Matriisien tuntemus on välttämätöntä matematiikan eri aloille. Matriisit ovat yksi matematiikan tehokkaimmista työkaluista. Matriiseista tulevat determinantit, nyt näemme tässä artikkelissa yhden determinantin ominaisuuksista.

Tässä artikkelissa näemme, kuinka löytää Matrixin liitos. Tietääksesi ko Matrixin liitos meidän on tiedettävä asiasta Kofaktori matriisista.

Sisällysluettelo

• Matriisimääritelmän liitos
• Matrixin alaikäinen
• Matriisin kofaktori
• Matrixin transponointi
• Kuinka löytää Matrixin Adjoint?
• Matriisin Adjointin ominaisuudet
• Käänteisen löytäminen matriisin adjointilla

Matriisimääritelmän liitos

Matriisin adjointti on annetun matriisin kofaktorin transponointimatriisi. Minkä tahansa neliömatriisin A adj:n laskemiseksi. matriisi meidän on ensin laskettava annetun matriisin kofaktorimatriisi ja sitten löydettävä sen determinantti. Laske matriisin Ajoint seuraavasti:

Vaihe 1 : Laske annetun matriisin A kaikkien alkioiden Minor.

Vaihe 2: Etsi kofaktorimatriisi C käyttämällä sivuelementtejä.

Vaihe 3: Etsi A:n Adjoint-matriisi ottamalla kofaktorimatriisin C transponointi.

Minkä tahansa 2 × 2 -matriisin A kuva sen liitosta näkyy alla,

Opitaan nyt matriisin Minorista, Cofactorista ja Transposoinnista.

Matrixin alaikäinen

Matriisin molli on matriisi tai elementti, joka lasketaan piilottamalla sen elementin matriisin rivi ja sarake, jolle molli lasketaan. 2×2-matriisissa ala-arvo on elementti, joka näytetään piilottamalla sen elementin rivi ja sarake, jolle sivuarvo lasketaan.

Lisätietoja aiheesta, Alaikäiset ja kofaktorit

Matriisin kofaktori

Kofaktori on luku, jonka saamme, kun poistamme matriisista määritetyn elementin sarakkeen ja rivin. Se tarkoittaa yhden elementin ottamista matriisista ja sen koko rivin ja sarakkeen poistamista matriisista, sitten mitkä elementit ovat matriisissa, eli ns. kofaktori.

Kuinka löytää matriisin kofaktori

Matriisin elementin kofaktorin löytämiseksi voimme käyttää seuraavia vaiheita:

Vaihe 1: Poista koko rivi ja sarake, joka sisältää tarkasteltavan elementin.

Vaihe 2: Ota loput elementit sellaisina kuin ne ovat matriisissa vaiheen 1 jälkeen.

Vaihe 3: Etsi vaiheessa 2 muodostetun matriisin determinantti, jota kutsutaan nimellä alaikäinen elementistä.

Vaihe 4: Käytä nyt kaavaa elementin a kofaktorille_ijeli (-1)^i+jM_ijmissä Mij on i:n elementin molli^thrivi ja j^thsarake, joka on jo laskettu vaiheessa 3.

Vaihe 5: Vaiheen 4 tulos on tarkasteltavan elementin kofaktori, ja vastaavasti voimme laskea matriisin kunkin elementin kofaktorin löytääksemme annetun matriisin kofaktorimatriisin.

Esimerkki: Etsi kofaktorimatriisi old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Ratkaisu:

Annettu matriisi onA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

Etsitään ensimmäisen rivin kolmannen sarakkeen elementin kofaktori eli 3.

Vaihe 1: Poista koko rivi ja sarake, joka sisältää tarkasteltavan elementin.

eli egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

Vaihe 2: Ota loput elementit sellaisina kuin ne ovat matriisissa vaiheen 1 jälkeen.

eliegin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

Vaihe 3: Etsi vaiheessa 2 muodostetun matriisin determinantti, jota kutsutaan elementin molliksi.

3 tuuman alaikäinenA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

Vaihe 4: Käytä nyt kaavaa elementin a kofaktorille_ijeli (-1)^i+jM_ij

Alkuaineen 3 kofaktori = (-1)¹⁺³(32) = 32

Vaihe 5: Jatka menettelyä kaikille elementeille löytääksesi A:n kofaktorimatriisi,

eli kofaktorimatriisi A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Matrixin transponointi

Matriisin transponointi on matriisi, joka muodostuu vaihtamalla matriisin rivejä ja sarakkeita keskenään. Matriisin A transponointia merkitään A^Ttai A^'. Jos matriisin A järjestys on m×n, niin transponointimatriisin kertaluku on n×m.

Lisätietoja aiheesta, Matriisin transponointi

Kuinka löytää Matrixin Adjoint?

Löytääksemme matriisin liitoskohdan, meidän on ensin löydettävä kunkin elementin kofaktori ja sitten löydettävä vielä 2 askelta. katso vaiheet alla,

Vaihe 1: Etsi kunkin matriisissa esiintyvän elementin kofaktori.

Vaihe 2: Luo toinen matriisi, jonka elementit ovat kofaktorit.

Vaihe 3: Etsi nyt matriisin transponointi, joka tulee vaiheen 2 jälkeen.

Kuinka löytää 2 × 2 -matriisin Adjoint

Tarkastellaan esimerkkiä 2 × 2 -matriisin adjoitin löytämismenetelmän ymmärtämiseksi.

Esimerkki: Etsi Adjoint of old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

Ratkaisu:

Annettu matriisi on ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Vaihe 1: Etsi kunkin elementin kofaktori.

Alkuaineen kerroin kohdassa A[1,1]: 5

Alkuaineen kofaktori kohdassa A[1,2]: -4

Alkuaineen kerroin kohdassa A[2,1]: -3

Alkuaineen kerroin kohdassa A[2,2]: 2

Vaihe 2: Luo matriisi Cofactorsista

eliold{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

Vaihe 3: Kofaktorimatriisin transponointi,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Kuinka löytää 3×3-matriisin Adjoint

Otetaan esimerkki 3 × 3 -matriisista ymmärtääksemme, kuinka tämän matriisin Adjoint lasketaan.

Esimerkki: Etsi Adjoint of old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Ratkaisu:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Vaihe 1: Etsi kunkin elementin kofaktori.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

Vaihe 2: Luo matriisi Cofactorsista

kuinka palauttaa taulukko javassa

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

Vaihe 3: Transponoi matriisi C annetun matriisin adjointiksi.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Mikä on annetun matriisin A adjunkti.

Matriisin Adjointin ominaisuudet

Matriisin adjungoinneilla on erilaisia ​​ominaisuuksia, joista jotkut ovat seuraavat:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| minä_n
• Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Adj A)

Käänteisen löytäminen matriisin adjointilla

Käänteisen löytäminen on yksi matriisin Adjointin tärkeistä sovelluksista. Löytääksemme matriisin käänteisarvon Adjointin avulla voimme käyttää seuraavia vaiheita:

Vaihe 1: Etsi matriisin determinantti .

Vaihe 2: Jos determinantti on nolla, matriisi ei ole käännettävä, eikä käänteisarvoa ole.

Vaihe 3: Jos determinantti on muu kuin nolla, etsi matriisin adjointti.

Vaihe 4: Jaa matriisin adjungantti matriisin determinantilla.

Vaihe 5: Vaiheen 4 tulos on annetun matriisin käänteisarvo.

Esimerkki: Etsi käänteisarvo old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Ratkaisu:

Annettu matriisiA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 - 9 = 0

Siten A:n käänteistä ei ole olemassa.

Lisätietoja aiheesta, Matriisin käänteinen

Ratkaistiin esimerkkejä matriisin liittämisestä

Esimerkki 1: Etsi annetun matriisin Adjoint A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

Ratkaisu:

Vaihe 1: Etsi kunkin elementin kofaktori

Jokaisen elementin kofaktorin löytämiseksi meidän on poistettava kunkin elementin rivi ja sarake yksitellen ja otettava nykyiset elementit poiston jälkeen.

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[0,0] = 1 : +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Alkuaineiden kofaktori kohdassa A[0,1] = 2 : -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[0,2] = 3 : +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[2,0] = 7 : -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[2,1] = 4 : +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[2,2] = 5 : -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1 × 8 – 6 × 2) = 4

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,0] = 6 : +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,1] = 8 : -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1 × 5 – 7 × 3) = 16

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,2] = 9 : +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

Matriisi näyttää tältä kofaktorien kanssa:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

Lopullinen kofaktorimatriisi:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

Vaihe 2: Etsi vaiheessa 1 saadun matriisin transponointi

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

Tämä on Matriisin liitos.

Esimerkki 2: Etsi annetun matriisin Adjoint A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

Ratkaisu:

Vaihe 1: Etsi kunkin elementin kofaktori

Jokaisen elementin kofaktorin löytämiseksi meidän on poistettava kunkin elementin rivi ja sarake yksitellen ja otettava nykyiset elementit poiston jälkeen.

Elementin kerroin kohdassa A[0,0] = -1 :+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[0,1] = -2:-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[0,2] = -2:+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Alkuaineiden kofaktori kohdassa A[2,1] = 1: +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Alkuaineiden kofaktori kohdassa A[2,2] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,1] = -2:-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Alkuaineiden kerroin kohdassa A[3,2] = 1:+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

Lopullinen kofaktorimatriisi:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Vaihe 2: Etsi vaiheessa 1 saadun matriisin transponointi

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Tämä on Matriisin liitos.

Usein kysytyt kysymykset Adjoint of a Matrixista

Mikä on Matrixin Adjoint?

Neliömatriisin adjointti on alkuperäisen matriisin kofaktorien matriisin transponointi. Se tunnetaan myös adjugaattimatriisina.

Kuinka matriisin adjoint lasketaan?

Matriisin adjointin laskemiseksi sinun on löydettävä annetun matriisin kofaktorimatriisi ja transponoitava se.

Mitä on matriisin adjointin käyttö?

Matriisin adjunginin tärkein sovellus tai käyttö on käänteisten matriisien käänteisluvun löytäminen.

Mikä on matriisin käänteisen ja sen adjointin välinen suhde?

Matriisin käänteisarvo saadaan jakamalla sen adjungantti sen determinantilla. Eli jos A on neliömatriisi ja det(A) ei ole nolla, silloin

A ^-1 = adj(A)/det(A)

Mikä on Adjugate Matrix?

Adjoint-matriisia kutsutaan myös adjugaattimatriiksi. Se on annetun matriisin kofaktorin transponointi.

Mitä eroa on matriisin liittämisen ja transponoinnin välillä?

Matriisin adjointti on kofaktorien matriisin transponointi, kun taas matriisin transponointi saadaan vaihtamalla sen rivejä ja sarakkeita.

Onko neliömatriisi aina käännettävissä?

Ei, neliömatriisit eivät aina ole käännettäviä. Neliömatriisi on käännettävä vain, jos sillä on nollasta poikkeava determinantti.

Voidaanko ei-neliömatriisin adjoint laskea?

Ei, matriisin adjoint voidaan laskea vain neliömatriisille sen määritelmän vuoksi.