Osamääräsääntö on menetelmä funktion derivaatan löytämiseksi, joka on kahden muun funktion osamäärä. Se on menetelmä, jota käytetään ongelmien erottamiseen, kun yksi funktio jaetaan toisella. Osamääräsääntöä käytetään, kun on löydettävä funktion derivaatta muotoa: f(x)/g(x).

Opitaan osamääräsääntö Calculusissa, sen kaava ja johtaminen ratkaistujen esimerkkien avulla.

Osamääräsäännön määritelmä

Osamääräsääntö on sääntö erilaistuminen niistä funktioista, jotka annetaan muodossa murto-osia , jossa molemmat osoittaja ja nimittäjä ovat yksittäisiä toimintoja. Osamääräsääntö on perustekniikka laskenta funktion derivaatan löytämiseksi, joka on kahden osamäärä (suhde). erotettavia toimintoja . Se tarjoaa menetelmän lausekkeiden erottamiseen, kun yksi funktio on jaettu toisella.

Oletetaan, että meille annetaan funktio f(x) = g(x)/h(x) sitten f(x) differentiaatio, f'(x) löytyy muodossa,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Osamääräsääntökaava

Osamääräsääntökaava on kaava, jolla löydetään osamääräfunktiona ilmaistu funktion differentiaatio. Alla on osamääräsäännön kaava,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Missä,

• u(x) on ensimmäinen funktio, joka on differentioituva funktio,
• u'(x) on funktion u(x) derivaatta,
• v(x) on toinen funktio, joka on differentioituva funktio, ja
• v'(x) on funktion v(x) derivaatta.

Osamäärän sääntötodistus

Voimme johtaa osamääräsäännön seuraavilla menetelmillä:

• Ketjusäännön käyttäminen
• Implisiittisen eriyttämisen käyttäminen
• Johdannais- ja Limit-ominaisuuksien käyttäminen

Opitaanpa nyt niistä yksityiskohtaisesti.

Osamääräsäännön johtaminen ketjusääntöä käyttämällä

Todistaa: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Annettu: H(x) = f(x)/g(x)

Todiste:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

käyttämällä tuotesääntöä,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Tehosääntöä soveltaen,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (x)

Näin ollen osamääräsääntö on todistettu.

Lue lisää:

• Ketjun sääntö

Osamääräsäännön johtaminen implisiittisen differentioinnin avulla

Otetaan differentioituva funktio f(x), jolloin f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

windows.open javascript

käyttämällä tuotesääntöä,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Nyt ratkaistaan ​​f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Korvaa f(x):n arvon f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Näin ollen osamääräsääntö on todistettu.

Lue lisää

• Implisiittinen eriyttäminen

Osamääräsäännön johtaminen johdannais- ja raja-ominaisuuksien avulla

Otetaan differentioituva funktio f(x) siten, että f(x) = u(x)/v(x),

Tiedämme sen,

f'(x) = raja_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Korvaa f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = raja_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = raja_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Rajan jakaminen,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/in²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{101} 1/in²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Mikä on vaadittu osamääräsääntö.

Lue lisää

• Rajojen ominaisuudet
• Johdannaisten säännöt

Kuinka käyttää osamääräsääntöä differentiaatiossa?

Osamääräsääntöä sovelletaan seuraavasti:

mikä on vientikomento Linuxissa

Vaihe 1: Kirjoita yksittäiset funktiot muotoilla u(x) ja v(x).

Vaihe 2: Etsi yksittäisen funktion u(x) ja v(x) derivaatta, eli u'(x) ja v'(x). Käytä nyt osamääräsääntökaavaa,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Vaihe 3: Yksinkertaista yllä oleva yhtälö ja se antaa f(x:n) differentiaalin.

Voimme ymmärtää tämän käsitteen esimerkin avulla.

Esimerkki: Etsi f'(x), jos f(x) = 2x ³ /(x+2)

Annettu,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Vertaamalla f(x) = u(x)/v(x) saadaan

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Nyt erotetaan u(x) ja v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Osamääräsääntöä käyttämällä

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​)/(x + 1)²

Tuote- ja osamääräsääntö

Differentioinnin tulosääntöä käytetään funktion differentiaatioiden selvittämiseen, kun funktio annetaan kahden funktion tulona.

Tuotteiden erottelusääntö toteaa, että jos P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Kun taas osamäärän erottamissääntö käytetään erottamaan funktio, joka esitetään kahden funktion jakona, eli f(x) = p(x)/q(x).

Sitten f(x):n johtaminen käyttämällä osamääräsääntö lasketaan seuraavasti,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Täytyy lukea

• Tuotesääntö Calculusissa
• Ketjun sääntö
• Erilaistumis- ja integraatiokaava
• Logaritminen differentiaatio
• Laskennan perusteet
• Johdannaisten soveltaminen

Esimerkkejä osamääräsäännöistä

Ratkaistaan ​​joitain esimerkkikysymyksiä osamääräsäännöstä.

virtuaalinen muisti

Esimerkki 1: Erottele old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Ratkaisu:

Sekä osoittaja- että nimittäjäfunktiot ovat erotettavissa.

Osamääräsäännön soveltaminen,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Esimerkki 2: Erota, f(x) = tan x.

Ratkaisu:

tan x kirjoitetaan muodossa sinx/cosx, ts.

tan x = (sin x) / (cos x)

Sekä osoittaja- että nimittäjäfunktiot ovat erotettavissa.

Osamääräsäännön soveltaminen,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Esimerkki 3: Differentioi, f(x)= e ^x /x ²

Ratkaisu:

Sekä osoittaja- että nimittäjäfunktiot ovat erotettavissa.

kuinka avata json-tiedosto

Osamääräsäännön soveltaminen,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Esimerkki 4: Erottele, y=frac{cosx}{x^2}

Ratkaisu:

Sekä osoittaja- että nimittäjäfunktiot ovat erotettavissa.

Osamääräsäännön soveltaminen,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Esimerkki 5: Erota, f(p) = p+5/p+7

Ratkaisu:

Sekä osoittaja- että nimittäjäfunktiot ovat erotettavissa.

Osamääräsäännön soveltaminen,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Harjoitusongelmat

Tässä on muutamia osamääräsäännön harjoitusongelmia, jotka sinun on ratkaistava.

P1. Etsi derivaatta f(x) = (x ² + 3)/(ilman x:tä)

P2. Etsi derivaatta f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

matematiikka pow java

P3. Etsi derivaatta f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Etsi derivaatta f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Johdannaisen osamääräsääntö – FAQ

Mikä on osamääräinen differentiaatiosääntö?

Differentioimissääntö on sääntö, jonka avulla löydetään osamäärämuodossa annetun funktion differentiaatio eli funktio, joka on annettu kahden funktion jakajana.

Mikä on osamääräsääntökaava?

Osamääräsääntökaava on,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Tämä kaava antaa funktion differentiaalin, joka esitetään muodossa f(x)/g(x).

Kuinka johdetaan osamääräsäännön kaava?

Osamääräsääntö voidaan johtaa kolmella menetelmällä,

• Johdannais- ja Limit-ominaisuuksien mukaan
• Implisiittisen eriyttämisen avulla
• Ketjusäännön mukaan

Kuinka osamääräsääntöä käytetään?

Osamääräsääntöä käytetään määrittämään funktion differentiaatio, joka ilmaistaan ​​kahden funktion jaolla, joka sisältää kaikki muodon f(x) ja g(x) funktiot siten, että f(x) ja g(x) ovat yksilöllisiä. ja g(x) ei voi koskaan olla nolla.

Kuinka löydät jakofunktion johdannaisen?

Jakofunktion derivaatta löytyy helposti osamääräsäännön kaavalla, eli jos meidän on löydettävä H(x):n differentiaatio siten, että H(x) ilmaistaan ​​muodossa H(x) = f(x)/g(x) sitten sen johdannainen ilmaistaan

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Mikä on osamäärän raja-sääntö?

Osamäärän rajoitusten sääntö sanoo, että osamääräfunktion raja on yhtä suuri kuin kunkin funktion rajan osamäärä.