Matriisin transponointi on hyvin yleinen menetelmä, jota käytetään matriisimuunnokseen lineaarialgebrassa. Matriisin transponointi saadaan vaihtamalla annetun matriisin rivit ja sarakkeet keskenään tai päinvastoin. Matriisin transponointia voidaan käyttää matriisien adjointin ja käänteisarvon saamiseksi.

Ennen kuin tutustumme matriisin transponoinnin yksityiskohtiin, opitaan ensin, mikä on matriisi?. Matriisi ei ole muuta kuin tietojoukon esitys suorakaiteen muotoisessa taulukossa. Matriisissa tiedot on järjestetty tiettyihin riveihin ja sarakkeisiin. Matematiikassa on erilaisia ​​matriiseja, jotka esitetään rivien × sarakkeiden järjestyksessä. Otetaan esimerkki matriisista, jonka kertaluku on 3 × 2 (sanotaan A).

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

Tässä artikkelissa opimme matriisin transponointi, sen tyypit, ominaisuudet, symbolit ja järjestys, matriisin transponoinnin löytäminen ja esimerkkejä siitä.

Sisällysluettelo

• Mikä on Matrix?
• Matriisityypit
• Mikä on matriisin transponointi?
• Transponoimatriisin symboli | Transponoi notaatio
• Transponointimatriisin järjestys
• Kuinka löytää matriisin transponointi?
• Rivi- ja sarakematriisin transponointi
• Vaaka- ja pystymatriisien transponointi
• Symmetrinen matriisin transponointi
• Diagonaalimatriisin transponointi
• Transponoidun matriisin transponointi
• Neliömatriisin transponointi
• Transponoi 3 × 3 -matriisi
• Matriisin transponoinnin determinantti
• Matriisin ominaisuuksien transponointi

Mikä on Matrix?

Tietylle riville ja sarakkeelle määritettyä suorakaiteen muotoista numeroiden, symbolien tai merkkien taulukkoa kutsutaan matriisiksi. Matriisissa olevia numeroita, symboleja tai merkkejä kutsutaan matriisin elementeiksi. Matriisissa olevien rivien ja sarakkeiden määrä määrittää matriisin järjestyksen. Esimerkiksi jos matriisi 'A' sisältää 'i'-rivejä ja 'j'-sarakkeita, matriisia edustaa [A]i⨯j. Tässä i⨯j määrittää matriisin järjestyksen. Katsotaanpa esimerkki matriisista.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

Yllä olevassa esimerkissä on kolme riviä ja kaksi saraketta, joten matriisin järjestys on 3⨯2.

Matriisityypit

On olemassa erilaisia ​​matriiseja, jotka perustuvat niillä olevien rivien ja sarakkeiden lukumäärään ja myös niiden osoittamiin erityisominaisuuksiin. Katsotaanpa muutamia niistä

• Rivimatriisi: Matriisia, jossa on vain yksi rivi eikä saraketta, kutsutaan rivimatriisiksi.
• Sarakematriisi: Matriisia, jossa on vain yksi sarake ja nyt rivi, kutsutaan sarakematriisiksi.
• Vaakamatriisi: Matriisia, jossa rivien lukumäärä on pienempi kuin sarakkeiden lukumäärä, kutsutaan vaakamatriisiksi.
• Pystymatriisi: Matriisia, jossa sarakkeiden lukumäärä on pienempi kuin rivien lukumäärä, kutsutaan pystymatriisiksi.
• Suorakulmainen matriisi: Matriisia, jossa rivien ja sarakkeiden määrä on erisuuruinen, kutsutaan suorakaiteen matriisiksi.
• Neliömatriisi: Matriisia, jossa rivien ja sarakkeiden määrä on sama, kutsutaan neliömatriisiksi.
• Diagonaalinen matriisi: Neliömatriisia, jossa diagonaaliset alkiot ovat nollia, kutsutaan diagonaalimatriisiksi.
• Nollamatriisi: Matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi.
• Yksikkömatriisi: Diagonaalimatriisia, jonka kaikki diagonaaliset alkiot ovat 1, kutsutaan yksikkömatriisiksi.
• Symmetrinen matriisi: Neliömatriisin sanotaan olevan symmetrinen, jos alkuperäisen matriisin transponointi on yhtä suuri kuin sen alkuperäinen matriisi. eli (A^T) = A.
• Vino-symmetrinen: Vinosymmetrinen (tai antisymmetrinen tai antimetrinen[1]) matriisi on neliömatriisi, jonka transponointi on yhtä suuri kuin sen negatiivinen.ts. (A^T) = -A.

Lue myös , Matriisityypit

Mikä on matriisin transponointi?

Matriisin transponointi on matriisi, joka saadaan vaihtamalla annetun matriisin rivejä ja sarakkeita tai päinvastoin, eli annetussa matriisissa rivien elementit vaihdetaan sarakkeiden elementtien kanssa. Minkä tahansa matriisin A transponointia merkitään A^t, tai A^T.

Matriisimääritelmän transponointi

Matriisin transponointi on matemaattinen operaatio, joka sisältää alkuperäisen matriisin rivien ja sarakkeiden kääntämisen.

Matrixin transponoinnin esitys

A = [a _(ij) ] _{m × n}
A ^t = [a _(alkaen) ] _{n × m}

tässä i, j esittävät matriisielementin paikan riveittäin ja sarakkeittain siten, että 1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n.

Esimerkki: Mille tahansa matriisille A järjestyksestä 2 × 3 sen transponointi on?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Transponoida A

A^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

A:n järjestys^tOn 3×2

Transponoimatriisin symboli | Transponoi notaatio

Matriisin transponointi on toimenpide, joka kääntää matriisin päädiagonaalinsa yli ja vaihtaa sen rivit sarakkeisiin. Matriisin A transponointia merkitään merkinnällä A' tai A^Ttai A^t.

Transponointimatriisin järjestys

Matriisin järjestys kertoo matriisin sisältämien elementtien kokonaismäärän. Se edustaa myös matriisin rivien ja sarakkeiden määrää. Vaaka-arvot edustavat matriisin rivejä ja pystyarvot matriisin sarakkeita. Mille tahansa matriisille A_{m × n}, järjestys on m×n, eli siinä on m riviä ja n saraketta. Siksi matriisin A transponointi on A^tja sen järjestys on n×m, eli siinä on n riviä ja m saraketta.

Kuinka löytää matriisin transponointi?

Minkä tahansa matriisin transponointi löytyy helposti muuttamalla rivien arvoja sarakkeiden arvoilla. Otetaan esimerkki ymmärtääksesi tämän yksityiskohtaisesti.

Mille tahansa matriisille A₂₃, järjestys on 2×3, mikä tarkoittaa, että siinä on 2 riviä ja 3 saraketta.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Matriisin A transponointi on A^tjärjestyksessä 3×2, jossa on 3 riviä ja 2 saraketta. Transponointimatriisissa tietyn matriisin ensimmäisen rivin elementit vaihdetaan transponointimatriisin ensimmäisellä sarakkeella. Vastaavasti annetun matriisin A toisen rivin elementit vaihdetaan uuden matriisin A toisen sarakkeen kanssa.^tja niin edelleen, kunnes koko matriisi on vaihdettu.

mitä tämä tarkoittaa xd

A^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Rivi- ja sarakematriisin transponointi

Matriisi, jossa on yksi rivi, tunnetaan rivimatriisina, kun taas matriisi, jossa on yksi sarake, tunnetaan sarakematriisina. Rivimatriisin transponointi on sarakematriisi ja päinvastoin. Esimerkiksi, jos P on sarakematriisi, jonka kertaluku on 4 × 1, niin sen transponointi on rivimatriisi, jonka kertaluku on 1 × 4. Jos Q on rivimatriisi, jonka kertaluku on 1 × 3, niin sen transponointi on luokkaa 3 oleva sarakematriisi × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Vaaka- ja pystymatriisien transponointi

Jos matriisin rivien määrä on pienempi kuin sarakkeiden lukumäärä, niin matriisi tunnetaan vaakamatriisina, ja jos matriisin sarakkeiden määrä on pienempi kuin rivien määrä, niin matriisi tunnetaan nimellä pystysuora matriisi. Vaakamatriisin transponointi on pystymatriisi ja päinvastoin. Esimerkiksi, jos M on vaakasuuntainen matriisi, jonka kertaluku on 2 × 3, niin sen transponointi on pystymatriisi, jonka kertaluku on 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Symmetrinen matriisin transponointi

Symmetrinen matriisi on kuin erityinen kuvio, jossa numerot on järjestetty tavalla, joka peilaa toisiaan lävistäjäviivan poikki vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan. Matriisin transponointi tarkoittaa matriisin kääntämistä tämän diagonaaliviivan yli.

Esimerkiksi,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Numerot diagonaaliviivan molemmilla puolilla ovat samat: 2 on 2:n vastapäätä, 3 on 3:n vastapäätä ja niin edelleen. Jos nyt otamme tämän matriisin transponoinnin, käännämme sen vain diagonaaliviivan yli. Joten numerot, jotka olivat alun perin riveissä, muuttuvat sarakkeiksi ja päinvastoin.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Tässä alkuperäinen matriisi ja sen transponointi ovat täsmälleen samat. Tämä johtuu siitä, että kun transponoit symmetrisen matriisin, saat saman matriisin takaisin! Tämä on symmetristen matriisien erityinen ominaisuus.

Diagonaalimatriisin transponointi

Diagonaalimatriisi on kuin kuvio, jossa numerot näkyvät vain diagonaaliviivaa pitkin ylhäältä vasemmalta oikealle, kun taas kaikki muut merkinnät ovat nollia. Matriisin transponointi tarkoittaa matriisin kääntämistä tämän diagonaaliviivan yli.

Esimerkiksi,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Tässä numerot 2, 3 ja 5 näkyvät diagonaalissa, kun taas kaikki muut merkinnät ovat nollia. Koska diagonaalimatriisi on jo symmetrinen diagonaalinsa suhteen, diagonaalimatriisin transponointi on yksinkertaisesti itse:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transponoidun matriisin transponointi

Kun transponoit matriisin, käännät sen käytännössä sen diagonaaliviivan yli. Joten jo transponoidun matriisin transponointi tarkoittaa sen kääntämistä takaisin alkuperäiseen orientaatioonsa.

Esimerkiksi,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Jos nyt otetaan tämän transponoidun matriisin transponointi:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Neliömatriisin transponointi

Neliömatriisit ovat matriiseja, joissa on sama määrä rivejä ja sarakkeita. mille tahansa neliömatriisille A_{n × n}, sen transponointijärjestys on sama, eli A:n, A:n transponointi^ton järjestys n × n. Rivit ja sarakkeet vaihdetaan neliömatriisin transponoinnissa.

Transponoi 2 × 2 -matriisi

Kaikille 2 × 2 matriiseille A,

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

sen transponointi on A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Esimerkki: Etsi matriisin A = transponointi egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Transponoi matriisi A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} On

A^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transponoi 3 × 3 -matriisi

Kaikille 3 × 3 matriiseille A,

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

sen transponointi on A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Esimerkki: Etsi matriisin A = transponointi egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Transponoi matriisi A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} On

A^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Matriisin transponoinnin determinantti

Matriisin A transponoinnin determinantti on yhtä suuri kuin itse A:n determinantti, eli mille tahansa neliömatriisille A

|A| = |A ^T |

Matriisin ominaisuuksien transponointi

Tutustutaan matriisin transponoinnin tärkeisiin ominaisuuksiin:

• Neliömatriisin A, jonka kertaluku on n × n, sanotaan olevan ortogonaalinen matriisi, jos AA^T= A^TA = I, missä I on identiteettimatriisi, jonka kertaluku on n × n.
• Neliömatriisin A, jonka kertaluku on n × n, sanotaan olevan symmetrinen matriisi, jos sen transponointi on sama kuin alkuperäinen matriisi, eli A^T= A.
• Neliömatriisin A, jonka kertaluku on n × n, sanotaan olevan vinosymmetrinen matriisi, jos sen transponointi on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin negatiivinen, eli A^T= -A.
• Matriisin kaksoistransposoiminen: Transponointimatriisin transponointi on itse alkuperäinen matriisi.

(A ^t ) ^t = A

• Matriisien tuotteen transponointi: Tämä ominaisuus sanoo sen

(AB) ^t = B ^t A ^t

Todiste:

Jos matriisit A ​​ja B ovat luokkaa m × n ja n × p, vastaavasti.

ja

A^tja B^tovat kertaluvun n × m ja p × n matriisien A ja B transponointi (matriisien tulosäännöstä).

Se tarkoittaa, jos A = [a(ij)] ja A^t= [c(of)]

diskreetin matematiikan negaatio

Sitten [c(ji)] = [a(ij)]

ja,

Jos B = [b(jk)] ja B^t= [d(kj)]

Sitten [d(kj)] = [b(jk)]

Nyt matriisien tulosäännöstä voimme kirjoittaa,

AB on m × p matriisi ja (AB)^ton p × m matriisi.

Myös B^ton p × n matriisi ja A^ton n × m matriisi.

Tämä tarkoittaa, että

(B^t)(A^t) on p × m -matriisi.

Siksi,

(AB)^tja (B^t)(A^t) ovat molemmat p × m matriiseja.

Nyt voimme kirjoittaa,

(k, i)^thelementti (AB)^t= (i, k)^thAB:n elementti

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)th elementti (B ^t )(A ^t )

Siksi,

elementit (AB) ^t ja (B ^t )(A ^t ) ovat tasa-arvoisia.

Siksi,

(AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

• Kerroin vakiolla: Jos matriisi kerrotaan skalaariarvolla ja sen transponointi otetaan, niin tuloksena oleva matriisi on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin transponointi kerrottuna skalaariarvolla, eli (kA)^t= kA^t, jossa k on skalaariarvo.

Todiste:

Tarkastellaan matriisia A = [a_ij]_{m × n}ja skalaari k.

Annetun matriisin A järjestys on m × n.

Jos matriisi A kerrotaan skalaariarvolla k, niin kaikki matriisin alkiot kerrotaan tällä skalaarivakiolla k, mutta matriisin kA järjestys pysyy samana, eli m × n.

Nyt matriisin kA transponoinnin järjestys, eli (kA)^ton n × m.

Koska matriisin A järjestys on m × n, sen transponointimatriisin, eli A, järjestys^ton n × m.

Jos matriisi A^tkerrotaan skalaariarvolla k, sitten matriisin kA järjestyksessä^ton myös n × m.

Joten matriisien järjestys (kA)^tja kA^ton sama, eli n × m.

Todistakaamme nyt, että (kA) vastaavat elementit^tja kA^tovat tasa-arvoisia.

(kA):n (i, j) alkio^ton yhtä suuri kuin kA:n (j, i) alkio.

(i, j)^thelementti (kA)^t= (j, i)^thkA:n elementti

⇒ (i, j)^thelementti (kA)^t= (i, j)^thkA:n elementti^t

Joten sanomme, että (kA) vastaavat elementit^tja kA^tovat tasa-arvoisia.

Kuten (kA) järjestys ja vastaavat elementit^tja kA^tovat tasa-arvoisia,

Siksi voimme päätellä, että (kA) ^t = kA ^t .

java-suunnittelukuvioita

• Matriisien lisäyksen transponointi: Tämä ominaisuus sanoo sen.

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Todiste:

Tässä A ja B ovat kaksi järjestyksen matriisia m × n

Antaa, A = [a(ij)] ja B = [b(ij)] järjestyksestä m × n .

Niin, (A + B) on myös kunnossa m × n matriisi

Myös, A ^t ja B ^t ovat kunnossa n × m matriiseja.

Joten Matriisin transponointi (A + B) tai (A + B) ^t on n × m matriisi.

Nyt voimme sanoa, A ^t + B ^t on myös an n × m matriisi.

Transponointisäännön perusteella
(j, i)th elementti (A + B) ^t = (i, j)th elementti (A + B)

= (i, j)th elementti A + (i, j)th elementti B
= (j, i)th elementti A ^t + (j, i)th elementti B ^t
= (j, i)th elementti (A ^t + B ^t )

Siksi,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

• Jos A on mitä tahansa kertaluokkaa oleva neliömatriisi ja se on käännettävä, niin sen transponoinnin käänteisarvo on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin käänteistransposo, eli (A^t)^-1= (A^-1)^t.

Todiste:

Sen todistamiseksi (A^t)^-1= (A^-1)^t, tarkastellaan ei-singulaarista neliömatriisia A.

RHS = (A^-1)^t

Kerro nyt (A^-1)^tkirjoittanut A^t

= (A^-1)^t× A^t

Tiedämme, että (AB)^t= B^tA^t

Joten (A^-1)^tA^t= (AA^-1)^t

Tiedämme, että AA^-1= I, missä I on identiteettimatriisi.

Joten (A^-1)^tA^t= minä^t

⇒ (A^-1)^tA^t= I (Koska, I^t= minä)

⇒ (A^-1)^t= (A^t)^-1= LHS

Siksi todistettu.

Siksi, (A ^t ) ^-1 = (A ^-1 ) ^t

Ihmiset lukevat myös:

• Matrixin liitos
• Matriisin determinantti
• Matriisin käänteinen

Ratkaistiin esimerkkejä matriisin transponoinnista

Esimerkki 1: Etsi matriisin A = transponointi egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Ratkaisu:

Matriisin A transponointi on A^t

A^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Esimerkki 2: Matriiseja varten A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} ja B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Todista, että näille matriiseille on voimassa ominaisuus, (AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

Ratkaisu:

Tässä A ja B 23 ja 3×2 matriiseja. Joten matriisin tulosäännön avulla voimme löytää niiden tulon ja lopulliset matriisit olisivat 2×2 matriisi.

L.H.S

Nyt,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

vastustaa jsonia javassa

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Joten matriisin AB transponointi on,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

ja

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Niin,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Siksi,

(AB) ^t = B ^t A ^t

Esimerkki 3: Tarkista, onko (Q ^T ) ^T = Q tai ei.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Ratkaisu:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Näin ollen varmistettu.

Esimerkki 4: Tarkista, onko alla annettu matriisi symmetrinen vai ei.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Ratkaisu:

Tiedämme, että neliömatriisin P, jonka kertaluku on n × n, sanotaan olevan symmetrinen matriisi, jos sen transponointi on sama kuin alkuperäinen matriisi, eli P^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Nyt, P^Tsaadaan vaihtamalla sen rivit sarakkeiksi.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Kuten P^T= P, annettu neliömatriisi on symmetrinen.

Esimerkki 5: Matriiseja varten A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} ja B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Todista, että näillä matriiseilla on tämä ominaisuus, (A + B) ^t = A ^t + B ^t

Ratkaisu:

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Niin,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

ja,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Nyt,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Siksi,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Usein kysytyt kysymykset matriisin siirtämisestä

Mikä on matriisin transponointi?

Matriisin transponointi on matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin rivit ja sarakkeet keskenään. Matriisin A transponointia merkitään A^t. Tietylle matriisille, jonka kertaluku on m×n, matriisin transponointi on luokkaa n×m.

Mikä on neliömatriisin transponoinnin järjestys?

Neliömatriisin matriisin järjestys ei muutu transpoeessa, joten kertalukua n×n matriisille sen transponointijärjestys on myös n×n.

css lihavoitu teksti

Mikä on transponointimatriisin lisäysominaisuus?

Matriisin transponoinnin summausominaisuus kertoo, että kahden transponoidun matriisin summa on aina yhtä suuri kuin yksittäisten matriisien transponoinnin summa, ts.

(A+B)′ = A′+B′

Mikä on transponointimatriisin kertolaskuominaisuus?

Matriisin transponoinnin kertolaskuominaisuus sanoo, että kahden matriisin transponoinnin tulo on aina yhtä suuri kuin yksittäisten matriisien transponoinnin tulo käänteisessä järjestyksessä, ts.

(A×B)′ = B′ × A′

Kuinka laskea matriisin transponointi?

Minkä tahansa matriisin transponointi löytyy helposti muuttamalla rivien arvoja sarakkeiden arvoilla.