 6 log se on x + ja 5 log se on x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [tiedämme sen, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Esimerkki 3: Arvioi ∫ sin x + cos x dx

Ratkaisu:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [tiedämme, että ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [tiedämme, että ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Esimerkki 4: Arvioi ∫4 x+2 dx

Ratkaisu:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [ tiesimme, että ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , missä k on vakio]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x / Hirsi se on a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

Esimerkki 5: Arvioi ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Ratkaisu:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Tiedämme sen, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Esimerkki 6: Arvioi ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Ratkaisu:

1 + cos 2x = 2cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫s2x dx [Tiedämme sen, ∫sek 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Esimerkki 7: Arvioi ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Ratkaisu:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, missä k on vakio]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Harjoittele integrointikaavojen ongelmia

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Usein kysytyt kysymykset integrointikaavoista

Mitä kaikki integrointikaavat ovat?

Integrointikaavat ovat kaavoja, joita käytetään ratkaisemaan erilaisia ​​integrointiongelmia,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ jaxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ jax[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {jossa f'(x) = d/dx[f(x)]}

Mitkä ovat uv:n integrointikaavat?

uv:n integrointikaava on,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Mitä integraatio matematiikassa tarkoittaa?

Jos funktion g(x) derivaatta on f(x), niin f(x):n integraatio on g(x) eli ∫f(x)dx = g(x). Integraatiota edustaa symboli ∫

Kuinka integroimme integrointikaavojen avulla?

Integrointi voidaan saavuttaa käyttämällä kaavoja,

  • Määrittele objektin pieni osa tietyissä mitoissa, joka lisäämällä äärettömät kertaat muodostaa kokonaisen kohteen.
  • Käyttämällä integrointikaavoja tällä pienellä osalla vaihtelevissa ulottuvuuksissa saamme täydellisen kohteen.

Mikä on integraalikaava osalta?

Integraalikaavaa osalta käytetään ratkaisemaan integraali, jossa on annettu väärä murtoluku.

Mikä on integrointikaavojen käyttö?

Integrointikaavoja käytetään erilaisten integraaliongelmien ratkaisemiseen. Erilaiset päivittäisessä elämässämme kohtaamamme ongelmat voidaan helposti ratkaista integroinnin avulla, kuten minkä tahansa esineen massakeskuksen löytäminen, ohjuksen, rakettien, lentokoneiden ja muiden lentoradan löytäminen.