Logaritmi on eksponentti tai potenssi, johon kantaa korotetaan tietyn luvun saamiseksi. Esimerkiksi 'a' on logaritmi 'm':n 'x' kantaan, jos xm= a, voimme kirjoittaa sen muodossa m = logxa. Logaritmit on keksitty nopeuttamaan laskelmia ja aika lyhenee, kun kerromme useita numeroita logaritmeilla. Keskustellaan nyt logaritmien laeista alla.
Logaritmien lait
On olemassa kolme logaritmien lakia, jotka johdetaan eksponentin perussäännöillä. Lait ovat tuotesääntölaki, osamääräsääntölaki, valtasääntölaki. Katsotaanpa lakeja yksityiskohtaisesti.
Ensimmäinen logaritmin laki tai tuotesääntölaki
Olkoon a = xnja b = xmjossa kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa
n = logxa ja m = logxb ⇢ (1)
Käyttämällä ensimmäistä eksponenttilakia tiedämme, että xn× xm= xn + m⇢ (2)
Nyt kerromme a ja b, saamme sen muodossa,
Vaihda menetelmä java
ab = xn× xm
ab = xn + m(Yhtälöstä 2)
Käytä nyt logaritmia yllä olevaan yhtälöön, jonka saamme alla,
Hirsixab = n + m
Yhtälöstä 1 voimme kirjoittaa lokinaxab = lokixa + lokixb
Joten jos haluamme kertoa kaksi lukua ja löytää tulon logaritmin, lisää sitten kahden luvun yksittäiset logaritmit. Tämä on ensimmäinen logaritmien laki/tuotesääntölain.
Hirsi x ab = loki x a + loki x b
Voimme soveltaa tätä lakia useammalle kuin kahdelle numerolle, esim.
Hirsi x abc = loki x a + loki x b + log x c.
Toinen logaritmin laki tai osamääräsääntölaki
Olkoon a = xnja b = xmjossa kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa,
n = logxa ja m = logxb ⇢ (1)
Käyttämällä ensimmäistä eksponenttilakia tiedämme, että xn/ xm= xn - m⇢ (2)
Nyt kerromme a ja b, saamme sen muodossa,
a/b = xn/ xm
a/b = xn - m⇢ (yhtälöstä 2)
Käytä nyt logaritmia yllä olevaan yhtälöön, jonka saamme alla,
Hirsix(a/b) = n – m
Yhtälöstä 1 voimme kirjoittaa lokinax(a/b) = logxhalkoxb
Joten jos haluamme jakaa kaksi lukua ja löytää jaon logaritmin, voimme vähentää näiden kahden luvun yksittäiset logaritmit. Tämä on logaritmien/osamääräsääntölain toinen laki.
Hirsi x (a/b) = log x halko x b
ymail
Kolmas logaritmin laki tai tehosääntölaki
Olkoon a = xn⇢ (i),
Kun kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa,
n = logxa ⇢ (1)
Jos nostamme yhtälön (i) molempia puolia 'm':n potenssilla, saamme sen seuraavasti:
am= (xn)m= xnm
Anna amon yksi suure ja käytä logaritmia yllä olevaan yhtälöön,
Hirsixam= nm
Hirsi x a m = m.log x a
Tämä on logaritmien kolmas laki. Siinä todetaan, että potenssiluvun logaritmi voidaan saada kertomalla luvun logaritmi tällä luvulla.
Esimerkkiongelmat
Ongelma 1: Laajenna loki 21.
Ratkaisu:
Kuten tiedämme sen lokinxab = lokixa + lokixb (Logaritmin ensimmäisestä laista)
Joten log 21 = log (3 × 7)
= log 3 + log 7
Tehtävä 2: Laajenna loki (125/64).
Ratkaisu:
java muuntaa merkkijonon kokonaisluvuksi
Kuten tiedämme sen lokinx(a/b) = logxhalkoxb (logaritmin toisesta laista)
Joten log (125/64) = log 125 – log 64
= loki 53– loki 43
Hirsixam= m.logxa (Logaritmin kolmannesta laista), voimme kirjoittaa sen muodossa,
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3 (log 5 – log 4)
Tehtävä 3: Kirjoita 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 yhtenä logaritmina.
Ratkaisu:
3log 2 + 5 log3 – 5log 2
= loki 23+ loki 35- loki 25
= log 8 + log 243 – log 32
= log(8 × 243) – log 32
= loki 1944 – loki 32
= loki (1944/32)
Tehtävä 4: Kirjoita log 16 – log 2 yhtenä logaritmina.
Ratkaisu:
loki (16/2)
= log(8)
= log(23)
= 3 log 2
Tehtävä 5: kirjoita 3 log 4 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
Valtasäännön laista voimme kirjoittaa sen seuraavasti:
= loki 43
= log 64
Tehtävä 6: Kirjoita 2 log 3 - 3 log 2 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
loki 32- loki 23
= log 9 – log 8
= loki (9/8)
merkkijono chatille
Tehtävä 7: Kirjoita log 243 + log 1 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
loki (243 × 1)
= log 243