Kuuluisa matemaatikko DeMorgan keksi kaksi tärkeintä boolen algebran lausetta. DeMorganin lauseita käytetään NOR- ja negatiivisten JA-porttien sekä negatiivisten TAI- ja NAND-porttien ekvivalenssin matemaattiseen varmentamiseen. Näillä lauseilla on tärkeä rooli erilaisten Boolen algebralausekkeiden ratkaisemisessa. Alla olevassa taulukossa on määritelty looginen toiminta kullekin syötemuuttujan yhdistelmälle.
| Syötemuuttujat | Ulostulon kunto | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | JA | NAND | TAI | EI MYÖSKÄÄN |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
De-Morganin lauseen säännöt on tuotettu Boolen lausekkeista OR , AND , ja EI käyttämällä kahta syötemuuttujaa x ja y. Demorganin ensimmäinen lause sanoo, että jos suoritamme AND-operaation kahdelle syötemuuttujalle ja sitten suoritamme tuloksen EI-operaation, tulos on sama kuin kyseisen muuttujan komplementin TAI-operaatio. DeMorganin toinen lause sanoo, että jos suoritamme kahden syöttömuuttujan TAI-operaation ja sitten EI tuloksen operaatiossa, tulos on sama kuin kyseisen muuttujan komplementin JA-operaatio.
De-Morganin ensimmäinen lause
Ensimmäisen lauseen mukaan JA-operaation komplementtitulos on yhtä suuri kuin kyseisen muuttujan komplementin TAI-operaatio. Siten se vastaa NAND-funktiota ja on negatiivinen TAI-funktio, joka todistaa, että (A.B)' = A'+B' ja voimme näyttää tämän seuraavan taulukon avulla.
| Tulot | Tulos jokaiselle termille | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morganin toinen lause
Toisen lauseen mukaan TAI-operaation komplementtitulos on yhtä suuri kuin kyseisen muuttujan komplementin JA-operaatio. Siten se vastaa NOR-funktiota ja on negatiivinen JA-funktio, joka todistaa, että (A+B)' = A'.B' ja voimme näyttää tämän seuraavan totuustaulukon avulla.
| Tulot | Tulos jokaiselle termille | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Otetaan muutamia esimerkkejä, joissa otamme joitain lausekkeita ja soveltamme DeMorganin lauseita.
Esimerkki 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Esimerkki 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Esimerkki 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
DeMorganin lauseen soveltamiseksi tähän lausekkeeseen meidän on noudatettava seuraavia lausekkeita:
1) Täydellisessä lausekkeessa etsitään ensin termit, joihin voimme soveltaa DeMorganin lausetta ja käsitellä jokaista termiä yhtenä muuttujana.
Niin,
2) Seuraavaksi sovelletaan DeMorganin ensimmäistä lausetta. Niin,
3) Seuraavaksi käytämme sääntöä numero 9, eli (A=(A')') kaksoispalkkien kumoamiseen.
4) Seuraavaksi sovelletaan DeMorganin toista lausetta. Niin,
5) Käytä jälleen sääntöä 9 peruuttaaksesi kaksoispalkin
Tässä lausekkeessa ei ole termiä, johon voisimme soveltaa mitään sääntöä tai lausetta. Tämä on siis viimeinen ilmaus.
Esimerkki 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
java matematiikka
