Annettu taulukko arr[0..N-1]. Seuraavat toiminnot on suoritettava.
- päivitys (l r val) : Lisää "val" kaikkiin taulukon elementteihin alkaen [l r].
- getRangeSum(l r) : Etsi taulukon kaikkien elementtien summa [l r]:sta.
Aluksi kaikki taulukon elementit ovat 0. Kyselyt voivat olla missä tahansa järjestyksessä, eli päivityksiä voi olla useita ennen alueen summaa.
Esimerkki:
Syöte: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Kyselyt: päivitys: l = 0 r = 4 val = 2
päivitys: l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Lähtö: Alueen [2 4] alkioiden summa on 12
Selitys: Ensimmäisen päivityksen jälkeen taulukosta tulee {2 2 2 2 2}
Toisen päivityksen jälkeen taulukosta tulee {2 2 2 5 5}
Naiivi lähestymistapa: Ratkaise ongelma noudattamalla alla olevaa ideaa:
Vuonna edellinen postaus keskustelimme alueen päivitys- ja pistekyselyratkaisuista BIT:n avulla.
rangeUpdate(l r val) : Lisäämme 'val' -elementtiin indeksissä 'l'. Vähennämme 'val' elementistä indeksissä 'r+1'.
getElement(index) [tai getSum()]: Palautamme elementtien summan 0:sta indeksiin, joka saadaan nopeasti BIT:n avulla.
Voimme laskea rangeSum() käyttämällä getSum()-kyselyjä.
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)postinkantajaYksinkertainen ratkaisu on käyttää kohdassa käsiteltyjä ratkaisuja edellinen postaus . Alueen päivityskysely on sama. Alueen summakysely voidaan saavuttaa tekemällä hakukysely kaikille alueen elementeille.
Tehokas lähestymistapa: Ratkaise ongelma noudattamalla alla olevaa ideaa:
Saamme alueen summan käyttämällä etuliitesummia. Kuinka varmistaa, että päivitys tehdään niin, että etuliitesumma voidaan tehdä nopeasti? Tarkastellaan tilannetta, jossa etuliitesumma [0 k] (missä 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Tapaus 1 : 0< k < l
- Päivityskysely ei vaikuta summakyselyyn.
- Tapaus 2 : l<= k <= r
- Harkitse esimerkkiä: Lisää 2 alueelle [2 4], tuloksena oleva taulukko olisi: 0 0 2 2 2
Jos k = 3 Summa arvosta [0 k] = 4Kuinka saada tämä tulos?
Lisää vain val l:stäthindeksi kthindeksi. Summaa kasvatetaan arvolla 'val*(k) - val*(l-1)' päivityskyselyn jälkeen.
- Tapaus 3 : k > r
- Tässä tapauksessa meidän on lisättävä "val" l:stäthindeksi rthindeksi. Summaa kasvatetaan arvolla 'val*r – val*(l-1)' päivityskyselyn vuoksi.
Havainnot:
Tapaus 1: on yksinkertainen, koska summa pysyisi samana kuin se oli ennen päivitystä.
vlc lataa youtube
Tapaus 2: Summaa kasvatettiin arvolla val*k - val*(l-1). Voimme löytää 'val', se on samanlainen kuin i:n löytäminenthelementti sisään alueen päivitys ja pistekyselyartikkeli . Ylläpidämme siis yhtä bittiä alueen päivitykselle ja pistekyselyille, tämä BIT auttaa löytämään arvon k:stäthindeksi. Nyt val * k lasketaan kuinka käsitellä ylimääräistä termiä val*(l-1)?
Tämän ylimääräisen termin käsittelemiseksi ylläpidämme toista BIT:tä (BIT2). Päivitä val * (l-1) klo lthindeksi, joten kun getSum-kysely suoritetaan BIT2:lle, tulos on val*(l-1).
Tapaus 3: Summaa tapauksessa 3 kasvatettiin arvolla 'val*r - val *(l-1)', tämän termin arvo voidaan saada käyttämällä BIT2:ta. Lisäämisen sijaan vähennämme 'val*(l-1) - val*r', koska saamme tämän arvon BIT2:sta lisäämällä val*(l-1), kuten teimme tapauksessa 2 ja vähentämällä val*r jokaisessa päivitysoperaatiossa.
Päivitä kysely
Päivitys (BITree1 l val)
Päivitys (BITree1 r+1 -val)
PäivitysBIT2(BITree2 l val*(l-1))
PäivitäBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Alueen summa
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Ratkaise ongelma noudattamalla alla olevia ohjeita:
- Luo kaksi binaarista indeksipuuta käyttämällä annettua funktiota constructBITree()
- Jos haluat löytää summan tietyltä alueelta, kutsu funktio rangeSum() parametreilla annettuna alueena ja binaariin indeksoidut puut
- Kutsu funktion summa, joka palauttaa summan alueella [0 X]
- Paluusumma(R) - summa(L-1)
- Kutsu tämän funktion sisällä funktio getSum(), joka palauttaa taulukon summan arvosta [0 X]
- Palauttaa getSum(Puu1 x) * x - getSum(puu2 x)
- Luo getSum()-funktion sisällä kokonaislukusumma, joka on yhtä suuri kuin nolla ja suurenna indeksiä yhdellä
- Kun indeksi on suurempi kuin nolla, lisää summaa Tree[index]
- Pienennä indeksiä (indeksi & (-indeksi)) siirtääksesi hakemiston puun pääsolmuun
- Palautussumma
- Tulosta summa annetulla alueella
Alla on yllä olevan lähestymistavan toteutus:
C++// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include
// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int BITree[] int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function public static void main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; System.out.print('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552
// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int[] BITree int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int[] BITree int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of // parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2 int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1 int[] BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Code public static void Main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) { let sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array(n + 1); for (let i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5; // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '
'); // This code is contributed by rag2127 </script>
Lähtö
Sum of elements from [14] is 50
Aika monimutkaisuus : O(q * log(N)) missä q on kyselyjen lukumäärä.
Aputila: O(N)