Vektori projektio on vektorin varjo toisen vektorin päällä. Projektiovektori saadaan kertomalla vektori näiden kahden vektorin välisen kulman Cos:lla. Vektorilla on sekä suuruus että suunta. Kahden vektorin sanotaan olevan yhtä suuri, jos niillä on sama suuruus ja suunta. Vektoriprojisointi on välttämätöntä fysiikan ja matematiikan numeeristen ratkaisujen kannalta.

Tässä artikkelissa opimme, mikä on vektoriprojektio, vektoriprojektiokaavan esimerkki, vektoriprojektiokaava, vektoriprojektiokaavan johtaminen, vektoriprojektiokaava lineaarinen algebra, vektoriprojektiokaava 3d ja joistakin muista asiaan liittyvistä käsitteistä yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Mikä on vektoriprojektio?
• Vector Projection Formula
• Vector Projection Formula Derivation
• Vektoriprojektiokaavaesimerkkejä
• Vektoriprojektion käytännön sovellukset ja merkitys
• Reaalimaailman ongelmanratkaisuesimerkkejä vektoriprojektiosta

Mikä on vektoriprojektio?

Vektoriprojektio on menetelmä, jolla vektoria pyöritetään ja se asetetaan toiseen vektoriin. Siten vektori saadaan, kun vektori erotetaan kahdeksi komponentiksi, yhdensuuntaiseksi ja kohtisuoraksi. Rinnakkaisvektoria kutsutaan projektiovektoriksi. Siten vektoriprojektio on vektorin varjon pituus toiseen vektoriin nähden.

Vektorin vektoriprojektio saadaan kertomalla vektori näiden kahden vektorin välisen kulman Cos:lla. Oletetaan, että meillä on kaksi vektoria 'a' ja 'b' ja meidän on löydettävä vektorin a projektio vektorille b, jolloin kerrotaan vektori 'a':lla cosθ, jossa θ on vektorin a ja vektorin b välinen kulma.

Vector Projection Formula

Josvec Aon edustettuna A javec Bon esitetty muodossa B, A:n vektoriprojektio B:lle annetaan A:n tulona Cos θ:n kanssa, missä θ on A:n ja B:n välinen kulma. Toinen kaava A:n vektoriprojektiolle B:lle annetaan A:n ja B:n tulona. B jaettuna B:n magnitudilla. Näin saatu projektiovektori on A:n skalaarikerrannainen ja sen suunta on B:n suuntaan.

Vector Projection Formula Derivation

Vektoriprojektiokaavan johtamista käsitellään alla:

Oletetaan, että OP =vec Aja OQ =vec Bja OP:n ja OQ:n välinen kulma on θ. Piirretty PN kohtisuoraan OQ:ta vastaan.

Oikeassa kolmiossa OPN Cos θ = ON/OP

⇒ PÄÄLLÄ = PÄÄLLÄ Cos θ

⇒ PÄÄLLÄ = |vec A| Cos θ

ON on projektiovektorivec Apäällävec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

muuntaa java-objektin json-muotoon

⇒ PÄÄLLÄ =frac{vec A.vec B}

Tästä syystä ON =|vec A|.hat B

Siten vektorin projektiovec Apäällävec Bannetaan muodossafrac{vec A.vec B}

vektoriprojektiovec Bpäällävec Aannetaan muodossafrac{vec A.vec B}

Tarkista myös: Vektorityypit

Vektoriprojektio Tärkeitä termejä

Löytääksemme vektoriprojektion meidän on opittava löytämään kahden vektorin välinen kulma ja myös laskemaan kahden vektorin välinen pistetulo.

Kahden vektorin välinen kulma

Kahden vektorin välinen kulma annetaan kahden vektorin pistetulon kosinin käänteisarvona jaettuna kahden vektorin suuruuden tulolla.

Oletetaan, että meillä on kaksi vektoriavec Ajavec Bniiden välinen kulma on θ

ei tyhjä js:ssä

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Kahden vektorin pistetulo

Oletetaan, että meillä on kaksi vektoriavec Ajavec Bmääriteltyvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kjavec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k sitten pistetulo niiden välillä annetaan muodossa

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Aiheeseen liittyvä artikkeli:

• Vector lisäys
• Yksikkövektori
• Vektorialgebra
• Lineaarialgebra

Vektoriprojektiokaavaesimerkkejä

Esimerkki 1. Etsi vektorin projektio 4hat i + 2hat j + hat k päällä 5hat i -3hat j + 3hat k .

Ratkaisu:

Tässä,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Tiedämme, vektorin a projektio vektorille b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Esimerkki 2. Etsi vektorin projektio 5hat i + 4hat j + hat k päällä 3hat i + 5hat j – 2hat k

Ratkaisu:

Tässä,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Tiedämme, vektorin a projektio vektorille b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Esimerkki 3. Etsi vektorin projektio 5hat i – 4hat j + hat k päällä 3hat i – 2hat j + 4hat k

Ratkaisu:

Tässä,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Tiedämme, vektorin a projektio vektorille b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Esimerkki 4. Etsi vektorin projektio 2hat i – 6hat j + hat k päällä 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Ratkaisu:

java-pakomerkki

Tässä,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Tiedämme, vektorin a projektio vektorille b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Esimerkki 5. Etsi vektorin projektio 2hat i – hat j + 5hat k päällä 4hat i – hat j + hat k .

Ratkaisu:

Tässä,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Tiedämme, vektorin a projektio vektorille b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Tarkistaa: Vektoritoiminnot

Vektoriprojektion käytännön sovellukset ja merkitys

Fysiikka

• Force Decomposition : Fysiikassa vektoriprojektiokaava on ratkaiseva hajottaessa voimia pintojen suuntaisiksi ja kohtisuoraksi. Esimerkiksi köyden kohdistaman voiman ymmärtäminen köydenvetopelissä edellyttää voimavektorin projisointia köyden suuntaan.

• Työn laskeminen : Voiman tekemä työ siirtymän aikana lasketaan käyttämällä vektoriprojektiota. Työ on voimavektorin ja siirtymävektorin pistetulo, olennaisesti projisoimalla yhden vektorin toiseen löytääkseen voimakomponentin siirtymäsuunnassa.

Tekniikka

• Rakenteellinen analyysi : Insinöörit käyttävät vektoriprojektiota komponenttien jännitysten analysoimiseen. Projisoimalla voimavektoreita rakenneakseleille, ne voivat määrittää jännityskomponentit eri suuntiin, mikä auttaa suunnittelemaan turvallisempia ja tehokkaampia rakenteita.

• Neste dynamiikkaa : Nestedynamiikassa vektoriprojektio auttaa analysoimaan nestevirtausta esineiden ympärillä. Projisoimalla nesteen nopeusvektoreita pinnoille, insinöörit voivat tutkia virtauskuvioita ja voimia, jotka ovat tärkeitä aerodynaamisen suunnittelun ja hydrauliikkatekniikan kannalta.

Tietokonegrafiikka

• Renderöintitekniikat : Vektoriprojisointi on keskeistä tietokonegrafiikassa varjojen ja heijastusten hahmontamisessa. Projisoimalla valovektoreita pinnoille grafiikkaohjelmisto laskee varjojen ja heijastusten kulmat ja intensiteetit, mikä parantaa 3D-mallien realistisuutta.

• Animaatio ja pelikehitys : Animaatiossa vektoriprojektiota käytetään simuloimaan liikkeitä ja vuorovaikutuksia. Esimerkiksi sen määrittämiseen, kuinka hahmo liikkuu epätasaisessa maastossa, heijastetaan liikevektoreita maaston pinnalle, mikä mahdollistaa realistiset animaatiot.

Tarkistaa: Lineaarialgebran perusvektorit

Reaalimaailman ongelmanratkaisuesimerkkejä vektoriprojektiosta

Esimerkki 1: GPS-navigointi

• Konteksti : GPS-navigointijärjestelmissä vektoriprojektiota käytetään laskemaan lyhin reitti kahden maan pinnan pisteen välillä.
• Sovellus : Projisoimalla kahden maantieteellisen sijainnin välisen siirtymävektorin maan pintavektoriin, GPS-algoritmit voivat laskea etäisyydet ja suunnat tarkasti ja optimoida matkareittejä.

Esimerkki 2: Urheiluanalyysi

• Konteksti : Urheiluanalytiikassa, erityisesti jalkapallossa tai koripallossa, vektoriprojektio auttaa analysoimaan pelaajien liikkeitä ja pallojen lentoratoja.
• Sovellus : Projisoimalla pelaajien liikevektorit pelikentälle tai kentälle analyytikot voivat tutkia liikkeiden kuvioita, nopeuksia ja tehokkuutta, mikä edistää strategista suunnittelua ja suorituskyvyn parantamista.

Esimerkki 3: Uusiutuvan energian suunnittelu

• Konteksti : Tuulivoimaloiden suunnittelussa tuulivoiman komponenttien ymmärtäminen on välttämätöntä energiantuotannon optimoimiseksi.
• Sovellus : Insinöörit projisoivat tuulen nopeusvektorit turbiinin siipien tasolle. Tämä analyysi auttaa määrittämään siipien optimaalisen kulman ja suunnan tuulienergian talteenoton maksimoimiseksi.

Esimerkki 4: Lisätty todellisuus (AR)

• Konteksti : Lisätyn todellisuuden sovelluksissa vektoriprojektiota käytetään virtuaalisten kohteiden sijoittamiseen tarkasti reaalimaailman tiloihin.
• Sovellus : Projisoimalla vektoreita virtuaaliobjekteista AR-laitteiden kaappaamille todellisille tasoille kehittäjät voivat varmistaa, että virtuaaliobjektit ovat realistisessa vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa, mikä parantaa käyttökokemusta.

Tarkistaa: Vectorin osat

Usein kysytyt kysymykset vektoriprojektiosta

Määritä projektiovektori.

Projektiovektori on vektorin varjo toisessa vektorissa.

Mikä on vektoriprojektiokaava?

Vektorin projektion kaava on annettu muodossafrac{vec A.vec B}

Kuinka löytää projektiovektoria?

Projektiovektori löydetään laskemalla kahden vektorin pistetulo jaettuna sillä, jolle varjo heitetään.

c++ prototyyppitoiminto

Mitä käsitteitä tarvitaan projektiovektorin laskemiseen?

Meidän on tiedettävä kahden vektorin välinen kulma ja kahden vektorin pistetulo laskeaksemme vektoriprojektiota.

Missä projektiovektoria käytetään?

Projektiovektoria käytetään ratkaisemaan erilaisia ​​fysiikan numeerisia asioita, jotka edellyttävät vektorisuureen jakamista sen komponentteihin.

Mikä on vektoriprojektion merkitys fysiikassa?

Fysiikassa vektoriprojektio on ratkaiseva tekijä voimien hajottamisessa, voiman tietyssä suunnassa tekemän työn laskemisessa ja liikkeen analysoinnissa. Se auttaa ymmärtämään, kuinka vektorin eri komponentit vaikuttavat eri suuntiin.

Voiko vektoriprojektio olla negatiivinen?

Kyllä, vektoriprojektion skalaarikomponentti voi olla negatiivinen, jos kahden vektorin välinen kulma on suurempi kuin 90 astetta, mikä osoittaa, että projektio kulkee vastakkaiseen suuntaan kuin kantavektori.

Miten vektoriprojektiota käytetään tekniikassa?

Insinöörit käyttävät vektoriprojektiota analysoidakseen rakenteellisia jännityksiä, optimoidakseen suunnitelmia hajottamalla voimat hallittavissa oleviksi komponenteiksi ja nestedynamiikassa tutkiakseen virtausmalleja pintoja vasten.

Mitä eroa skalaari- ja vektoriprojektiolla on?

Skalaariprojektio antaa yhden vektorin magnitudin toisen suunnassa ja voi olla positiivinen tai negatiivinen. Vektoriprojektio puolestaan ​​​​ei vain ota huomioon suuruutta, vaan antaa myös projektion suunnan vektorina.

Mitä ovat vektoriprojektion reaalimaailman sovellukset?

Vektoriprojektiolla on sovelluksia GPS-navigointiin, urheiluanalytiikkaan, tietokonegrafiikkaan varjojen ja heijastusten hahmontamiseen sekä lisättyyn todellisuuteen virtuaalisten esineiden sijoittamiseen todellisiin tiloihin.