Jos haluamme oppia käänteisiä, käänteisiä ja ristiriitaisia väitteitä, meidän on katsottava edellinen artikkelimme, Loogiset liitännät.
Loogiset liitännät
Loogiset konnektiivit ovat eräänlainen operaattori, jota käytetään yhdistämään yksi tai useampi kuin yksi ehdotus. Propositiologiikassa on periaatteessa 5 tyyppiä konnektiivia. Tässä osiossa opimme ehdollisten lauseiden käänteisistä, käänteisistä ja kontrapositiivisista.
Käänteinen, käänteinen ja kontrapositiivinen
Jos on ehdollinen lause x → y, niin
- Käänteinen lause on y → x
- Käänteinen lauseke on ∼x → ∼y
- Kontrapositiivinen lause on ∼y → ∼x
Tärkeät muistiinpanot:
Meidän tulee pitää mielessämme muutamia tärkeitä kohtia, jotka kuvataan seuraavasti:
Huomautus 1: Voimme kirjoittaa vain käänteiset, käänteiset ja kontrapositiiviset lauseet vain ehdollisille lauseille x → y.
Huomautus 2: Jos suoritamme kaksi toimintoa, tulos on aina kolmas.
Esimerkiksi:
- Kontrapositiivista voidaan kuvata käänteisenä.
- Käänteistä voidaan kuvata kontrapositiivisen käänteisversiona.
- Kontrapositiivista voidaan kuvata käänteisenä.
- Käänteistä voidaan kuvata kontrapositiivisen käänteisnä.
- Käänteistä voidaan kuvata käänteisen vastakohtana.
- Käänteistä voidaan kuvata käänteisen vastakohtana.
Huomautus 3:
Ehdollinen lauseke x → y,
Sen käänteisen lauseen (y → x) ja käänteisen lauseen (∼x → ∼y) välillä on yhtä suuri tulos.
Sama tulos on myös x → y:n ja sen kontrapositiivisen lauseen (∼y → ∼x) välillä.
Ongelma perustuu käänteiseen, käänteiseen ja kontrapositiiviseen
On olemassa joitakin ongelmia käänteis-, käänteis- ja vastakohtaisuuksien perusteella, ja näytämme joitakin niistä seuraavasti:
Ongelma 1:
Tänne kirjoitamme joidenkin alla esitettyjen väitteiden käänteiset, käänteiset ja kontrapositiiviset:
- Jos sää on aurinkoinen, menen kouluun.
- Jos 3y - 2 = 10, niin x = 1.
- Jos on sateinen sää, menen ulos nauttimaan siitä.
- Saat hyviä arvosanoja vain, jos opiskelet ahkerasti.
- Menen torille, jos serkkuni tulevat.
- Menen yliopistoon aina, kun ystäväni tulevat.
- Järjestän sinulle juhlat vain, jos ostan hyvän mekon.
- Jos minusta tulee kuuluisa, ansaitsen paljon rahaa.
Ratkaisu:
Osa 1:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Jos sää on aurinkoinen, menen kouluun.'
Tämän lausunnon tulee olla muotoa: 'jos x, niin y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
x: Sää on aurinkoinen
y: Menen kouluun
Käänteinen lausunto: Jos menen kouluun, sää on aurinkoinen.
Käänteinen lausunto: Jos sää ei ole aurinkoinen, en mene kouluun.
Vastakkainen lausunto: Jos en mene kouluun, sää ei ole aurinkoinen.
Osa 2:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lause on 'Jos 3a - 2 = 10, niin a = 1.'
Tämän lausunnon tulee olla muotoa: 'jos x, niin y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
x: 3a - 2 = 10
ja: a = 1
Käänteinen lausunto: Jos a = 1, niin 3a - 2 = 10.
Käänteinen lausunto: Jos 3a - 2 ≠ 10, niin a ≠ 1.
Vastakkainen lausunto: Jos a ≠ 1, niin 3a - 2 ≠ 10.
Osa 3:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Jos on sateinen sää, menen ulos nauttimaan siitä.'
Tämän lausunnon tulee olla muotoa: 'jos x, niin y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Sää on sateinen
Y: Menen ulos nauttimaan siitä
kuinka tietää, onko joku estänyt sinut Androidissa
Käänteinen lausunto: Jos menen ulos nauttimaan siitä, niin siellä on sateinen sää.
Käänteinen lausunto: Jos ei ole sateista säätä, en mene ulos nauttimaan siitä.
Vastakkainen lausunto: Jos en mene ulos nauttimaan siitä, ei ole sateista säätä.
Osa 4:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Saat hyvät arvosanat vain, jos opiskelet kovasti.'
Tämän lausunnon on oltava muotoa 'x vain jos y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Saat hyvät arvosanat
Y: Opiskelet ahkerasti
Käänteinen lausunto: Jos opiskelet kovasti, saat hyvät arvosanat.
Käänteinen lausunto: Jos et saa hyviä arvosanoja, et opi lujasti.
Vastakkainen lausunto: Jos et opi ahkerasti, et saa hyviä arvosanoja.
Osa 5:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Menen torille, jos serkkuni tulevat.'
Tämän lausunnon tulee olla muotoa 'y if x'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Serkkuni tulevat
Y: Menen torille
Käänteinen lausunto: Jos menen torille, niin serkkuni tulevat.
Käänteinen lausunto: Jos serkkuni eivät tule, en mene torille.
Vastakkainen lausunto: Jos minä en mene markkinoille, serkkuni eivät tule.
Osa 6:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Menen yliopistoon aina, kun ystäväni tulevat.'
Tässä lauseessa 'aina' voidaan korvata sanalla 'jos'.
Virkkeen korvaamisen jälkeen tulee 'menen yliopistoon, jos ystäväni tulevat'
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Ystäväni tulevat
Y: Menen yliopistoon
Käänteinen lausunto: Jos menen yliopistoon, ystäväni tulevat.
Käänteinen lausunto: Jos ystäväni eivät tule, en mene yliopistoon.
Vastakkainen lausunto: Jos en mene yliopistoon, ystäväni eivät tule.
Osa 7:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Annan sinulle juhlat vain, jos ostan hyvän mekon.'
Tämän lausunnon on oltava muotoa 'x vain jos y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Järjestän sinulle vain juhlat
Y: Ostan hyvän mekon
Käänteinen lausunto: Jos ostan hyvän mekon, järjestän sinulle juhlat.
Käänteinen lausunto: Jos en järjestä sinulle juhlia, en osta hyvää mekkoa.
Vastakkainen lausunto: Jos en osta hyvää mekkoa, en järjestä sinulle juhlia.
Osa 8:
Meillä on seuraavat tiedot:
modeemi vs reititin
Annettu lausunto on: 'Jos minusta tulee kuuluisa, ansaitsen paljon rahaa.'
Tämän lausunnon on oltava muotoa 'Jos x, niin y'.
Joten tämä lause sisältää symbolisen muodon, eli x → y, missä
X: Minusta tulee kuuluisa
Y: Ansaitsen paljon rahaa
Käänteinen lausunto: Jos ansaitsen paljon rahaa, minusta tulee kuuluisa.
Käänteinen lausunto: Jos minusta ei tule kuuluisaa, en ansaitse paljon rahaa.
Vastakkainen lausunto: Jos en tienaa paljon rahaa, minusta ei tule kuuluisaa.
Ongelma 2:
Tässä meidän on määritettävä kaikkien annettujen väitteiden joukosta käänteinen lause, eli 'menen kouluun vain, jos sää on aurinkoinen'.
- Menen kouluun jos sää on aurinkoinen
- Jos menen kouluun, sää on aurinkoinen
- Jos sää ei ole aurinkoinen, en mene kouluun.
- Jos en mene kouluun, sää on aurinkoinen.
Ratkaisu:
Meillä on seuraavat tiedot:
Annettu lausunto on: 'Menen kouluun vain, jos sää on aurinkoinen.'
Tämän lausunnon on oltava muotoa 'x vain jos y'. Voimme kirjoittaa sen myös muodossa 'Jos x, niin y'.
Joten tämä lausunto sisältää symbolisen muodon, eli x → y. Tämän muodon käänteinen on y → x, missä
X: Menen kouluun
Y: Sää on aurinkoinen
Kuten tiedämme, annetun lauseen käänteinen lause on 'Jos sää on aurinkoinen, niin menen kouluun', joka on muodossa 'jos y, niin x'.
- The ensimmäinen lausunto On totta . Ensimmäinen lausunto on: 'Menen kouluun, jos sää on aurinkoinen'. Tämä lauseke on muodossa 'x if y'. Voimme myös kirjoittaa sen muotoon 'jos x, sitten y', mikä tarkoittaa, että 'jos sää on aurinkoinen, menen kouluun', mikä on tietyn väitteen käänteinen. Siksi ensimmäinen väite on totta.
- The toinen lausunto On väärä . Toinen lause on: 'Jos menen kouluun, sää on aurinkoinen' ja tämä lause on muodossa 'jos x niin y'. Toinen väite on jo annettu kysymyksessä. Siksi se ei ole totta.
- The kolmas lausunto On väärä . Kolmas väite on: 'Jos sää ei ole aurinkoinen, en mene kouluun'. Tämä lauseke on muodossa '∼y → ∼x'. Se ei ole päinvastoin, koska tämä väite on käänteinen kysymyksessä esitetylle väitteelle. Siksi tämä väite ei pidä paikkaansa.
- The neljäs lausunto On väärä . Neljäs väite on: 'Jos en käy koulua, sää on aurinkoinen'. Tämä lauseke on muodossa '∼x → y. Tämä muoto on jotain erilaista, koska se ei ole käänteinen, käänteinen eikä kontrapositiivinen. Tämä johtuu siitä, että toinen puoli on negatiivinen ja toinen puoli ei ole negatiivinen, joten se ei sovi mihinkään luokkaan. Siksi tämä väite ei pidä paikkaansa.
Näin ollen vaihtoehto (A) on totta.