logo

TechCodeview

Newton Raphsonin menetelmä

Newton Raphson -menetelmä tai Newton-menetelmä on tehokas tekniikka yhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen. Sitä käytetään yleisimmin reaaliarvoisten funktioiden juurien approksimaatioon. Newton Rapson -menetelmän kehittivät Isaac Newton ja Joseph Raphson, mistä johtuu nimi Newton Rapson Method.

Newton Raphsonin menetelmä sisältää alkuperäisen arvauksen iteratiivisen tarkentamisen sen lähentämiseksi kohti haluttua juuria. Menetelmä ei kuitenkaan ole tehokas laskemaan polynomien tai suurempiasteisten yhtälöiden juuria, mutta pieniasteisten yhtälöiden tapauksessa tämä menetelmä tuottaa erittäin nopeita tuloksia. Tässä artikkelissa opimme Newton Raphson -menetelmästä ja vaiheista, joilla juuret lasketaan myös tällä menetelmällä.



Sisällysluettelo

Mikä on Newton Raphsonin menetelmä?

Newton-Raphsonin menetelmä, joka tunnetaan myös nimellä Newtonin menetelmä, on iteratiivinen numeerinen menetelmä, jota käytetään etsimään reaaliarvoisen funktion juuret. Tämä kaava on nimetty Sir Isaac Newtonin ja Joseph Raphsonin mukaan, koska he osallistuivat itsenäisesti sen kehittämiseen. Newton Raphsonin menetelmä tai Newtonin menetelmä on algoritmi, joka approksimoi reaaliarvoisten funktioiden nollien juuria käyttämällä arvausta ensimmäiselle iteraatiolle (x0) ja sitten likimääräinen seuraava iteraatio (x1), joka on lähellä juuria, käyttämällä seuraavaa kaavaa.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



java-lista taulukkoon

missä,

  • x 0 on x:n alkuarvo,
  • f(x 0 ) on yhtälön arvo alkuarvolla, ja
  • f'(x 0 ) on yhtälön tai funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatan arvo alkuarvolla x0.

Huomautus: f'(x0) ei saa olla nolla, muuten kaavan murto-osa muuttuu äärettömäksi, mikä tarkoittaa, että f(x) ei saa olla vakiofunktio.

Newton Raphsonin menetelmäkaava

Yleisessä muodossa Newton-Raphsonin menetelmän kaava kirjoitetaan seuraavasti:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Missä,

  • x n-1 on arvioitu (n-1)thfunktion juuri,
  • f(x n-1 ) on yhtälön arvo kohdassa (n-1)tharvioitu juuri ja
  • f'(x n-1 ) on yhtälön tai funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatan arvo kohdassa xn-1.

Newton Raphsonin menetelmän laskeminen

Oletetaan yhtälö tai funktiot, joiden juuret lasketaan f(x) = 0.

Newton Raphsonin menetelmän pätevyyden todistamiseksi noudatetaan seuraavia vaiheita:

Vaihe 1: Piirrä f(x):n kaavio x:n eri arvoille alla olevan kuvan mukaisesti:

Newton Raphsonin menetelmän laskeminen

Vaihe 2: Tangentti piirretään kohtaan f(x) kohdassa x0. Tämä on alkuarvo.

Vaihe 3: Tämä tangentti leikkaa X-akselin jossain kiinteässä pisteessä (x1,0) jos f(x):n ensimmäinen derivaatta ei ole nolla, ts. f'(x 0 ) ≠ 0.

Vaihe 4: Koska tämä menetelmä olettaa juurien iteraation, tämä x1katsotaan juuren seuraavaksi approksimaatioksi.

Vaihe 5: Nyt vaiheita 2-4 toistetaan, kunnes saavutetaan todellinen juuri x*.

Nyt tiedämme, että minkä tahansa suoran kaltevuusleikkausyhtälö esitetään muodossa y = mx + c,

Missä m on viivan kaltevuus ja c on viivan x-leikkauspiste.

Saamme samalla kaavalla

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Tässä f(x0) edustaa c:tä ja f'(x0) edustaa tangentin m kaltevuutta. Koska tämä yhtälö pätee jokaiselle x:n arvolle, sen on oltava totta x:n kohdalla1. Siten x korvataan x:llä1, ja yhtälö nollaan, kun meidän on laskettava juuret, saamme:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Mikä on Newton Raphsonin menetelmän kaava.

Siten Newton Raphsonin menetelmä todistettiin matemaattisesti ja hyväksyttiin päteväksi.

Newton Raphsonin menetelmän konvergenssi

Newton-Raphsonin menetelmä pyrkii lähentymään, jos seuraava ehto pitää paikkansa:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Se tarkoittaa, että menetelmä konvergoi, kun funktion arvon x ja funktion toisen derivaatan tulon moduuli kohdassa x on pienempi kuin funktion ensimmäisen derivaatan modulin neliö kohdassa x. Newton-Raphsonin menetelmän konvergenssi on kertaluokkaa 2, mikä tarkoittaa, että sillä on neliöllinen konvergenssi.

Huomautus:

Newton Raphsonin menetelmä ei kelpaa, jos funktion ensimmäinen derivaatta on 0, mikä tarkoittaa f'(x) = 0. Se on mahdollista vain, kun annettu funktio on vakiofunktio.

  • Newtonin menetelmä juurien löytämiseksi
  • Ero Newton Raphson -menetelmän ja tavallisen Falsi-menetelmän välillä
  • Ero puolitusmenetelmän ja Newton Raphsonin menetelmän välillä
  • Juuren etsintäalgoritmi

Esimerkki Newton Raphsonin menetelmästä

Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä saadaksesi lisätietoja todellisen arvon funktion juuren löytämisestä.

Esimerkki: Alkuarvolle x 0 = 3, likiarvo f(x)=x:n juurista 3 +3x+1.

Ratkaisu:

Annettu, x0= 3 ja f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

java kokonaisluku

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Ratkaistiin Newton Raphson -menetelmän ongelmat

Tehtävä 1: Alkuarvolle x 0 = 1, likiarvo f(x)=x:n juurista 2 −5x+1.

Ratkaisu:

Annettu, x0= 1 ja f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

mylivecricket.in

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1-1

⇒ x1= 0

Tehtävä 2: Alkuarvolle x 0 = 2, likiarvo f(x)=x:n juurista 3 −6x+1.

Ratkaisu:

Annettu, x0= 2 ja f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Tehtävä 3: Alkuarvolle x 0 = 3, likiarvo f(x)=x:n juurista 2 −3.

Ratkaisu:

Annettu, x0= 3 ja f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Tehtävä 4: Etsi yhtälön f(x) = x juuri 3 – 3 = 0, jos alkuarvo on 2.

Ratkaisu:

Annettu x0= 2 ja f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1 583

Newton Raphson -menetelmän käyttäminen uudelleen:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Siksi yhtälön juuri on noin x = 1,442.

Tehtävä 5: Etsi yhtälön f(x) = x juuri 3 – 5x + 3 = 0, jos alkuarvo on 3.

Ratkaisu:

lajittele taulukkoluettelo

Annettu x0= 3 ja f(x) = x3– 5x + 3 = 0

java-arkkitehtuuri

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Newton Raphsonin menetelmällä:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Newton Raphson -menetelmän käyttäminen uudelleen:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Siksi yhtälön juuri on noin x = 1,834.

Newton Raphson -menetelmän usein kysytyt kysymykset

Q1: Määrittele Newton Raphsonin menetelmä.

Vastaus:

Newton Raphsonin menetelmä on numeerinen menetelmä minkä tahansa tietyn reaaliarvoisen funktion juurien arvioimiseksi. Tässä menetelmässä käytimme erilaisia ​​iteraatioita juurien approksimoimiseksi, ja mitä suurempi iteraatioiden määrä, sitä pienempi virhe lasketun juuren arvossa.

Q2: Mikä on Newton Raphson -menetelmän etu?

Vastaus:

Newton Raphsonin menetelmällä on se etu, että sen avulla voimme arvata yhtälön juuret pienellä asteella erittäin tehokkaasti ja nopeasti.

Q3: Mikä on Newton Raphson -menetelmän haittapuoli?

Vastaus:

Newton Raphsonin menetelmän haittana on, että siitä tulee hyvin monimutkainen, kun polynomin aste tulee hyvin suureksi.

Kysymys 4: Ilmoita mikä tahansa Newton Raphsonin menetelmän tosielämän sovellus.

Vastaus:

Newton Raphsonin menetelmällä analysoidaan veden virtausta vedenjakeluverkostoissa tosielämässä.

Q5: Mihin teoriaan Newton-Raphsonin menetelmä perustuu?

Vastaus:

Newton Raphsonin menetelmä perustuu laskennan ja käyrän tangentin teoriaan.