Bayesin lause käytetään määrittämään tapahtuman ehdollinen todennäköisyys. Se on nimetty englantilaisen tilastotieteilijän mukaan, Thomas Bayes joka löysi tämän kaavan vuonna 1763. Bayesin lause on erittäin tärkeä matematiikan lause, joka loi perustan ainutlaatuiselle tilastollisen päättelyn lähestymistavalle nimeltä Bayesin johtopäätös. Sitä käytetään tapahtuman todennäköisyyden määrittämiseen perustuen ennakkotietoon olosuhteista, jotka voivat liittyä kyseiseen tapahtumaan.

Esimerkiksi, jos haluamme löytää todennäköisyyden, että satunnaisesti piirretty valkoinen marmori on peräisin ensimmäisestä pussista, koska valkoinen marmori on jo piirretty, ja on kolme pussia, joissa kussakin on valkoista ja mustaa marmoria, niin voimme käyttää Bayesin lausetta.

Tässä artikkelissa tarkastellaan Bayesin lausetta, mukaan lukien sen väite, todiste, johtaminen ja lauseen kaava, sekä sen sovelluksia eri esimerkein.

jalat vs jalka

Mikä on Bayesin lause?

Bayesin lausetta (tunnetaan myös nimellä Bayesin sääntö tai Bayesin laki) käytetään määrittämään tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma B on jo tapahtunut.

Bayesin lauseen yleinen lausunto on Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys toisen tapahtuman B sattuessa on yhtä suuri kuin B:n tapahtuman A ja A:n todennäköisyyden tulo jaettuna tapahtuman B todennäköisyydellä. eli

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

missä,

• P(A) ja P(B) ovat tapahtumien A ja B todennäköisyydet
• P(A|B) on tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuma B tapahtuu
• P(B|A) on tapahtuman B todennäköisyys, kun A tapahtuu

Tarkistaa: Bayesin lause ehdolliselle todennäköisyydelle

Bayesin lause

Bayesin lause n tapahtumajoukolle määritellään seuraavasti,

Anna E₁, JA₂,…, JA_nolla joukko tapahtumia, jotka liittyvät näyteavaruuteen S, jossa kaikki tapahtumat E₁, JA₂,…, JA_nniiden esiintymistodennäköisyys on nollasta poikkeava. Kaikki tapahtumat E₁, JA₂,…, E muodostavat S:n osion. Olkoon A tapahtuma avaruudesta S, jolle on löydettävä todennäköisyys, niin Bayesin lauseen mukaan

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

kun k = 1, 2, 3, …., n

Bayesin lauseen kaava

Kaikille kahdelle tapahtumalle A ja B, Bayesin lauseen kaava saadaan seuraavasti: (alla oleva kuva antaa Bayesin lauseen kaavan)

Bayesin lausekaava

missä,

• P(A) ja P(B) ovat tapahtumien A ja B todennäköisyydet, myös P(B) ei ole koskaan yhtä suuri kuin nolla.
• P(A|B) on tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuma B tapahtuu
• P(B|A) on tapahtuman B todennäköisyys, kun A tapahtuu

Bayesin lauseen johtaminen

Bayesin lauseen todistus annetaan ehdollisen todennäköisyyskaavan mukaan

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Sitten, käyttämällä todennäköisyyden kertolaskua, saamme

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Nyt kokonaistodennäköisyyslauseen mukaan

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Korvaa P(E_i∩A) ja P(A) yhtälöstä (ii) ja eq(iii) yhtälössä (i) saamme,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayesin lause tunnetaan myös kaavana syiden todennäköisyys . Kuten tiedämme, E _i 's ovat näyteavaruuden S osio, ja kulloinkin vain yksi tapahtumista E _i tapahtuu. Siten päätämme, että Bayesin lausekaava antaa tietyn E:n todennäköisyyden_i, koska tapahtuma A on tapahtunut.

Bayesin lauseeseen liittyvät termit

Kun olet oppinut Bayesin lauseen yksityiskohtaisesti, ymmärrämme joitain tärkeitä termejä, jotka liittyvät käsitteisiin, joita käsittelimme kaavassa ja johtamisessa.

• Hypoteesit: Näyttelytilassa tapahtuvat tapahtumat JA ₁ , JA ₂ ,… JA _n kutsutaan hypoteesiksi

• Ensisijainen todennäköisyys: Priori Probability on tapahtuman alkutodennäköisyys ennen kuin uusi tieto otetaan huomioon. P(E_i) on hypoteesin E priori todennäköisyys_i.

• Posteriorinen todennäköisyys: Posterior Probability on tapahtuman päivitetty todennäköisyys uuden tiedon tarkastelun jälkeen. Todennäköisyys P(E_i|A) katsotaan hypoteesin E posterioritodennäköisyydeksi_i.

Ehdollinen todennäköisyys

• Tapahtuman A todennäköisyyttä, joka perustuu toisen tapahtuman B esiintymiseen, kutsutaan nimellä ehdollinen todennäköisyys .
• Se on merkitty nimellä P(A|B) ja edustaa A:n todennäköisyyttä, kun tapahtuma B on jo tapahtunut.

Yhteinen todennäköisyys

Kun mitataan todennäköisyys, että kaksi muuta tapahtumaa tapahtuu yhdessä ja samaan aikaan, se merkitään yhteistodennäköisyydeksi. Kahden tapahtuman A ja B tapauksessa se on merkitty yhteisellä todennäköisyydellä: P(A∩B).

Satunnaiset muuttujat

Reaaliarvoisia muuttujia, joiden mahdolliset arvot määritetään satunnaiskokeiden avulla, kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Tällaisten muuttujien löytämisen todennäköisyys on kokeellinen todennäköisyys.

Bayesin lausesovellukset

Bayesin päättely on erittäin tärkeä ja sitä on sovellettu useissa eri toiminnoissa, mukaan lukien lääketiede, tiede, filosofia, tekniikka, urheilu, laki jne., ja Bayesin johtopäätös on suoraan johdettu Bayesin lauseesta.

Esimerkki: Bayesin lause määrittelee lääketieteellisen testin tarkkuuden ottamalla huomioon kuinka todennäköisesti henkilöllä on sairaus ja mikä on testin yleinen tarkkuus.

Ero ehdollisen todennäköisyyden ja Bayesin lauseen välillä

Ero ehdollisen todennäköisyyden ja Bayesin lauseen välillä voidaan ymmärtää alla olevan taulukon avulla,

Kokonaistodennäköisyyden lause

Anna E₁, JA₂, . . ., JA_non toisensa poissulkeva ja tyhjentävä tapahtuma, joka liittyy satunnaiseen kokeeseen ja antaa E:n olla tapahtuma, joka tapahtuu jonkin E:n kanssa_i. Todista se sitten

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _i ) . P(E _j )

Todiste:

Olkoon S näyteavaruus. Sitten,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Yksi ja E_i∩ E_j= ∅ kun i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) +. . . + P(E ∩ E_n)

{Siksi (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} ovat pareittain hajanaisia}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) +. . . + P(E/E_n) . P(E_n) [kertolauseella]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_i) . P(E_i)

Bayesin lauseeseen liittyvät artikkelit

• Todennäköisyysjakauma
• Bayesin lause ehdollista todennäköisyyttä varten
• Permutaatiot ja yhdistelmät
• Binomilause

Johtopäätös - Bayesin lause

Bayesin lause tarjoaa tehokkaan kehyksen hypoteesin todennäköisyyden päivittämiseen uusien todisteiden tai tietojen perusteella. Yhdistämällä aikaisemman tiedon ja päivittämällä sen havaitulla tiedolla Bayesin lause mahdollistaa tarkemman ja tietoisemman päätöksenteon useilla eri aloilla, mukaan lukien tilastot, koneoppiminen, lääketiede ja rahoitus. Sen sovellukset kattavat lääketieteellisestä diagnoosista ja riskinarvioinnista roskapostin suodatukseen ja luonnollisen kielen käsittelyyn.

Bayesin lauseen ymmärtäminen ja soveltaminen antaa meille mahdollisuuden tehdä parempia ennusteita, arvioida epävarmuustekijöitä ja saada datasta merkityksellisiä oivalluksia, mikä parantaa viime kädessä kykyämme tehdä tietoisia päätöksiä monimutkaisissa ja epävarmoissa tilanteissa.

Tarkista myös:

js vaihto

• Bayesin lause tiedon louhinnassa
• Bayesin teoreema tekoälyssä
• Bayesin lause koneoppimisessa

Bayesin lauseesimerkit

Esimerkki 1: Henkilö on ryhtynyt työhön. Todennäköisyys, että työ valmistuu ajallaan sateen kanssa ja ilman, on 0,44 ja 0,95. Jos sateen todennäköisyys on 0,45, määritä todennäköisyys, että työ valmistuu ajallaan.

Ratkaisu:

Anna E₁on se, että kaivostyö valmistuu ajallaan ja E₂on se tapahtuma, että sataa. Meillä on,

P(A) = 0,45,

P(ei sadetta) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Todennäköisyyden kertolaskulain mukaan

P(E₁) = 0,44 ja P(E₂) = 0,95

Koska tapahtumat A ja B muodostavat osioita näyteavaruudesta S, kokonaistodennäköisyyslauseen mukaan meillä on

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Joten todennäköisyys, että työ valmistuu ajallaan, on 0,7205

Esimerkki 2: On kolme uurnia, joissa on 3 valkoista ja 2 mustaa palloa; 2 valkoista ja 3 mustaa palloa; 1 musta ja 4 valkoista palloa. Jokainen uurna valitaan yhtä suurella todennäköisyydellä. Yksi pallo on yhtä suuri todennäköisyys valittu satunnaisesti. millä todennäköisyydellä vedetään valkoinen pallo?

Ratkaisu:

Anna E₁, JA₂, ja E₃olla tapahtumat, joissa valitaan ensimmäinen, toinen ja kolmas uurna. Sitten,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Olkoon E tapahtuma, jossa vedetään valkoinen pallo. Sitten,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Kokonaistodennäköisyyslauseen mukaan meillä on

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Esimerkki 3: Kortti 52 kortin pakkauksesta on kadonnut. Pakkauksen jäljellä olevista korteista vedetään kaksi korttia, jotka ovat molemmat sydämiä. Etsi todennäköisyys, että kadonnut kortti on sydän.

Ratkaisu:

Anna E₁, JA₂, JA_3,ja E₄ovat sydämien, mailojen, patojen ja timanttien kortin menettämisen tapahtumia.

Sitten P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Olkoon E tapahtuma, jossa jäljellä olevista 51 kortista nostetaan 2 sydäntä. Sitten,

P(E|E₁) = todennäköisyys nostaa 2 sydäntä, koska sydänkortti puuttuu

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = todennäköisyys nostaa 2 mailaa, koska mailakortti puuttuu

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = todennäköisyys nostaa 2 pataa, koska sydänkortti puuttuu

java-joukko

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = todennäköisyys nostaa 2 timanttia, jos timanttikortti puuttuu

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Siksi,

P(E₁|E) = todennäköisyys, että kadonnut kortti on sydän, koska 2 sydäntä vedetään jäljellä olevista 51 kortista

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Näin ollen vaadittu todennäköisyys on 0,22.

Esimerkki 4: Oletetaan, että 15 miestä 300:sta miehestä ja 25 naista 1000:sta on hyviä puhujia. Puhuja valitaan sattumanvaraisesti. Laske todennäköisyys, että miespuolinen henkilö valitaan. Oletetaan, että miehiä ja naisia ​​on yhtä paljon.

Ratkaisu:

Gievn,

• Miehet yhteensä = 300
• Naisia ​​yhteensä = 1000
• Hyviä puhujia miesten joukossa = 15
• Hyviä puhujia naisten keskuudessa = 25

Hyvien puhujien kokonaismäärä = 15 (miehistä) + 25 (naisista) = 40

Todennäköisyys valita miespuolinen puhuja:

P (miespuhuja) = miespuhujien lukumäärä / puhujien kokonaismäärä = 15/40

Esimerkki 5: Miehen tiedetään puhuvan valheita 1/4 kertaa. Hän heittää noppaa ja ilmoittaa, että se on kuusi. Etsi todennäköisyys, joka on itse asiassa kuusi.

Ratkaisu:

Nopan heitolla, anna

JA₁= kuuden saamisen tapahtuma,

JA₂= tapahtuma, jossa ei saa kuutta ja

E = tapahtuma, jossa mies ilmoittaa, että se on kuusi.

Sitten P(E₁) = 1/6 ja P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = todennäköisyys, että mies ilmoittaa, että kuusi tapahtuu, kun kuusi on todella tapahtunut

⇒ P(E|E₁) = todennäköisyys, että mies puhuu totta

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = todennäköisyys, että mies ilmoittaa, että kuusi tapahtuu, kun kuutta ei ole tosiasiallisesti tapahtunut

⇒ P(E|E₂) = todennäköisyys, että mies ei puhu totta

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Todennäköisyys saada kuusi, koska mies ilmoittaa sen olevan kuusi

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [Bayesin lauseen mukaan]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Vaadittu todennäköisyys on siis 3/8.

Usein kysyttyä Bayesin lauseesta

Mikä on Bayesin lause?

Bayes, lause, kuten nimi viittaa, on matemaattinen lause, jota käytetään tapahtuman ehdollisuuden todennäköisyyden selvittämiseen. Ehdollinen todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys, joka tapahtuu tulevaisuudessa. Se lasketaan tapahtumien aikaisempien tulosten perusteella.

Milloin Bayesin lausetta käytetään?

Bayesin lauseella on laaja valikoima sovelluksia, erityisesti aloilla, jotka käsittelevät todennäköisyyksien päivittämistä uuteen dataan perustuen. Bayesin säännön avulla voit laskea posterior (tai päivitetty) todennäköisyys. Sitä käytetään tapahtumien ehdollisen todennäköisyyden laskemiseen.

Mitkä ovat keskeiset termit Bayesin lauseen ymmärtämiseksi?

Jotkut tärkeimmistä termeistä ovat:

• Aikaisempi todennäköisyys (P(A))
• Posteriorinen todennäköisyys (P(A | B))
• Todennäköisyys (P(B | A))
• Marginaalitodennäköisyys (P(B))

Milloin käyttää Bayesin lausetta?

Bayesin lause on sovellettavissa, kun tapahtuman ehdollinen todennäköisyys on annettu, sitä käytetään tapahtuman käänteisen todennäköisyyden selvittämiseen.

Miten Bayesin lause eroaa ehdollisesta todennäköisyydestä?

Bayesin lauseella määritellään tapahtuman todennäköisyys tapahtuman aikaisempien ehtojen perusteella. Kun taas Bayesin lause käyttää ehdollista todennäköisyyttä löytääkseen tapahtuman käänteisen todennäköisyyden.

Mikä on Bayesin lauseen kaava?

Bayesin lauseen kaava selitetään alla,

java-pakomerkki

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)