Permutaatio ja yhdistelmä ovat matematiikan peruskäsitteitä ja näiden käsitteiden avulla opiskelijoille esitellään uusi matematiikan ala eli kombinatoriikka. Permutaatio ja yhdistelmä ovat tapoja järjestää objektiryhmä valitsemalla ne tietyssä järjestyksessä ja muodostamalla niiden osajoukot.

Tietoryhmien järjestämiseen tiettyyn järjestykseen käytetään permutaatio- ja yhdistelmäkaavoja. Tietyn ryhmän tietojen tai objektien valitsemista sanotaan permutaatioksi, kun taas järjestystä, jossa ne on järjestetty, kutsutaan yhdistelmäksi.

Permutaatiot ja yhdistelmät

Tässä artikkelissa tutkimme permutoinnin ja yhdistelmän käsitettä ja niiden kaavoja käyttämällä niitä myös monien esimerkkiongelmien ratkaisemiseen.

Sisällysluettelo

• Permutaation merkitys
• Yhdistelmän merkitys
• Permutaatio- ja yhdistelmäkaavojen johtaminen
• Ero permutoinnin ja yhdistelmän välillä
• Ratkaistiin esimerkkejä permutaatiosta ja yhdistelmästä

Permutaation merkitys

Permutaatio on erilliset tulkinnat tietylle määrälle komponentteja, joita kuljetetaan yksitellen, joistakin tai kaikista kerrallaan. Esimerkiksi, jos meillä on kaksi komponenttia A ja B, on olemassa kaksi todennäköistä suorituskykyä, AB ja BA.

Permutaatioiden lukumäärä, kun 'r'-komponentit sijoitetaan 'n'-komponenttien kokonaismäärästä ⁿ P _r . Olkoon esimerkiksi n = 3 (A, B ja C) ja r = 2 (kaikki koon 2 permutaatiot). Sitten niitä on ³ P ₂ tällaisia ​​permutaatioita, mikä on yhtä kuin 6. Nämä kuusi permutaatiota ovat AB, AC, BA, BC, CA ja CB. A:n, B:n ja C:n kuusi permutaatiota, jotka on otettu kolme kerrallaan, näkyvät alla lisätyssä kuvassa:

Permutaation merkitys

Permutaatiokaava

Permutaatiokaava käytetään etsimään useita tapoja valita r asiat pois n eri asioita tietyssä järjestyksessä ja vaihtaminen ei ole sallittua ja annetaan seuraavasti:

Permutaatiokaava

miksi merkkijono muuttumaton javassa

Permutaatiokaavan selitys

Kuten tiedämme, permutaatio on r:stä n:stä olevan asian järjestely, jossa järjestyksen järjestys on tärkeä (AB ja BA ovat kaksi erilaista permutaatiota). Jos on kolme erilaista numeroa 1, 2 ja 3 ja jos joku haluaa muuttaa numeroita 2 kerrallaan, se näyttää (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) ), (3, 1) ja (3, 2). Eli se voidaan saavuttaa 6 menetelmällä.

Tässä (1, 2) ja (2, 1) ovat erillisiä. Jälleen, jos nämä 3 numeroa laitetaan käsittelemään kaikkia kerralla, tulkinnat ovat (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) ), (3, 1, 2) ja (3, 2, 1) eli kuudella tavalla.

Yleensä n erillistä asiaa voidaan asettaa ottamalla r (r^thasia voi olla mikä tahansa jäljellä olevista n – (r – 1) asioista.

Näin ollen n:n erillisen asian permutaatioiden kokonaismäärä, jotka kuljettavat r:tä kerralla, on n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], joka kirjoitetaanⁿP_r. Tai toisin sanoen

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Yhdistelmän merkitys

Se on erilliset osat jaetusta määrästä komponentteja, joita kuljetetaan yksitellen, joitain tai kaikkia kerrallaan. Jos esimerkiksi on kaksi komponenttia A ja B, on vain yksi tapa valita kaksi asiaa, valita molemmat.

Olkoon esimerkiksi n = 3 (A, B ja C) ja r = 2 (kaikki koon 2 yhdistelmät). Sitten niitä on ³ C ₂ tällaiset yhdistelmät, joka on yhtä suuri kuin 3. Nämä kolme yhdistelmää ovat AB, AC ja BC.

Tässä, yhdistelmä mistä tahansa kahdesta kirjaimesta kolmesta kirjaimesta A, B ja C on esitetty alla, huomaamme, että yhdessä järjestyksellä, jossa A ja B otetaan, ei ole merkitystä, koska AB ja BA edustavat samaa yhdistelmää.

Yhdistelmän merkitys

Huomautus: Samassa esimerkissä meillä on erilliset pisteet permutaatiolle ja yhdistelmälle. Sillä AB ja BA ovat kaksi erillistä kohdetta eli kaksi erilaista permutaatiota, mutta valinnassa AB ja BA ovat samat eli sama yhdistelmä.

Yhdistelmäkaava

Yhdistelmäkaavaa käytetään valitsemaan 'r'-komponentit 'n'-komponenttien kokonaismäärästä, ja se saadaan seuraavasti:

Yhdistelmäkaava

Käyttämällä yllä olevaa kaavaa r:lle ja (n-r) saamme saman tuloksen. Täten,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Yhdistelmäkaavan selitys

Yhdistelmä on toisaalta eräänlainen pakkaus. Jälleen, näistä kolmesta luvusta 1, 2 ja 3, jos joukot luodaan kahdella numerolla, yhdistelmät ovat (1, 2), (1, 3) ja (2, 3).

Tässä (1, 2) ja (2, 1) ovat identtisiä, toisin kuin permutaatiot, joissa ne ovat erillisiä. Tämä on kirjoitettu muodossa³C₂. Yleensä r kerrallaan otettujen n erillisen asian yhdistelmien lukumäärä on,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Permutaatio- ja yhdistelmäkaavojen johtaminen

Voimme johtaa nämä permutaatio- ja yhdistelmäkaavat käyttämällä peruslaskentamenetelmiä, koska nämä kaavat edustavat samaa asiaa. Näiden kaavojen johtaminen on seuraava:

Permutaatiokaavan johtaminen

Permutaatio on r erillisen objektin valitsemista n:stä objektista ilman korvaamista ja missä valintajärjestys on tärkeä, laskennan peruslauseen ja permutaation määritelmän perusteella saamme

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Kertomalla ja jakamalla yllä (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, saamme

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Siten johdetaan P(n, r):n kaava.

Yhdistelmäkaavan johtaminen

Yhdistelmä tarkoittaa r kohteen valitsemista n joukosta, kun valintajärjestyksellä ei ole merkitystä. Sen kaava lasketaan seuraavasti,

C(n, r) = Permutaatioiden kokonaismäärä /Tapoja järjestää r eri objektia.
[Koska laskennan peruslauseen perusteella tiedämme, että useita tapoja järjestää r erilaista kohdetta r tavalla = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Siten johdetaan yhdistelmän kaava eli C(n, r).

Ero permutoinnin ja yhdistelmän välillä

Erot permutaatioiden ja yhdistelmän välillä voidaan ymmärtää seuraavasta taulukosta:

Tarkista myös,

• Binomilause
• Binomiaalinen laajennus
• Binomiaaliset satunnaismuuttujat
• Laskennan peruslause

Ratkaistiin esimerkkejä permutaatiosta ja yhdistelmästä

Esimerkki 1: Etsi permutaatioiden ja n = 9 ja r = 3 yhdistelmien lukumäärä .

Ratkaisu:

dfs vs bfs

Annettu, n = 9, r = 3

Käyttämällä yllä olevaa kaavaa:

Permutaatiota varten:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Yhdistelmälle:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Esimerkki 2: Kuinka monella tavalla komitea, jossa on 4 miestä ja 2 naista, voidaan valita 6 miehen ja 5 naisen joukosta?

Ratkaisu:

Valitse 4 miestä kuudesta miehestä =⁶C₄tapoja = 15 tapaa

Valitse 2 naista viidestä naisesta =⁵C₂tapaa = 10 tapaa

Toimikunta voidaan valita⁶C₄×⁵C₂= 150 tapaa.

Esimerkki 3: Kuinka monella tavalla 5 erilaista kirjaa voidaan järjestää hyllylle?

Ratkaisu:

Tämä on permutaatioongelma, koska kirjojen järjestyksellä on väliä.

Permutaatiokaavaa käyttämällä saamme:

⁵P₅= 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Siksi on 120 tapaa järjestää 5 erilaista kirjaa hyllylle.

Esimerkki 4: Kuinka monta 3-kirjaimista sanaa voidaan muodostaa käyttämällä kirjaimia sanasta FABLE?

Ratkaisu:

Tämä on permutaatioongelma, koska kirjainten järjestyksellä on väliä.

Permutaatiokaavaa käyttämällä saamme:

⁵P₃= 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Siksi on olemassa 60 3-kirjaimista sanaa, jotka voidaan muodostaa käyttämällä sanan FABLE kirjaimia.

Esimerkki 5: 10 hengen ryhmästä muodostetaan 5-jäseninen toimikunta. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä?

Ratkaisu:

Tämä on yhdistelmäongelma, koska jäsenten järjestyksellä ei ole väliä.

Yhdistelmäkaavaa käyttämällä saamme:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Siksi on 252 tapaa muodostaa 5-jäseninen komitea 10 hengen ryhmästä.

Esimerkki 6: Pizzaravintola tarjoaa 4 erilaista täytettä pizzalleen. Jos asiakas haluaa tilata pizzan, jossa on täsmälleen 2 täytettä, kuinka monella tavalla se voidaan tehdä?

Ratkaisu:

Tämä on yhdistelmäongelma, koska täytteiden järjestyksellä ei ole väliä.

Yhdistelmäkaavaa käyttämällä saamme:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Siksi on 6 tapaa tilata pizza, jossa on täsmälleen 2 täytettä neljästä eri täytteestä.

Esimerkki 7: Kuinka merkittäviä sanoja voidaan luoda käyttämällä kahta kirjainta termistä LOVE?

Ratkaisu:

Termissä LOVE on 4 erillistä kirjainta.

Siksi vaadittu määrä sanoja =⁴P₂= 4! / (4-2)!

Vaadittu sanojen määrä = 4! / 2! = 24/2

⇒ Vaadittu sanojen määrä = 12

Esimerkki 8: Kuinka monta sanaa 3 konsonantista ja 2 vokaalista voidaan muodostaa viidestä konsonantista ja kolmesta vokaalista?

Ratkaisu:

Tapoja valita 3 konsonanttia viidestä =⁵C₃

Tapoja valita 2 vokaalia kolmesta =³C₂

Lukumäärä tapoja valita 3 konsonanttia 2:sta ja 2 vokaalia 3:sta =⁵C₃׳C₂

⇒ Pakollinen luku = 10 × 3

= 30

Se tarkoittaa, että meillä voi olla 30 ryhmää, joissa jokainen ryhmä sisältää yhteensä 5 kirjainta (3 konsonanttia ja 2 vokaalia).

Lukumäärä tapoja järjestää 5 kirjainta keskenään

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Näin ollen tarvittava määrä tapoja = 30 × 120

⇒ Vaadittu reittien määrä = 3600

konekirjoitus jokaiselle

Esimerkki 9: Kuinka monta erilaista yhdistelmää saat, jos sinulla on 5 tuotetta ja valitset 4?

Ratkaisu:

Lisää annetut numerot yhdistelmäyhtälöön ja ratkaise. n on joukossa olevien kohteiden lukumäärä (tässä esimerkissä 5); r on valitsemiesi kohteiden lukumäärä (4 tässä esimerkissä):

C(n, r) = n! / r! (n - r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5-4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Ratkaisu on 5.

Esimerkki 10: Kuinka monta ilmaisua 6 konsonantista ja 3 vokaalista voidaan luoda 2 konsonantista ja 1 vokaalista?

Ratkaisu:

Tapoja valita 2 konsonanttia 6:sta =⁶C₂

Tapoja valita 1 vokaali kolmesta =³C₁

Tapoja valita 3 konsonanttia 7:stä ja 2 vokaalia 4:stä.

⇒ Vaaditut tavat =⁶C₂׳C₁

⇒ Vaaditut tavat = 15 × 3

⇒ Vaaditut tavat = 45

Se tarkoittaa, että meillä voi olla 45 ryhmää, joissa jokainen ryhmä sisältää yhteensä 3 kirjainta (2 konsonanttia ja 1 vokaali).

Tapoja, joilla 3 kirjainta voidaan järjestää keskenään = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Vaaditut tavat järjestää kolme kirjainta = 6

Näin ollen tarvittava määrä tapoja = 45 × 6

⇒ Vaaditut tavat = 270

Esimerkki 11: Kuinka monessa eri muodossa voidaanko sanan 'PUHELIN' kirjaimet järjestää niin, että vokaalit ovat johdonmukaisia tulla yhdessä?

Ratkaisu:

Sanassa 'PHONE' on 5 kirjainta. Siinä on vokaalit 'O', 'E', ja näiden kahden vokaalin tulisi johdonmukaisesti tulla yhdessä. Näin nämä kaksi vokaalia voidaan ryhmitellä ja tarkastella yhtenä kirjaimena. Eli PHN(OE).

Siksi voimme ottaa yhteensä kirjaimia, kuten 4, ja kaikki nämä kirjaimet ovat erilaisia.

Näiden kirjainten järjestämismenetelmien lukumäärä = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Vaaditut tavat järjestää kirjaimet = 24

Kaikki 2 vokaalia (OE) ovat erillisiä.

windows.open javascript

Kuinka monta tapaa järjestää nämä vokaalit keskenään = 2! = 2 × 1

⇒ Vaadittavat vokaalien järjestystavat = 2

Näin ollen tarvittava määrä tapoja = 24 × 2

⇒ Vaaditut tavat = 48.

Usein kysytyt kysymykset permutaatioista ja yhdistelmistä

Mikä on tekijäkaava?

Permutaatioiden ja yhdistelmien laskemiseen käytetään tekijäkaavaa. Tekijäkaava n:lle! annetaan muodossa

n! = n × (n-1) ×. . . × 4 × 3 × 2 × 1

Esimerkiksi 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ja 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Mikä tekee ⁿ C _r edustaa?

ⁿC_redustaa yhdistelmien määrää, joista voidaan tehdä n esineiden ottamista r kerrallaan.

Mitä tarkoitat permutaatioilla ja yhdistelmillä?

Permutaatio on toiminto, jossa asiat järjestetään tiettyyn järjestykseen. Yhdistelmät ovat tapoja valita r esineitä ryhmästä n objektit, joissa valitun objektin järjestys ei vaikuta kokonaisyhdistelmään.

Kirjoita esimerkkejä permutaatioista ja yhdistelmistä.

3-kirjaimien sanojen lukumäärä, jotka voidaan muodostaa käyttämällä sanan sanoo: HELLO kirjaimia;⁵P₃= 5!/(5-3)! tämä on esimerkki permutaatiosta.
Yhdistelmien lukumäärä voimme kirjoittaa sanat käyttämällä sanan HELLO vokaalia;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], tämä on esimerkki yhdistelmästä.

Kirjoita kaava permutaatioiden ja yhdistelmien löytämiseksi.

• Permutaatioiden laskentakaava: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Yhdistelmien laskentakaava: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Kirjoita tosielämän esimerkkejä permutaatioista ja yhdistelmistä.

Esimerkkejä permutaatioista ovat ihmisten, numeroiden, kirjainten ja värien lajittelu.
Valikon, vaatteiden ja aiheiden valitseminen ovat esimerkkejä yhdistelmistä.

Mikä on 0:n arvo!?

Arvo 0! = 1, on erittäin hyödyllinen permutaatio- ja yhdistelmäongelmien ratkaisemisessa.