Liittäminen on prosessi, jossa summataan funktion pienet arvot rajojen alueella. Se on juuri päinvastoin kuin erilaistuminen. Integraatio tunnetaan myös nimellä antiderivatiivinen. Olemme selittäneet trigonometristen funktioiden integroinnin tässä artikkelissa alla.

Alla on esimerkki tietyn funktion integroinnista.

esim., Tarkastellaan funktiota, f(y) = y².

Tämä toiminto voidaan integroida seuraavasti:

∫y²sinä =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Kuitenkin an epämääräinen integraali on funktio, joka ottaa toisen funktion anti-johdannaisen. Se esitetään integraalisymbolina (∫), funktiona ja lopussa olevan funktion derivaatana. Epämääräinen integraali on helpompi tapa symboloida antiderivaata.

Opitaan mitä on integrointi matemaattisesti, funktion f(x) integrointi annetaan F(x) ja sitä edustaa:

∫f(x)dx = F(x) + C

Täällä R.H.S. yhtälö tarkoittaa f(x):n integraalia x:n suhteen, F(x):tä kutsutaan antiderivaatiiviseksi tai primitiiviksi, f(x):tä kutsutaan integrandiksi, dx:ää kutsutaan integroivaksi agentiksi, C:tä kutsutaan integrointivakioksi tai mielivaltainen vakio ja x on integroinnin muuttuja.

Jotkut tärkeät trigonometristen funktioiden integraalit

Seuraavassa on luettelo joistakin tärkeistä epämääräisten perusintegraalien kaavoista trigonometriset funktiot muistettava seuraavasti:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sek²x dx = tan x + C
• ∫ kosek²x dx = -sänky x + C
• ∫ s x tan x dx = s x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -kosek x + C
• ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
• ∫ pinnasänky x dx = ln | synti x | + C
• ∫ s x dx = ln | sek x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – pinnasänky x | + C

Missä dx on x:n, C:n derivaatta on integroinnin vakio ja ln edustaa logaritmi funktion moduulin sisällä (| |).

Yleensä trigonometrisiin funktioihin perustuvien epämääräisten integraalien ongelmat ratkaistaan ​​substituutiomenetelmällä. Joten keskustellaan lisää integroinnista korvausmenetelmällä seuraavasti:

Integrointi korvaamalla

Tässä menetelmässä integrointi korvaamalla , mikä tahansa annettu integraali muunnetaan yksinkertaiseksi integraaliksi korvaamalla riippumaton muuttuja muilla. Tarkastellaanpa esimerkkiä paremman ymmärtämisen vuoksi.

Esimerkki: Yksinkertaista ∫ 3x ² synti (x ³ ) dx.

Vastaus:

Olkoon I = ∫ 3x²synti (x³) dx.

Annetun integraalin arvioimiseksi korvataan mikä tahansa muuttuja uudella muuttujalla seuraavasti:

Anna x³on t annetulle integraalille.

Sitten dt = 3x²dx

Siksi,

I = ∫ 3x²synti (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Korvaa nyt t x:n tilalle³ja dt 3x²dx yllä olevassa integraalissa.

I = ∫ sin (t) (dt)

keskikuva css:ssä

Kuten ∫ sin x dx = -cos x + C, siis

I = -cos t + C

Korvaa taas takaisin x³t:lle lausekkeessa seuraavasti:

I = ∫ 3x ² synti (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Mikä on vaadittu integraali.

Siten korvaamalla integraation yleinen muoto on:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

missä t = g(x)

Yleensä substituutiolla integrointimenetelmä on erittäin hyödyllinen, kun teemme substituution funktiolle, jonka derivaatta on myös integrandissa. Näin funktio yksinkertaistuu ja sitten integroinnin peruskaavoja voidaan käyttää funktion integroimiseen.

Laskennassa integrointi substituutiomenetelmällä tunnetaan myös nimellä Reverse Chain Rule tai U-Substitution Method. Voimme käyttää tätä menetelmää integraaliarvon löytämiseen, kun se on asetettu erityiseen muotoon. Se tarkoittaa, että annettu integraali on muotoa:

Lue lisää,

• Laskeminen matematiikassa
• Integraalit
• Integraalilaskenta
• Trig-toimintojen erottelu
• Trigonometriset yhtälöt

Esimerkkiongelmat trigonometristen funktioiden integroinnista

Tehtävä 1: Määritä seuraavan funktion integraali: f(x) = cos ³ x.

Ratkaisu:

Tarkastellaan annetun funktion integraalia

java-merkkijonon arvo

I = ∫ cos³x dx

Se voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Trigonometrian identiteetin käyttö; cos²x = 1 – synti²x, saamme

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Kuten ∫ cos x dx = sin x + C,

Siten I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Olkoon, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Korvaa t sin x:llä ja dt:llä cos x dx yllä olevan integraalin toisessa termissä.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Korvaa taas lauseessa t takaisin sin x:llä.

Siksi ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x / 3 + C.

Tehtävä 2: Jos f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) määritä sitten ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Ratkaisu:

Tarkastellaan annetun funktion integraalia

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Trigonometrian identiteetin käyttö; cos²x = 1 – synti²x, saamme

I = ∫sin²x (1 – synti²x) cos x dx

Olkoon sitten sin x = t,

⇒ dt = cos x dx

Korvaa nämä yllä olevaan integraaliin seuraavasti:

I = ∫ t²(1-t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Korvaa t:n arvo yllä olevassa integraalissa seuraavasti:

Siksi minä = synti ³ x / 3 – ilman ⁵ x / 5 + C.

Tehtävä 3: Olkoon f(x) = sin ⁴ (x) etsi sitten ∫ f(x)dx. eli ∫ synti ⁴ (x) dx.

Ratkaisu:

Tarkastellaan annetun funktion integraalia

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (ilman²(x))²dx

Trigonometrian identiteetin käyttäminen; synti²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, saamme

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x) - 2 cos2x) dx

mysql-päivitykseen liittyminen

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 - sin 2x / 4 + C

Siksi ∫ synti ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 - sin 2x / 4 + C

Tehtävä 4: Etsi integraatio old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Ratkaisu:

Tarkastellaan annetun funktion integraalia

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Olkoon t = tan^-1x . . . (1)

Erota nyt molemmat puolet x:n suhteen:

dt = 1 / (1+x²) dx

Siksi annetusta integraalista tulee:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C. . . (2)

kuinka muuntaa int:stä ​​merkkijonoksi javassa

Korvaa kohdan (1) arvo kohdassa (2):

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Mikä on vaadittava integrointi annetulle funktiolle.

Tehtävä 5: Etsi funktion f (x) integraali, joka määritellään

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Ratkaisu:

Tarkastellaan annetun funktion integraalia

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Anna (x²– 5) = t . . . (1)

Erottele nyt molemmat puolet x:n suhteen,

2x dx = dt

Korvaa nämä arvot yllä olevassa integraalissa,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Korvaa arvoyhtälö (1) yhtälössä (2) seuraavasti:

⇒ I = sin (x²– 5) + C

Tämä on vaadittava integrointi annetulle funktiolle.

Tehtävä 6: Määritä annetun epämääräisen integraalin arvo, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Ratkaisu:

Annettu integraali voidaan kirjoittaa muodossa

I = ∫ pinnasänky (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Olkoon, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Täten,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1/3) ln | t | + C

Korvaa t synillä (3x+5) yllä olevassa lausekkeessa.

I = (1/3) ln | synti (3x+5) | + C

Tämä on vaadittava integrointi annetulle funktiolle.

Trigonometristen funktioiden integrointi – UKK

Mikä on trigonometrisen funktion integrointi?

Trigonometristen funktioiden integrointi, kuten nimestä voi päätellä, on prosessi, jossa lasketaan trigonometristen funktioiden integrointi tai antiderivaata. Tämä on käänteinen trigonometristen funktioiden eriyttämisprosessi.

Mitä ovat trigonometriset perusfunktiot?

Trigonometriset perusfunktiot ovat:

tee sh-skripti suoritettavaksi

• sini (ilman),
• kosini (cos),
• tangentti (rusketus),
• kotangentti (kyynärpää),
• sekantti (sek), ja
• kosekantti (csc).

Kuinka integroit sini (sin) ja kosini (cos) -funktiot?

Integroidaksemme sini- ja kosinifunktiot, voimme käyttää seuraavia kaavoja:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Missä C on integraation vakio.

Mikä on tangentin (ruskeanruskean) trigonometrisen funktion integrointi?

Tangenttifunktion integraali annetaan seuraavasti:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Missä,

• ln edustaa luonnollista logaritmia ja
• C on integraation vakio.

Kuinka löytää sekantin (sek) trigonometrisen funktion integraali?

Sekanttifunktion integraali annetaan seuraavasti:

∫ sek(x) dx = ln|s(x) + tan(x)| + C

Missä,

• ln edustaa luonnollista logaritmia ja
• C on integraation vakio.

Mikä on kotangentin (cot) trigonometrisen funktion integrointi?

Kotangenttifunktion integraali voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

Missä,

• ln edustaa luonnollista logaritmia ja
• C on integraation vakio.

Kuinka löytää kosekanttifunktion (cosec) integraali?

Kosekanttifunktion integraali annetaan seuraavasti:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – pinnasänky x | + C

Missä,

• ln edustaa luonnollista logaritmia ja
• C on integraation vakio.