Ympyrän jänne on viiva, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi pistettä ympyrän kehällä. Ympyrässä voi olla useita jänteitä ja ympyrän suurin jänne on ympyrän halkaisija. Voimme helposti laskea sointujen pituuden käyttämällä Sointujen pituus -kaavaa. Kuten nimestä voi päätellä, se on kaava ympyrän sointeen pituuden laskemiseksi geometriassa.

Tässä artikkelissa opimme sointeen määritelmästä, sointujen ja ympyrän lauseista, selitämme sen ominaisuudet ja kaavoja sointeen pituuden laskemiseksi eri menetelmillä. Artikkelissa on myös joitain ratkaistuja esimerkkiongelmia ymmärtämisen helpottamiseksi.

Sisällysluettelo

• Ympyrän määritelmä
• Ympyrän sointu määritelmä
• Mikä on sointupituuskaava?
• Ympyrän sointu -lauseet
• Ympyrän sointujen ominaisuudet
• Ratkaistu ongelmia
• UKK

Ympyrän määritelmä

Ympyrä on täydellinen pyöreä muoto, joka koostuu kaikista tason pisteistä, jotka on sijoitettu tietylle etäisyydelle tietystä pisteestä. Ne koostuvat suljetusta kaarevasta linjasta keskipisteen ympärillä. Viivalla olevat pisteet ovat samalla etäisyydellä keskipisteestä. Etäisyyttä ympyrän keskipisteeseen kutsutaan säteeksi.

Ympyrän sointu määritelmä

Jana, joka yhdistää mitkä tahansa kaksi pistettä ympyrän kehällä, tunnetaan ympyrän jänteenä. Koska halkaisija yhdistää myös ympyrän kehän kaksi pistettä, se on myös jänne ympyrään. Itse asiassa halkaisija on ympyrän pisin jänne. Toisin sanoen jänne on jana, jonka molemmat päät ovat ympyrän kehällä. Seuraava kuva voi auttaa meitä ymmärtämään enemmän.

Mikä on sointupituuskaava?

Sointeen pituuden laskemiseen on kaksi perusmenetelmää tai kaavaa. jänteen pituus voidaan määrittää käyttämällä kohtisuoraa etäisyyttä ympyrän keskipisteestä sekä trigonometrisellä menetelmällä. Siten sointujen pituus voidaan löytää

• Pythagoraan lauseen käyttö
• Kosinusten lain käyttö

Ymmärrämme nämä menetelmät yksityiskohtaisesti seuraavasti:

Tapa 1: Pythagoraan lauseen käyttäminen

Seuraavassa kaaviossa jänteelle, kuten tiedämme, ympyrän keskipisteestä jänteeseen piirretty kohtisuora puolittaa sen kahteen puolikkaaseen.

Kolmioissa OAM, käyttäen Pythagoraan lause ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Koska x on puolet sointeen pituudesta,

Siten minkä tahansa ympyrän jänteen pituus sen kohtisuorassa etäisyydellä keskustasta tunnetaan muodossa

Ympyrän sointujen pituus = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Missä,

• r on ympyrän säde ja
• d on ympyrän keskipisteen ja jänteen välinen kohtisuora etäisyys.

Menetelmä 2: Kosinin lain käyttö

Kuten tiedämme kolmiosta ABC, jonka sivut ovat a, b ja c, Kosinuksen laki toteaa,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Käyttämällä tätä lakia seuraavassa kaaviossa jänteestä, joka alittaa θ-kulman ympyrän keskellä, voimme löytää jänteen pituuden.

Kolmiossa OAB käyttäen kosinin lakia,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

c ohjelmat

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Siten sointu pituus saadaan seuraavasti:

Sointujen pituus = 2r × sin [θ/2]

Missä,

• i on kulma, jonka jänne keskellä on, ja
• r on ympyrän säde.

Muu sointupituuden kaava

Kun kahdella ympyrällä on yhteinen sointu, tämän yhteisen sointeen pituus voidaan laskea kaavalla

Kahden ympyrän yhteisen soinnun pituus = 2R ₁ × R ₂ /D

Missä,

• R ₁ ja R ₂ viittaa ympyrän säteeseen
• D on ympyrän kahden keskipisteen välinen etäisyys

Ympyrän sointu -lauseet

Ympyrän jänne alistaa ympyrän keskellä olevan kulman, mikä auttaa meitä todistamaan ympyrän erilaisia ​​käsitteitä. Ympyrän sointeeseen perustuvia lauseita on useita,

• Lause 1: Equal Chords Equal Angles Lause
• Lause 2: Equal Angles Equal Chords -lause (lauseen 1 käänteinen)
• Lause 3: Yhtäläiset soinnut yhtä kaukana keskuslauseesta

Keskustellaan nyt samasta alla olevassa artikkelissa.

Lause 1: Equal Chords Equal Angles Lause

Lausunnot: Tasaiset jänteet muodostavat yhtäläiset kulmat ympyrän keskellä, eli jänteen kulmaukset ovat yhtä suuret, jos jänne on yhtä suuri.

Todiste:

Kuvasta,

∆AOB:ssa ja ∆DOC:ssa

• AB = CD …eq(i) (antattu)
• OA = OD …eq(ii) (ympyrän säde)
• OB = OC …eq(iii) (ympyrän säde)

Siten SSS-kongruenssiehtojen mukaan kolmio ∆AOB ja ∆COD ovat yhteneviä.

Täten,

∠AOB = ∠DOC (CPCT:n mukaan)

Siten lause on varmistettu.

Lause 2: Equal Angles Equal Chords Lause (lauseen 1 käänteinen)

Lausunto: Ympyrän keskellä yhtä suuret kulmat muodostavat sointeet ovat yhtä pitkiä. Tämä on ensimmäisen lauseen käänteinen.

Kuvasta,

∆AOB:ssa ja ∆DOC:ssa

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (antattu)
• OA = OD …eq(ii) (ympyrän säde)
• OB = OC …eq(iii) (ympyrän säde)

Siten SAS-kongruenssiehtojen mukaan kolmio ∆AOB ja ∆COD ovat kongruentteja.

Täten,

AB = CD (CPCT:n mukaan)

Siten lause on varmistettu.

Lause 3: Equal Chords Equidistance the Center Lause

Lausunto: Yhtäsuuret jänteet ovat yhtä kaukana keskustasta, eli ympyrän keskipisteen ja tasajänteen välinen etäisyys on aina yhtä suuri.

Kuvasta,

∆AOL:ssa ja ∆COM:ssa

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 astetta)
• OA = OC …eq(ii) (ympyrän säde)
• OL = OM …eq(iii) (antattu)

Siten RHS-kongruenssiehtojen mukaan kolmio ∆AOB ja ∆COD ovat yhteneväisiä.

Täten,

AL = CM (CPCT:n mukaan)…(iv)

Nyt tiedämme, että keskeltä vedetty kohtisuora puolittaa jänteet.

Eq(iv)

2AL = 2cm

AB = CD

Siten lause on varmistettu.

Ympyrän sointujen ominaisuudet

Ympyrässä sointuilla on useita ominaisuuksia, joista osa on seuraavat:

• Ympyrän keskipisteen läpi kulkevaa jännettä kutsutaan halkaisijaksi, ja se on ympyrän pisin jänne.
• Ympyrän keskustasta vedetty kohtisuora jänne jakaa jänteen.
• Ympyrän keskipisteestä yhtä kaukana olevat sointuet ovat yhtä pitkiä.
• On vain yksi ympyrä, joka kulkee kolmen kollineaarisen pisteen läpi.
• Sointuja, jotka ovat yhtä pitkiä, muodostavat yhtä suuret kulmat ympyrän keskellä.
• Painteen kohtisuora puolittaja kulkee ympyrän keskipisteen läpi.
• Jos säde on kohtisuorassa jänteeseen nähden, se puolittaa jänteen ja katkaiseman kaaren. Tämä tunnetaan kohtisuoran puolittajalauseena.
• Kun jänteen pienet kulmat ovat yhtä suuret, myös jänteiden pituus on yhtä suuri.
• Jos ympyrän kaksi soinnetta leikkaavat toisiaan, yhden sointeen segmenttien tulo on yhtä suuri kuin toisen sointeen segmenttien tulo. Tämä tunnetaan leikkaavien sointujen lauseena.
• Keskellä olevan jänteen hillitsemä kulma on kaksinkertainen kehällä olevan jänteen kulmaukseen verrattuna.

Lue lisää,

• Ympyrän yhtälö
• Ympyrän alue
• Ympyrän ympärysmitta

Ratkaistiin ympyrän sointuongelmia

Tehtävä 1: Ympyrä on 70 asteen kulma, jonka säde on 5 cm. Laske ympyrän jänteen pituus.

Ratkaisu:

Annettu

• Säde = 5 cm
• Kulma = 70°

Nyt,

sointu pituus = 2R × sin [kulma/2]

= 2 × 5 × sin [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Tehtävä 2: Ympyrässä , säde on 7 cm ja kohtisuora etäisyys ympyrän keskipisteestä sen jänteisiin on 6 cm. Laske sointeen pituus.

Ratkaisu:

Annettu

• Säde = 7 cm
• Etäisyys = 6 cm

Nyt,

Sointeen pituus = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2√13cm

Tehtävä 3: Ympyrä on 60 asteen kulma, jonka säde on 12 cm. Laske ympyrän jänteen pituus.

Ratkaisu:

Annettu

• Säde = 12 cm
• Kulma = 60°

Nyt,

sointu pituus = 2R × sin [kulma/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Tehtävä 4: Ympyrässä säde on 16 cm ja kohtisuora etäisyys ympyrän keskipisteestä sen jänteisiin on 5 cm. Laske sointeen pituus.

Ratkaisu:

Annettu

• Säde = 16 cm
• Etäisyys = 5 cm

Nyt,

Sointujen pituus = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Tehtävä 6: Laske yhteisen jänteen pituus ympyröiden välillä, joiden säde on 6 cm ja 5 cm. Ja kahden keskipisteen väliseksi etäisyydeksi mitattiin 8 cm.

Ratkaisu:

Annettu

Kahden keskipisteen välinen etäisyys = 8 cm

Kahden ympyrän säde on R₁ja R₂pituus 6cm ja 5cm

Nyt,

Kahden ympyrän yhteisen jänteen pituus = (2R₁× R₂) / Kahden ympyrän keskipisteen välinen etäisyys

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Usein kysytyt kysymykset aiheesta Sointu piiri

Määrittele sointu.

Jana, joka yhdistää kaksi ympyrän kehällä olevaa pistettä, tunnetaan nimellä Chord.

Mikä on sointupituuskaava?

Chord Length Formula laskee sointujen pituuden ympyrässä.

Voiko soinnun pituus olla suurempi kuin ympyrän halkaisija?

Ei, jänteen pituus ei voi olla halkaisijaa suurempi, koska halkaisija on ympyrän pisin jänne.

Miten sointujen pituus vaikuttaa, jos se on lähempänä ympyrän keskustaa?

Kun jänne lähestyy ympyrän keskustaa, sen pituus lähestyy maksimipituutta eli halkaisijaa.

Miten sointujen pituus vaikuttaa, jos se on lähempänä ympyrän reunaa?

Kun jänne lähestyy ympyrän reunaa, sen pituus lähestyy nollaa. Siten jänteen pituudella ja sen etäisyydellä reunasta on käänteinen suhde.

Mikä on sointujen pituuden ja ympyrän keskikulman välinen suhde?

E-jänteen pituuden ja ympyrän keskikulman välinen suhde on seuraava:

Sointujen pituus = 2r × sin [θ/2]

Missä,

• i on kulma, jonka jänne keskellä on, ja
• r on ympyrän säde.

Voidaanko sointujen pituuskaavaa käyttää mihin tahansa ympyrään?

Kyllä, sointupituuskaavaa voidaan käyttää mihin tahansa ympyrään, kunhan säde ja keskikulma tunnetaan.

Onko halkaisija ympyrän sointu?

Kyllä, halkaisija on ympyrän jänne. Se on ympyrän pisin mahdollinen sointu. Se on yhtä suuri kuin kaksi kertaa ympyrän säde.

D = 2r

Missä,

• D on ympyrän halkaisija
• r on ympyrän säde