Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

merkkijonoa verrattuna javaan

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu /9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden /{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on /{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa /{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska /{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys /{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa /{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) ^{12}$
B) ^4$
C) ^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla ^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa /6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon

Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu $5/9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden ${5}/{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on ${5}/{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa ${9}/{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$1 = {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska ${9}/{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys ${5}/{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa ${25}/{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos $3x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla $2^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $2^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että $3x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, $3x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa $1/6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon $0.166$ tai $0.167$.

Lopullinen vastaus on $1/6$, $0.166$ tai $0.167$.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , $3 + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen $2 + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on $1/3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on ${3}/{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on $5x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

$5x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on ${50}/{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $2p$ $x$:n ja $5r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $4$:lla:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Oikea vastaus on B , $3/4$.

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $9$:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on $2m$:n ja $15$:n keskiarvo ja $z$ on arvojen $3m$ ja $18$ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke $1.5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on $0$, kun taas jos vastaus on D, $r$ on $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.

Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu $5/9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden ${5}/{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on ${5}/{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa ${9}/{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$1 = {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska ${9}/{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys ${5}/{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa ${25}/{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos $3x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla $2^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $2^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että $3x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, $3x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa $1/6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon $0.166$ tai $0.167$.

Lopullinen vastaus on $1/6$, $0.166$ tai $0.167$.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , $3 + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen $2 + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on $1/3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on ${3}/{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on $5x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

$5x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on ${50}/{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $2p$ $x$:n ja $5r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $4$:lla:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Oikea vastaus on B , $3/4$.

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $9$:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on $2m$:n ja $15$:n keskiarvo ja $z$ on arvojen $3m$ ja $18$ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke $1.5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on $0$, kun taas jos vastaus on D, $r$ on $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.

Lopullinen vastaus on /6$,

Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu $5/9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden ${5}/{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on ${5}/{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa ${9}/{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$1 = {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska ${9}/{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys ${5}/{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa ${25}/{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos $3x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla $2^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $2^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että $3x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, $3x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa $1/6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon $0.166$ tai $0.167$.

Lopullinen vastaus on $1/6$, $0.166$ tai $0.167$.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , $3 + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen $2 + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on $1/3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on ${3}/{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on $5x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

$5x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on ${50}/{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $2p$ $x$:n ja $5r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $4$:lla:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Oikea vastaus on B , $3/4$.

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $9$:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on $2m$:n ja $15$:n keskiarvo ja $z$ on arvojen $3m$ ja $18$ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke $1.5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on $0$, kun taas jos vastaus on D, $r$ on $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.

Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu $5/9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden ${5}/{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on ${5}/{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa ${9}/{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$1 = {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska ${9}/{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys ${5}/{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa ${25}/{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos $3x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla $2^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $2^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että $3x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, $3x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa $1/6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon $0.166$ tai $0.167$.

Lopullinen vastaus on $1/6$, $0.166$ tai $0.167$.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , $3 + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen $2 + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on $1/3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on ${3}/{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on $5x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

$5x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on ${50}/{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $2p$ $x$:n ja $5r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $4$:lla:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Oikea vastaus on B , $3/4$.

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $9$:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on $2m$:n ja $15$:n keskiarvo ja $z$ on arvojen $3m$ ja $18$ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke $1.5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on $0$, kun taas jos vastaus on D, $r$ on $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on /3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on /{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on /{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

palautustyyppi javassa

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) /5$

B) /4$

C) /3$

D) /2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla p$ $x$:n ja r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $:lla:

p = 4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

Oikea vastaus on B , /4$.

Tietokoneverkot

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on m$:n ja $:n keskiarvo ja $z$ on arvojen m$ ja $ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke .5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on

Haluatko testata itsesi vaikeimpia SAT-matematiikan kysymyksiä vastaan? Haluatko tietää, mikä tekee näistä kysymyksistä niin vaikeita ja kuinka parhaiten ratkaista ne? Jos olet valmis todella upottamaan hampaasi SAT-matematiikan osioon ja kohdistamaan huomiosi tähän täydelliseen tulokseen, tämä on opas sinulle.

Olemme koonneet sen, minkä uskomme olevan nykyisen SAT:n 15 vaikeinta kysymystä , jossa on strategioita ja vastausselitykset jokaiselle. Nämä ovat kaikki kovia SAT-matematiikan kysymyksiä College Boardin SAT-harjoituskokeista, mikä tarkoittaa, että niiden ymmärtäminen on yksi parhaista tavoista opiskella niille, jotka tavoittelevat täydellisyyttä.

Kuva: Sonia Sevilla /Wikimedia

Lyhyt yleiskatsaus SAT Math

SAT:n kolmas ja neljäs osa ovat aina matemaattisia osioita . Ensimmäinen matemaattinen alajakso (tunniste '3') tekee ei voit käyttää laskinta, kun taas toinen matemaattinen alajakso (merkitty numerolla '4') tekee salli laskimen käyttö. Älä kuitenkaan ole huolissasi ei-laskin-osiosta: jos et saa käyttää laskinta kysymykseen, et tarvitse laskinta vastataksesi siihen.

Jokainen matematiikan alajakso on järjestetty nousevaan vaikeusasteeseen (missä mitä kauemmin ongelman ratkaiseminen kestää ja mitä vähemmän ihmisiä vastaa siihen oikein, sitä vaikeampaa se on). Jokaisessa alaosiossa kysymys 1 on 'helppo' ja kysymys 15 'vaikea'. Nouseva vaikeus palautuu kuitenkin helposta vaikeaksi ruudukkoliitännöissä.

Tästä syystä monivalintakysymykset järjestetään vaikeusasteella (kysymykset 1 ja 2 ovat helpoimpia, kysymykset 14 ja 15 vaikeimmat), mutta vaikeustaso nollautuu grid-in-osion osalta (eli kysymykset 16 ja 17 ovat jälleen 'helppo' ja kysymykset 19 ja 20 ovat erittäin vaikeita).

Hyvin harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta vaikeimmat SAT-matematiikan tehtävät ryhmitellään monivalintasegmenttien loppuun tai ruudukkokysymysten toiselle puoliskolle. Testiin sijoittamisen lisäksi näillä kysymyksillä on kuitenkin myös muutamia muita yhteisiä piirteitä. Hetken kuluttua tarkastelemme esimerkkikysymyksiä ja niiden ratkaisemista. Sitten analysoimme niitä selvittääksemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on.

Mutta ensin: Pitäisikö sinun keskittyä vaikeimpiin matemaattisiin kysymyksiin juuri nyt?

Jos olet vasta aloittamassa opintojen valmistelua (tai jos olet yksinkertaisesti ohittanut tämän ensimmäisen, ratkaisevan vaiheen), pysähdy ehdottomasti ja suorita täydellinen harjoitustesti arvioidaksesi nykyistä pisteitasosi. Tutustu oppaaseemme kaikki ilmaiset SAT-harjoitustestit, jotka ovat saatavilla verkossa ja istu sitten alas tekemään testi kerralla.

Ehdottomasti paras tapa arvioida nykyistä tasosi on yksinkertaisesti suorittaa SAT-harjoitustesti ikään kuin se olisi todellinen , noudattamalla tiukkaa ajoitusta ja työskentelemällä suoraan vain sallituilla tauoilla (tiedämme – ei luultavasti suosikkitapasi viettää lauantaita). Kun sinulla on hyvä käsitys nykyisestä tasostasi ja prosenttipisteistäsi, voit asettaa virstanpylväitä ja tavoitteita lopulliselle SAT-matematiikan tuloksellesi.

Jos saat tällä hetkellä pisteet 200-400 tai 400-600 SAT Mathissa, paras vaihtoehto on ensin tutustua oppaaseemme matematiikan tulosten parantamiseksi. olla jatkuvasti 600:ssa tai yli, ennen kuin alat yrittää ratkaista kokeen vaikeimpia matemaattisia tehtäviä.

Jos kuitenkin ansaitset jo yli 600 pisteet Math-osiossa ja haluat testata taitosi todelliseen SAT:iin, siirry ehdottomasti tämän oppaan loppuosaan. Jos tavoittelet täydellisyyttä (tai lähellä sitä) , sinun on tiedettävä, miltä vaikeimmat SAT-matematiikan kysymykset näyttävät ja kuinka ne ratkaistaan. Ja onneksi juuri niin teemme.

VAROITUS: Koska niitä on rajoitettu määrä viralliset SAT-harjoitustestit , sinun kannattaa odottaa tämän artikkelin lukemista, kunnes olet yrittänyt kaikki tai useimmat neljästä ensimmäisestä virallisesta harjoitustestistä (koska suurin osa alla olevista kysymyksistä on otettu näistä testeistä). Jos olet huolissasi näiden testien pilaamisesta, lopeta tämän oppaan lukeminen nyt. palaa ja lue se, kun olet saanut ne valmiiksi.

Siirrytään nyt kysymysluetteloomme (whhoo)!

Kuva: Niytx /DeviantArt

15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä

Nyt kun olet varma, että sinun pitäisi yrittää näitä kysymyksiä, sukeltakaamme suoraan! Olemme kuratoineet 15 vaikeinta SAT-matematiikan kysymystä, joita voit kokeilla alla, sekä ohjeita vastauksen saamiseen (jos olet järkyttynyt).

Ei Laskin SAT-matemaattisia kysymyksiä

Kysymys 1

$$C=5/9(F-32)$$

Yllä oleva yhtälö näyttää kuinka lämpötila $F$, mitattuna Fahrenheit-asteina, liittyy lämpötilaan $C$, mitattuna Celsius-asteina. Minkä seuraavista täytyy olla totta yhtälön perusteella?

1. Lämpötilan nousu 1 Fahrenheit-aste vastaa lämpötilan nousua $ 5/9 $ Celsius-astetta.
2. Yhden Celsius-asteen lämpötilan nousu vastaa 1,8 Fahrenheit-asteen lämpötilan nousua.
3. Lämpötilan nousu $5/9$ Fahrenheit-astetta vastaa 1 Celsius-asteen lämpötilan nousua.

A) vain minä
B) Vain II
C) Vain III
D) Vain I ja II

VASTAUKSEN SELITYS: Ajattele yhtälöä suoran yhtälönä

$$y=mx+b$$

missä tässä tapauksessa

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

tai

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Näet kaavion kaltevuuden ${5}/{9}$, mikä tarkoittaa, että 1 Fahrenheit-asteen nousu on ${5}/{9}$ 1 Celsius-asteella.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Siksi väite I on totta. Tämä vastaa sitä, että 1 Celsius-asteen nousu vastaa ${9}/{5}$ Fahrenheit-asteen nousua.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$1 = {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Koska ${9}/{5}$ = 1,8, lause II on tosi.

Ainoa vastaus, jossa sekä lause I että väite II ovat totta, on D , mutta jos sinulla on aikaa ja haluat olla täysin perusteellinen, voit myös tarkistaa, pitääkö väite III (lisäys ${5}/{9}$ Fahrenheit-astetta vastaa lämpötilan nousua 1 Celsius-astetta) pitää paikkansa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (joka on ≠ 1)$$

Fahrenheit-asteen 5 $/9 $ nousu johtaa ${25}/{81}$ nousuun, ei 1 Celsius-asteeseen, joten väite III ei pidä paikkaansa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 2

Yhtälö${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$on totta kaikille $x≠2/a$:n arvoille, missä $a$ on vakio.

Mikä on $a$:n arvo?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VASTAUKSEN SELITYS: On kaksi tapaa ratkaista tämä kysymys. Nopein tapa on kertoa annetun yhtälön kumpikin puoli $ax-2$:lla (jotta pääset eroon murtoluvusta). Kun kerrot kummankin puolen $ax-2$:lla, sinulla pitäisi olla:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Sinun tulee sitten kertoa $(-8x-3)$ ja $(ax-2)$ käyttämällä FOILIA.

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Vähennä sitten yhtälön oikealla puolella

$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Koska $x^2$-termin kertoimien on oltava yhtä suuria yhtälön molemmilla puolilla, $−8a = 24$ tai $a = −3$.

Toinen vaihtoehto, joka on pidempi ja tylsempi, on yrittää kytkeä kaikki a:n vastausvaihtoehdot ja katsoa, ​​mikä vastausvaihtoehto tekee yhtälön molemmat puolet samanarvoisiksi. Tämä on jälleen pidempi vaihtoehto, enkä suosittele sitä varsinaiselle SAT:lle, koska se tuhlaa liikaa aikaa.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 3

Jos $3x-y = 12$, mikä on ${8^x}/{2^y}$ arvo?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Arvoa ei voida määrittää annettujen tietojen perusteella.

VASTAUKSEN SELITYS: Yksi lähestymistapa on ilmaista

$${8^x}/{2^y}$$

niin, että osoittaja ja nimittäjä ilmaistaan ​​samalla kantalla. Koska 2 ja 8 ovat molemmat luvun 2 potenssit, korvaamalla $2^3$ luvun ${8^x}/{2^y}$ osoittajassa 8 saadaan

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

joka voidaan kirjoittaa uudelleen

$${2^3x}/{2^y}$$

Koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kanta, tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $2^(3x−y)$. Kysymyksessä todetaan, että $3x − y = 12$, joten eksponentti voidaan korvata 12:lla, $3x − y$, mikä tarkoittaa, että

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 4

Pisteet A ja B sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on 1, ja kaaren ${AB}↖⌢$ pituus on $π/3$. Mikä murto-osa ympyrän kehästä on kaaren ${AB}↖⌢$ pituus?

VASTAUKSEN SELITYS: Saadaksesi vastauksen tähän kysymykseen, sinun on ensin tiedettävä kaava ympyrän kehän löytämiseksi.

Ympyrän ympärysmitta $C$ on $C = 2πr$, missä $r$ on ympyrän säde. Annetulla ympyrällä, jonka säde on 1, ympärysmitta on $C = 2(π)(1)$ tai $C = 2π$.

Saadaksesi selville, mikä kehän murto-osa on ${AB}↖⌢$:n pituus, jaa kaaren pituus ympärysmitalla, jolloin saadaan $π/3 ÷ 2π$. Tämä jako voidaan esittää kaavalla $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Murto-osa $1/6$ voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon $0.166$ tai $0.167$.

Lopullinen vastaus on $1/6$, $0.166$ tai $0.167$.

Kysymys 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jos yllä oleva lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon $a+bi$, jossa $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja, mikä on $a$:n arvo? (Huomaa: $i=√{-1}$)

VASTAUKSEN SELITYS: Jos haluat kirjoittaa ${8-i}/{3-2i}$ uudelleen vakiomuotoon $a + bi$, sinun on kerrottava ${8-i}/{3-2i}$ osoittaja ja nimittäjä konjugaatilla , $3 + 2i$. Tämä vastaa

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2) )-(2i)^2}$$

Koska $i^2=-1$, tämä viimeinen murto-osa voidaan pienentää yksinkertaistettuna

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

mikä yksinkertaistaa edelleen $2 + i$:iin. Siksi, kun ${8-i}/{3-2i}$ kirjoitetaan uudelleen vakiomuotoon a + bi, a:n arvo on 2.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymys 6

Kolmiossa $ABC$ arvon $∠B$ mitta on 90°, $BC=16$ ja $AC$=20. Kolmio $DEF$ on samanlainen kuin kolmio $ABC$, jossa pisteet $D$, $E$ ja $F$ vastaavat pisteitä $A$, $B$ ja $C$, ja kolmion $ kumpaakin sivua DEF$ on $1/3$ kolmion $ABC$ vastaavan sivun pituus. Mikä on $sinF$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Kolmio ABC on suorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kohdassa B. Siksi $ov {AC}$ on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusa ja $ov {AB}$ ja $ov {BC}$ ovat kolmion haarat. suorakulmainen kolmio ABC. Pythagoraan lauseen mukaan

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärki F vastaa kärkeä C, $kulma ∠ {F}$ on yhtä suuri kuin $kulma ∠ {C}$. Siksi $sin F = sin C$. Kolmion ABC sivujen pituuksista,

$$sinF ={vastakkainen side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Siksi $sinF ={3}/{5}$.

Lopullinen vastaus on ${3}/{5}$ tai 0,6.

Laskimen sallitut matemaattiset SAT-kysymykset

Kysymys 7

Yllä oleva epätäydellinen taulukko esittää yhteenvedon vasenkätisten ja oikeakätisten opiskelijoiden lukumäärästä sukupuolen mukaan Keiselin keskikoulun kahdeksannen luokan opiskelijoiden osalta. Oikeakätisiä naisopiskelijoita on viisi kertaa enemmän kuin vasenkätisiä naisopiskelijoita, ja oikeakätisiä miesopiskelijoita on 9 kertaa enemmän kuin vasenkätisiä miesopiskelijoita. jos koulussa on yhteensä 18 vasenkätistä ja 122 oikeakätistä oppilasta, mikä seuraavista on lähimpänä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valittu oikeakätinen oppilas on nainen? (Huomaa: Oletetaan, että yksikään kahdeksannen luokan oppilaista ei ole sekä oikea- että vasenkätinen.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee luoda kaksi yhtälöä käyttämällä kahta muuttujaa ($x$ ja $y$) ja antamiasi tietoja. Olkoon $x$ vasenkätisten naisopiskelijoiden lukumäärä ja $y$ vasenkätisten miesopiskelijoiden lukumäärä. Tehtävässä annettujen tietojen perusteella oikeakätisten naisopiskelijoiden määrä on $5x$ ja oikeakätisten miesopiskelijoiden määrä 9y$. Koska vasenkätisten opiskelijoiden kokonaismäärä on 18 ja oikeakätisten 122, alla olevan yhtälöjärjestelmän on oltava tosi:

$$x + y = 18 $$

$5x + 9v = 122$$

Kun ratkaiset tämän yhtälöjärjestelmän, saat $x = 10$ ja $y = 8$. Siten 122 oikeakätisestä opiskelijasta 5*10 eli 50 on naisia. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu oikeakätinen opiskelija on nainen, on ${50}/{122}$, mikä lähimpään tuhannesosaan on 0,410.

Lopullinen vastaus on A.

Kysymykset 8 ja 9

Käytä seuraavia tietoja sekä kysymyksessä 7 että kysymyksessä 8.

Jos ostajat saapuvat kauppaan keskimäärin $r$ ostajaa minuutissa ja jokainen oleskelee kaupassa keskimäärin $T$ minuuttia, annetaan kaupassa olevien keskimääräinen ostosten lukumäärä, $N$, kerrallaan. kaavalla $N=rT$. Tämä suhde tunnetaan nimellä Littlen laki.

Good Deals Storen omistaja arvioi, että aukioloaikoina myymälään tulee keskimäärin 3 ostajaa minuutissa ja heistä jokainen viipyy keskimäärin 15 minuuttia. Liikkeenomistaja arvioi Littlen lain perusteella, että kaupassa on kerrallaan 45 ostajaa.

Kysymys 8

Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa myymälän osaan, kuten tiettyyn osastoon tai kassalinjoihin. Myymälän omistaja arvioi, että aukioloaikoina noin 84 ostajaa tekee ostoksia tunnissa ja jokainen heistä viettää kassalla keskimäärin 5 minuuttia. Kuinka monta ostajaa keskimäärin milloin tahansa työaikana odottaa kassajonossa tehdäkseen ostoksen Good Deals Storessa?

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kysymys sanoo, että Littlen lakia voidaan soveltaa mihin tahansa yksittäiseen myymälän osaan (esimerkiksi vain kassariville), keskimääräinen ostajien määrä, $N$, kassarivillä milloin tahansa on $N = rT $, jossa $r$ on kassajonolle saapuvien asiakkaiden määrä minuutissa ja $T$ on keskimääräinen minuuttimäärä, jonka kukin ostaja viettää kassajonossa.

Koska 84 ostajaa tunnissa tekee ostoksen, kassalle tulee 84 ostajaa tunnissa. Tämä on kuitenkin muutettava ostajien määräksi minuutissa (jotta sitä voidaan käyttää $T = 5$:n kanssa). Koska yhdessä tunnissa on 60 minuuttia, hinta on ${84 $ shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ shoppers per minuutti. Käyttämällä annettua kaavaa, jossa $r = 1,4$ ja $T = 5$, saadaan tuotto

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Siksi keskimääräinen ostosten määrä, $N $, kassajonossa milloin tahansa työaikana on 7.

Lopullinen vastaus on 7.

Kysymys 9

Good Deals Storen omistaja avaa uuden myymälän eri puolille kaupunkia. Uuden myymälän osalta omistaja arvioi, että aukioloaikoina keskimäärin 90 ostajaa pertunninastua myymälään ja jokainen niistä viipyy keskimäärin 12 minuuttia. Kuinka monta prosenttia keskimääräinen ostajamäärä uudessa kaupassa milloin tahansa on pienempi kuin alkuperäisen liikkeen keskimääräinen ostajamäärä milloin tahansa? (Huomaa: Ohita prosenttisymboli, kun kirjoitat vastausta. Jos vastaus on esimerkiksi 42,1 %, kirjoita 42,1)

VASTAUKSEN SELITYS: Alkuperäisten tietojen mukaan arvioitu keskimääräinen ostajamäärä alkuperäisessä liikkeessä kerrallaan (N) on 45. Kysymyksessä todetaan, että uudessa myymälässä johtaja arvioi keskimäärin 90 ostajaa tunnissa. (60 minuuttia) astuu kauppaan, mikä vastaa 1,5 ostajaa minuutissa (r). Johtaja arvioi myös, että jokainen ostaja viipyy kaupassa keskimäärin 12 minuuttia (T). Siten Littlen lain mukaan uudessa myymälässä on keskimäärin $N = rT = (1.5)(12) = 18 $ ostajaa milloin tahansa. Tämä on

${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

prosenttia vähemmän kuin keskimääräinen ostajien määrä alkuperäisessä myymälässä milloin tahansa.

Lopullinen vastaus on 60.

Kysymys 10

$xy$-tasossa piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, jossa $b$ on vakio. Piste, jonka koordinaatit $(2p, 5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla. Jos $p≠0$, mikä on $r/p$:n arvo?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

VASTAUKSEN SELITYS: Koska piste $(p,r)$ on yhtälön $y=x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $p$ $x$:n ja $r$ $y$:n yhtälössä $y=x+b$ saadaan $r=p+b$ tai $i b$ = $i r-i p $.

Vastaavasti, koska piste $(2p,5r)$ on yhtälön $y=2x+b$ suoralla, pisteen on täytettävä yhtälö. Korvaamalla $2p$ $x$:n ja $5r$ $y$:n yhtälössä $y=2x+b$ saadaan:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Seuraavaksi voimme asettaa kaksi yhtälöä yhtä suureksi kuin $b$ keskenään ja yksinkertaistaa:

$b=r-p=5r-4p$

$3p = 4r$

Lopuksi löytääksemme $r/p$, meidän on jaettava yhtälön molemmat puolet $p$:lla ja $4$:lla:

$3p = 4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Oikea vastaus on B , $3/4$.

Jos valitsit vaihtoehdot A ja D, olet saattanut muodostaa vastauksesi väärin pisteen $(2p, 5r)$ kertoimista. Jos valitsit vaihtoehdon C, olet saattanut sekoittaa $r$:n ja $p$:n.

Huomaa, että vaikka tämä on SAT:n laskinosiossa, et todellakaan tarvitse laskintasi sen ratkaisemiseen!

Kysymys 11

Viljasiilo on rakennettu kahdesta oikeanpuoleisesta pyöreästä kartiosta ja oikeasta pyöreästä sylinteristä, joiden sisämitat on esitetty yllä olevassa kuvassa. Mikä seuraavista on lähimpänä viljasiilon tilavuutta kuutiojalkoina?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VASTAUKSEN SELITYS: Viljasiilon tilavuus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sen sisältämien kiintoaineiden tilavuudet (sylinteri ja kaksi kartioa). Siilo koostuu sylinteristä (korkeus 10 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa) ja kahdesta kartiosta (kummankin korkeus 5 jalkaa ja pohjan säde 5 jalkaa). SAT Math -osan alussa annetut kaavat:

Kartion tilavuus

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Sylinterin tilavuus

$$V=πr^2h$$

voidaan käyttää siilon kokonaistilavuuden määrittämiseen. Koska molemmilla kartioilla on samat mitat, siilon kokonaistilavuus kuutiojalkoina saadaan

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

joka on suunnilleen 1 047,2 kuutiojalkaa.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 12

Jos $x$ on $m$:n ja $9$:n keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo), $y$ on $2m$:n ja $15$:n keskiarvo ja $z$ on arvojen $3m$ ja $18$ keskiarvo, mikä on $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo $m$:na?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 miljoonaa dollaria + 14 dollaria
D) 3 miljoonaa dollaria + 21 dollaria

VASTAUKSEN SELITYS: Koska kahden luvun keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo) on yhtä suuri kuin kahden luvun summa jaettuna kahdella, yhtälöt $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$ ovat totta. Arvojen $x$, $y$ ja $z$ keskiarvo saadaan kaavalla ${x + y + z}/{3}$. Korvaamalla lausekkeet m:llä jokaiselle muuttujalle ($x$, $y$, $z$) saadaan

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3 $$

Tämä murto-osa voidaan yksinkertaistaa arvoon $ m + 7 $.

Lopullinen vastaus on B.

Kysymys 13

Funktio $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ on piirretty yllä olevaan $xy$-tasoon. Jos $k$ on vakio niin, että yhtälöllä $f(x)=k$ on kolme reaaliratkaisua, mikä seuraavista voisi olla $k$:n arvo?

VASTAUKSEN SELITYS: Yhtälö $f(x) = k$ antaa ratkaisut yhtälöjärjestelmään

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ja

$$y = k$$

Kahden yhtälön järjestelmän todellinen ratkaisu vastaa kahden yhtälön kuvaajien leikkauspistettä $xy$-tasossa.

Kuvaaja $y = k$ on vaakaviiva, joka sisältää pisteen $(0, k)$ ja leikkaa kuutioyhtälön kaavion kolme kertaa (koska sillä on kolme reaaliratkaisua). Kaaviossa ainoa vaakasuora viiva, joka leikkaa kuutiometrisen yhtälön kolme kertaa, on viiva, jonka yhtälö on $y = −3$ tai $f(x) = −3$. Siksi $k$ on -3$.

Lopullinen vastaus on D.

Kysymys 14

$$q={1/2}nv^2$$

Nopeudella $v$ liikkuvan nesteen synnyttämä dynaaminen paine $q$ saadaan yllä olevasta kaavasta, jossa $n$ on nesteen vakiotiheys. Ilmailuinsinööri käyttää kaavaa löytääkseen dynaamisen paineen nesteelle, joka liikkuu nopeudella $v$ ja saman nesteen, joka liikkuu nopeudella 1,5 $v$. Mikä on nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde hitaamman nesteen dynaamiseen paineeseen?

VASTAUKSEN SELITYS: Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on määritettävä yhtälöt muuttujilla. Olkoon $q_1$ nopeudella $v_1$ liikkuvan hitaamman nesteen dynaaminen paine ja olkoon $q_2$ nopeudella $v_2$ liikkuvan nopeamman nesteen dynaaminen paine. Sitten

$$v_2 =1,5v_1$$

Kun yhtälö $q = {1}/{2}nv^2$, korvaamalla nopeamman nesteen dynaaminen paine ja nopeus saadaan $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Koska $v_2 =1.5v_1$, lauseke $1.5v_1$ voidaan korvata lausekkeella $v_2$ tässä yhtälössä, jolloin saadaan $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. Neliöimällä $ 1,5 $, voit kirjoittaa edellisen yhtälön uudelleen muotoon

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

Siksi nopeamman nesteen dynaamisen paineen suhde on

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1} = 2,25 $$

Lopullinen vastaus on 2,25 tai 9/4.

Kysymys 15

Polynomin $p(x)$ arvo $p(3)$ on $-2$. Minkä seuraavista täytyy olla totta suhteessa $p(x)$?

A) $x-5$ on tekijä $p(x)$.
B) $x-2$ on tekijä $p(x)$.
C) $x+2$ on tekijä $p(x)$.
D) Jäännös, kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla, on $-2$.

VASTAUKSEN SELITYS: Jos polynomi $p(x)$ jaetaan polynomilla, jonka muoto on $x+k$ (joka vastaa kaikki mahdolliset vastausvaihtoehdot tässä kysymyksessä), tulos voidaan kirjoittaa muodossa

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

missä $q(x)$ on polynomi ja $r$ on jäännös. Koska $x + k$ on 1-asteinen polynomi (eli se sisältää vain $x^1$ eikä suurempia eksponenteja), jäännös on reaaliluku.

Siksi $p(x)$ voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $p(x) = (x + k)q(x) + r$, missä $r$ on reaaliluku.

Kysymys sanoo, että $p(3) = -2$, joten sen täytyy olla totta

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Nyt voimme liittää kaikki mahdolliset vastaukset. Jos vastaus on A, B tai C, $r$ on $0$, kun taas jos vastaus on D, $r$ on $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Tämä voi olla totta, mutta vain jos $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3-3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Tämä tulee olla aina totta riippumatta siitä, mikä $q(3)$ on.

Vastausvaihtoehdoista ainoa on pakko olla totta noin $p(x)$ on D, että jakojäännös kun $p(x)$ jaetaan $x-3$:lla on -2.

Lopullinen vastaus on D.

Olet ansainnut kaikki päiväunet näiden kysymysten läpikäynnin jälkeen.

Mitä yhteistä on vaikeimmilla SAT-matematiikan kysymyksillä?

On tärkeää ymmärtää, mikä tekee näistä vaikeista kysymyksistä 'vaikeita'. Näin pystyt ymmärtämään ja ratkaisemaan samankaltaisia ​​kysymyksiä, kun näet ne testipäivänä, ja sinulla on parempi strategia aiempien SAT-matemaattisten virheidesi tunnistamiseen ja korjaamiseen.

Tässä osiossa tarkastelemme, mitä yhteistä näillä kysymyksillä on, ja annamme esimerkkejä kustakin tyypistä. Jotkut syyt siihen, miksi vaikeimmat matematiikan kysymykset ovat vaikeimpia matematiikkakysymyksiä, ovat seuraavat:

#1: Testaa useita matemaattisia käsitteitä kerralla

Tässä meidän on käsiteltävä kuvitteellisia lukuja ja murtolukuja kerralla.

Menestyksen salaisuus: Mieti, mitä soveltuvaa matematiikkaa voisit käyttää ongelman ratkaisemiseen, suorita vaihe kerrallaan ja kokeile jokaista tekniikkaa, kunnes löydät toimivan!

#2: Sisällytä paljon vaiheita

Muista: mitä enemmän vaiheita sinun on otettava, sitä helpompi on sotkea jossain linjassa!

Meidän on ratkaistava tämä ongelma vaiheittain (tekemällä useita keskiarvoja) avataksemme loput vastaukset dominoefektissä. Tämä voi olla hämmentävää, varsinkin jos olet stressaantunut tai aika loppumassa.

Menestyksen salaisuus: Ota se hitaasti, etene askel askeleelta ja tarkista työsi, jotta et tee virheitä!

#3: Testaa käsitteitä, jotka tunnet rajoitetusti

Esimerkiksi monet opiskelijat tuntevat funktiot vähemmän kuin murto- ja prosenttiluvut, joten useimpia funktiokysymyksiä pidetään 'vaikeusasteena'.

Jos et tiedä funktioita, tämä olisi hankala ongelma.

Menestyksen salaisuus: Tarkista matemaattiset käsitteet, joihin et ole niin perehtynyt, kuten funktiot . Suosittelemme käyttämään mahtavia ilmaisia ​​SAT Math -arvosteluoppaitamme.

#4: Ne on muotoiltu epätavallisilla tai mutkaisilla tavoilla

Voi olla vaikeaa hahmottaa tarkalleen, mitä jotkut kysymykset ovat kysymällä , paljon vähemmän selvittää, kuinka ratkaista ne. Tämä pätee erityisesti silloin, kun kysymys on osion lopussa ja aika on loppumassa.

Koska tämä kysymys tarjoaa niin paljon tietoa ilman kaaviota, sen ratkaiseminen rajoitetussa ajassa voi olla vaikeaa.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta pyydetään, ja piirrä kaavio, jos siitä on sinulle hyötyä.

#5: Käytä monia erilaisia ​​muuttujia

Kun pelissä on niin monia erilaisia ​​muuttujia, on melko helppoa hämmentyä.

Menestyksen salaisuus: Ota aikaa, analysoi, mitä sinulta kysytään, ja mieti, onko numeroiden liittäminen hyvä strategia ongelman ratkaisemiseksi (se ei koske yllä olevaa kysymystä, vaan sopii moniin muihin SAT-muuttujakysymyksiin).

Take-awayt

SAT on maraton, ja mitä paremmin olet siihen valmistautunut, sitä paremmalta tunnet olosi testipäivänä. Kun tiedät kuinka käsitellä vaikeimmat kysymykset, joita testi voi herättää, todellisen SAT:n ottaminen tuntuu paljon vähemmän pelottavalta.

Jos sinusta tuntui, että nämä kysymykset olivat helppoja, älä aliarvioi adrenaliinin ja väsymyksen vaikutusta kykyysi ratkaista ongelmia. Kun jatkat opiskelua, noudata aina oikeaa ajoitusohjeita ja yritä suorittaa täydet testit aina kun mahdollista. Tämä on paras tapa luoda varsinainen testausympäristö uudelleen, jotta voit valmistautua tositoimiin.

linuxin muutostiedosto

Jos koet nämä kysymykset haastaviksi, Varmista, että vahvistat matematiikkatietoasi tutustumalla yksittäisiin matematiikkaoppaisiin SAT:lle. Siellä näet tarkemmat selitykset kyseisistä aiheista sekä tarkemmat vastauserittelyt.

Mitä seuraavaksi?

Tuntuuko, että nämä kysymykset olivat vaikeampia kuin odotit? Katso kaikki SAT-matematiikan osiossa käsitellyt aiheet ja huomaa sitten, mitkä osat olivat sinulle erityisen vaikeita. Tutustu seuraavaksi yksittäisiin matemaattisiin oppaihimme, jotka auttavat sinua vahvistamaan näitä heikkoja alueita.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Oppaamme auttaa sinua voittamaan kellon ja maksimoimaan pisteesi.

Tavoitteletko täydellisiä pisteitä? Tarkista oppaamme täydellisen 800:n saamiseen SAT-matematiikan osiosta , jonka on kirjoittanut täydellinen maalintekijä.