Käänteisen trigonometrisen funktion johdannainen viittaa käänteisten trigonometristen funktioiden muutosnopeuteen. Tiedämme, että funktion derivaatta on funktion muutosnopeus riippumattoman muuttujan suhteen. Ennen kuin oppii tämän, on tiedettävä trigonometristen funktioiden differentiaatiokaavat. Löytääksemme käänteisen trigonometrisen funktion derivaatan, rinnastamme trigonometrisen funktion ensin toiseen muuttujaan sen käänteisfunktion löytämiseksi ja sitten eriyttämme sen käyttämällä implisiittistä differentiaatiokaavaa.

Tässä artikkelissa opimme D käänteisten trig-funktioiden tulos, käänteisten trig-funktioiden erotuskaavat, ja ratkaise joitakin esimerkkejä sen perusteella. Mutta ennen kuin siirryt eteenpäin, siivotaan käsitettä i nverse trigonometriset funktiot ja implisiittinen differentiaatio.

• Käänteiset trigonometriset funktiot
• Mikä on implisiittinen eriyttäminen?
• Mikä on käänteisten trigonometristen funktioiden johdannainen?
• Todiste käänteisten trigifunktioiden johdannaisesta
• Käänteinen trigin johdannaiskaava
• Esimerkkejä käänteistrigin johdannaisista

Käänteiset trigonometriset funktiot

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat trigonometristen suhteiden käänteisiä funktioita, eli sin, cos, tan, cot, sec ja cosec. Näitä toimintoja käytetään laajasti fysiikan, matematiikan, tekniikan ja muiden tutkimusalojen kaltaisilla aloilla. Aivan kuten yhteen- ja vähennyslasku ovat toistensa käänteisiä, sama pätee trigonometristen funktioiden käänteisarvoihin.

ilman θ = x

⇒ i = s sisään ⁻¹ x ​

Käänteisten trigonometristen funktioiden esitys

Ne esitetään lisäämällä kaari etuliitteellä tai lisäämällä -1 potenssiin.

Käänteissini voidaan kirjoittaa kahdella tavalla:

• ilman^-1x
• arcsin x

Sama koskee cosia ja tan.

Huomautus: Älä sekoita syntiä^-1x kanssa (sin x)^-1. He ovat erilaisia. Synnin kirjoittaminen^-1x on tapa kirjoittaa käänteissini, kun taas (sin x)^-1tarkoittaa 1/sin x.

Käänteisten trigonometristen funktioiden toimialue

Tiedämme, että funktio on differentioituva vain, jos se on jatkuva siinä pisteessä, ja jos funktio on jatkuva tietyssä pisteessä, tämä piste on funktion alue. Siksi meidän pitäisi oppia käänteisten trigonometristen funktioiden alue samalle.

Opitaan nyt lyhyesti implisiittisen eriyttämisen tekniikka.

Mikä on implisiittinen eriyttäminen?

Implisiittinen erilaistuminen on menetelmä, joka käyttää ketjusääntöä implisiittisesti määriteltyjen funktioiden erottamiseen. Implisiittinen funktio on funktio, joka sisältää kaksi muuttujaa yhden muuttujan sijaan. Tällöin joskus voimme muuntaa funktion yhdeksi muuttujaksi eksplisiittisesti, mutta näin ei aina ole. Koska funktiota ei yleensä ole helppo löytää eksplisiittisesti ja sitten erottaa toisistaan. Sen sijaan voimme täysin erottaa f(x, y) eli molemmat muuttujat ja sitten ratkaista loput yhtälöstä löytääksemme f'(x) arvon.

Lue tarkemmin: Laskeminen matematiikassa

Mikä on käänteisten trigonometristen funktioiden johdannainen?

Käänteistrigonometriset funktiot ovat käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatta. Niitä on kuusi trigonometriset funktiot ja jokaiselle näistä trigonometrisista funktioista on olemassa käänteisfunktio. Nämä ovat syntiä^-1x, cos^-1x, niin^-1x, kosek^-1x, sek^-1x, pinnasänky^-1x. Voimme löytää käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatan käyttämällä implisiittistä differentiaatiomenetelmää. Opitaan ensin, mitkä ovat käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat.

• Synnin johdannainen^-1x on d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) kaikille x ϵ (-1, 1)
• Johdannainen cos^-1x on d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) kaikille x ϵ (-1, 1)
• Johdannainen rusketus^-1x on d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) kaikille x ϵ R:lle
• Johdannainen sanasta cosec^-1x on d(kosek^-1x)/dx = -1/ kaikille x ϵ R – [-1, 1]
• Johdannainen sek^-1x on d(s^-1x)/dx = 1/x kaikille x ϵ R – [-1, 1]
• Johdannainen pinnasängystä^-1x on d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) kaikille x ϵ R:lle

Käänteisen trigonometrisen johdannaisen kuva on liitteenä alla:

Nyt olemme oppineet, mitkä ovat kaikkien kuuden käänteisen trigonometrisen funktion derivaatat, opimme nyt löytämään kuuden käänteisen trigonometrisen funktion derivaatan.

Todiste käänteisten trigifunktioiden johdannaisesta

Käänteiset trigonometriset funktiot voidaan erottaa käyttämällä ensimmäistä periaatetta ja myös käyttämällä implisiittistä differentiaatiokaavaa, joka sisältää myös ketjusäännön käytön. Käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatan löytäminen ensimmäistä periaatetta käyttämällä on pitkä prosessi. Tässä artikkelissa opimme erottamaan käänteiset trigonometriset funktiot implisiittisen differentioinnin avulla. Voimme löytää käänteistrigifunktioiden derivaatan (dy/dx) seuraavien vaiheiden avulla

Vaihe 1: Oletetaan trigonometriset funktiot muodossa sin y = x

Vaihe 2: Etsi yllä olevan funktion derivaatta käyttämällä implisiittistä differentiaatiota

Vaihe 3: Laske dy/dx

Vaihe 4: Korvaa vaiheessa 3 oleva trigonometrisen funktion arvo käyttämällä trigonometrisiä identiteettejä.

Synin käänteis-x:n johdannainen

Oletetaan, että sin y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ cos ja. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Koska tiedämme, että synti²ja + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – synti²ja

sql järjestys päivämäärän mukaan

⇒ kodikas = √(1 – synti²y) = √(1 – x²), koska meillä on sin y = x

Laitetaan tämä cos y:n arvo yhtälöön (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) missä y = synti^-1x

Cos käänteisen X johdannainen

Oletetaan, että cos y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ -ilman ja. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Koska tiedämme, että synti²ja + Cos²y = 1

⇒ ilman²y = 1 – cos²ja

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), koska meillä on cos y = x

Laitetaan tämä sin y:n arvo yhtälöön (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) jossa y = cos^-1x

Tan käänteisen X johdannainen

Oletetaan, että tan y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s²ja →(i)

Koska tiedämme, että sek²ja niin²y = 1

⇒ sek²y = 1 + rusketus²ja

⇒ sek²y = (1 + ruskea²y) = (1 + x²), koska meillä on tan y = x

Laittamalla tämä arvo sekuntia²y yhtälössä (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) missä y = tan^-1x

Sängyn käänteisen X johdannainen

Oletetaan, että pinnasänky y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ -kosek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/kosek²ja →(i)

Koska tiedämme, että csec²ja – pinnasänky²y = 1

⇒ kosek²y = 1 + pinnasänky²ja

⇒ kosek²y = (1 + pinnasänky²y) = (1 + x²), koska meillä on pinnasänky y = x

Laitetaan tämä cosec-arvo²y yhtälössä (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) missä y = pinnasänky^-1x

Sekuntikäänteisen X johdannainen

Oletetaan, että sek y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ s y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Koska tiedämme, että sek²ja niin²y = 1

⇒ niin²y = sek²ja – 1

⇒ tan y = √(s²y – 1) = √(x²– 1) koska meillä on sek y = x

Laitetaan tämä tan y:n arvo yhtälöön (i)

dy/dx = 1/x missä sek y = x ja y = sek^-1x

Kosec-käänteis-X:n johdannainen

Oletetaan, että cosec y = x

Erottaa molemmat puolet x:n suhteen

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Koska tiedämme, että cosec²ja – pinnasänky²y = 1

⇒ pinnasänky²y = kosek²ja – 1

⇒ pinnasänky y = √(kosek²y – 1) = √(x²– 1) koska meillä on cosec y = x

Laitetaan tämä tan y:n arvo yhtälöön (i)

dy/dx = -1/x missä kosek y = x ja y = kosek^-1x

Käänteinen trigin johdannaiskaava

Nyt olemme oppineet erottamaan käänteiset trigonometriset funktiot, joten katsomme nyt käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatan kaavat, joita voidaan käyttää suoraan tehtävissä. Alla on käänteisen trigonometrisen funktion kaavan derivaattataulukko.

Lue lisää,

• Johdannainen parametrimuodossa
• Johdannaiskaavat
• Johdannaisen soveltaminen
• Eksponentiaalifunktion johdannainen

Esimerkkejä käänteistrigin johdannaisista

Esimerkki 1: Erottele synti ^-1 (x)?

Ratkaisu:

Antaa, ja = ilman ⁻¹( x )

Sinin ottaminen yhtälön molemmilta puolilta antaa,

synti y = synti (sin^-1x)

Käänteisen trigonometrian ominaisuuden perusteella tiedämme, syn(sin^-1x) = x

sin y = x

Erottaa nyt molemmat puolet wrt:hen,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Voimme yksinkertaistaa sitä enemmän käyttämällä alla olevaa havaintoa:

ilman²ja + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Kuten sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Korvaamalla arvon saamme

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Esimerkki 2: Erottele cos ^-1 (x)?

Ratkaisu:

Antaa,

ja = cos⁻¹( x )

Kosinin ottaminen yhtälön molemmilta puolilta antaa,

cos y = cos(cos^-1x)

Käänteisen trigonometrian ominaisuuden perusteella tiedämme, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

bourne-ain -kuori

Erottaa nyt molemmat puolet wrt:hen,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Voimme yksinkertaistaa sitä enemmän käyttämällä alla olevaa havaintoa:

ilman²ja + cos²y = 1

ilman²y + x²= 1 {As cos y = x}

ilman²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Korvaamalla arvon saamme

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Esimerkki 3: Erota rusketus ^-1 (x)?

Ratkaisu:

Antaa, ja = niin⁻¹( x )

Kun otetaan rusketus yhtälön molemmin puolin, saadaan

rusketus y = tan(rusketus^-1x)

Käänteisen trigonometrian ominaisuuden perusteella tiedämme tan(tan^-1x) = x

ruskea y = x

Erottaa nyt molemmat puolet wrt:hen,

vlc lataa youtube

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/s²x

Voimme yksinkertaistaa sitä enemmän käyttämällä alla olevaa havaintoa:

sek²ja niin²y = 1

sek²y-x²= 1

sek²y = 1 + x²

Korvaamalla arvon saamme

dy/dx = 1/s²ja

dy/dx = 1/(1 + x²)

Esimerkki 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Etsi dy/dx, kun x = 1/2?

Ratkaisu:

Menetelmä 1 (implisiittisen eriyttämisen käyttäminen)

Annettu, ja = cos ⁻¹(−2 x ²)

⇒ cos ja = −2 x ²

Erottelevat molemmat puolet wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Yksinkertaistaminen

ilman²ja + cos²y = 1

ilman²ja + (-2x²)²= 1 {As cos y = -2x²}

ilman²y + 4x⁴= 1

ilman²y = 1 - 4x⁴

sin y = √(1 - 4x⁴)

Laittamalla saadun arvon saamme,

dy/dx = 4x/√{1–4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Menetelmä 2 (Käyttämällä ketjusääntöä, koska tunnemme cos käänteisen x:n differentiaalisen)

Annettu, ja = cos ⁻¹(−2 x ²)

Erottelevat molemmat puolet wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Esimerkki 5: Erottele egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Ratkaisut:

Antaa,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Erottelevat molemmat puolet wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Käänteiset trigin johdannaiskysymykset

Kokeile seuraavia kysymyksiä Inverse Trig -johdannaiskysymyksistä

Q1: Erota synti ^-1 (3x-4x ³ ) x ϵ -1/2