Akuutti, tylppä, tasakylkinen, tasakylkinen… Mitä tulee kolmioihin, on olemassa monia erilaisia ​​lajikkeita, mutta vain harvat ovat 'erityisiä'. Näillä erikoiskolmioilla on sivut ja kulmat, jotka ovat johdonmukaisia ​​ja ennustettavissa, ja niitä voidaan käyttää oikotietä geometria- tai trigonometriaongelmien läpi. Ja 30-60-90 kolmio - lausutaan 'thirty sixty ninety' - sattuu olemaan todella erityinen kolmiotyyppi.

Tässä oppaassa opastamme sinut läpi, mitä 30-60-90 kolmio on, miksi se toimii ja milloin (ja miten) sinun tulee käyttää tietosi siitä. Joten mennään asiaan!

Mikä on 30-60-90 kolmio?

30-60-90 kolmio on erityinen suorakulmainen kolmio (suora kolmio on mikä tahansa kolmio, joka sisältää 90 asteen kulman), jonka astekulmat ovat aina 30 astetta, 60 astetta ja 90 astetta. Koska se on erityinen kolmio, sillä on myös sivun pituusarvot, jotka ovat aina johdonmukaisessa suhteessa toisiinsa.

Kolmion perussuhde 30-60-90 on:

30° kulman vastainen puoli: $x$

60° kulman vastainen puoli: $x * √3$

90° kulman vastainen puoli: x$

Esimerkiksi 30-60-90 asteen kolmion sivujen pituus voi olla:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

merkkijonojen vaihto c

(Miksi pidempi jalka on 3? Tässä kolmiossa lyhin haara ($x$) on $√3$, joten pidemmälle haaralle $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Ja hypotenuusa on 2 kertaa lyhin jalka eli √3$)

Ja niin edelleen.

30° kulman vastainen puoli on aina pienin , koska 30 astetta on pienin kulma. 60° kulmaa vastapäätä oleva sivu on keskipituus , koska 60 astetta on tämän kolmion keskikokoinen astekulma. Ja lopuksi, 90° kulman vastainen sivu on aina suurin sivu (hypotenuusa) koska 90 astetta on suurin kulma.

Vaikka se saattaa näyttää samanlaiselta kuin muun tyyppiset suorakulmaiset kolmiot, syy 30-60-90 kolmioon on niin erityinen, että tarvitset vain kolme tietoa löytääksesi kaikki muut mittaukset. Niin kauan kuin tiedät kahden kulmamitan arvon ja yhden sivun pituuden (ei väliä kumpi puoli), tiedät kaiken, mitä sinun tulee tietää kolmiostasi.

Voimme esimerkiksi käyttää kolmiokaavaa 30-60-90 täyttääksemme kaikki jäljelle jäävät tiedot alla olevista kolmioista.

Esimerkki 1

Voimme nähdä, että tämä on suorakulmainen kolmio, jossa hypotenuusa on kaksi kertaa yhden jalan pituus. Tämä tarkoittaa, että tämän on oltava 30-60-90 kolmio ja pienempi annettu sivu on vastapäätä 30°.

Pidemmän jalan tulee siksi olla 60° kulmaa vastapäätä ja mitata * √3$ tai √3$.

Esimerkki 2

bourne taas shell

Voimme nähdä, että tämän täytyy olla 30-60-90 kolmio, koska voimme nähdä, että tämä on suorakulmainen kolmio, jolla on yksi mitta, 30°. Merkitsemättömän kulman on tällöin oltava 60°.

Koska 18 on 60° kulman vastakkainen mitta, sen on oltava yhtä suuri kuin $x√3$. Lyhimmän jalan on tällöin oltava /√3$.

(Huomaa, että jalan pituus on itse asiassa /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, koska nimittäjä ei voi sisältää radikaalia/neliöjuurta).

Ja hypotenuusa on (18/√3)$

(Huomaa, että nimittäjässä ei voi olla radikaalia, joten lopullinen vastaus on todellakin kaksinkertainen jalan pituus √3$ => √3$).

Esimerkki 3

Jälleen kerran meille annetaan kaksi kulmamittausta (90° ja 60°), joten kolmas mitta on 30°. Koska tämä on 30-60-90 kolmio ja hypotenuusa on 30, lyhin haara on 15 ja pidempi haara on 15√3.

Sinun ei tarvitse neuvotella taikakahdeksaan pallon kanssa – nämä säännöt toimivat aina.

Miksi se toimii: 30-60-90 kolmiolauseen todiste

Mutta miksi tämä erityinen kolmio toimii niin kuin se toimii? Mistä tiedämme, että nämä säännöt ovat laillisia? Käydään läpi, miten kolmiolause 30-60-90 toimii ja todistetaan, miksi nämä sivupituudet ovat aina yhdenmukaisia.

Ensin unohdetaan hetkeksi suorakulmaiset kolmiot ja katsotaan a tasasivuinen kolmio.

Tasasivuinen kolmio on kolmio, jonka kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Koska kolmion sisäkulmat laskevat aina yhteen 180° ja 0/3 = 60$, Tasasivuisella kolmiolla on aina kolme 60° kulmaa.

Pudotetaan nyt korkeus alas ylimmästä kulmasta kolmion pohjaan.

Meillä on nyt loi kaksi suoraa kulmaa ja kaksi yhteneväistä (saa) kolmiota.

Mistä tiedämme, että ne ovat samankokoisia kolmioita? Koska pudotimme korkeuden a tasasivuinen kolmio, olemme jakaneet pohjan tarkalleen puoliksi. Uusilla kolmioilla on myös yksi sivun pituus (korkeus), ja niillä jokaisella on sama hypotenuusan pituus. Koska niillä on kolme yhteistä sivupituutta (SSS), tämä tarkoittaa kolmiot ovat yhteneväisiä.

Huomaa: nämä kaksi kolmiota eivät ole yhteneväisiä vain sivun sivun sivun pituuden eli SSS:n periaatteiden perusteella, vaan ne perustuvat myös sivukulman sivumittauksiin (SAS), kulma-kulma-sivu (AAS) ja kulma- sivukulma (ASA). Pohjimmiltaan? Ne ovat ehdottomasti yhteneväisiä.

Nyt kun olemme todistaneet kahden uuden kolmion yhteensopivuuden, voimme nähdä, että kunkin yläkulman on oltava yhtä suuri kuin 30 astetta (koska jokaisessa kolmiossa on jo kulmat 90° ja 60°, ja niiden on laskettava yhteen 180°). Tämä tarkoittaa olemme tehneet kaksi 30-60-90 kolmiota.

Ja koska tiedämme, että leikkasimme tasasivuisen kolmion kannan kahtia, voimme nähdä, että jokaisen 30-60-90 kolmion 30° kulman vastainen sivu (lyhyin sivu) on täsmälleen puolet hypotenuusan pituudesta. .

Kutsukaamme siis alkuperäisen sivun pituudeksi $x$ ja jaetuksi pituudeksi $x/2$.

kuinka käyttää mysql-työpöytää

Nyt meidän ei tarvitse tehdä muuta kuin löytää keskisivumme pituus, joka on molemmilla kolmioilla yhteinen. Tätä varten voimme yksinkertaisesti käyttää Pythagoraan lausetta.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Jäljelle jää siis: $x/2, {x√3}/2, x$

Kerrotaan nyt jokainen mitta kahdella, jotta elämä olisi helpompaa ja murtolukujen välttäminen. Näin meille jää:

$x$, $x√3$, x$

Voimme siis nähdä, että 30-60-90 kolmio toimii aina on tasaiset sivupituudet $x$, $x√3$ ja x$ (tai $x/2$, ${√3x}/2$ ja $x$).

Onneksi voimme todistaa 30-60-90 kolmiosäännön todeksi ilman kaikkea...tätä.

Milloin käyttää 30-60-90 kolmiosääntöjä

Kolmion 30-60-90 sääntöjen tunteminen voi säästää aikaa ja energiaa monissa erilaisissa matemaattisissa tehtävissä, nimittäin monenlaisissa geometria- ja trigonometriatehtävissä.

Geometria

30-60-90 kolmioiden asianmukainen ymmärtäminen antaa sinun ratkaista geometriakysymyksiä, joita joko olisi mahdotonta ratkaista ilman näiden suhdesääntöjen tuntemista, tai ainakin 'pitkän tien' ratkaiseminen vaatisi huomattavasti aikaa ja vaivaa.

Erityisillä kolmiosuhteilla voit selvittää puuttuvien kolmion korkeuksien tai jalkojen pituudet (ilman Pythagoran lausetta), löytää kolmion pinta-alan puuttuvien korkeus- tai kantapituustietojen avulla ja laskea nopeasti kehät.

Aina kun tarvitset nopeutta vastataksesi kysymykseen, pikanäppäimet, kuten 30-60-90-säännöt, ovat hyödyllisiä.

Trigonometria

Kolmiosuhteen 30-60-90 muistaminen ja ymmärtäminen mahdollistaa myös monien trigonometristen ongelmien ratkaisemisen ilman, että tarvitset laskinta tai sinun tarvitsee arvioida vastauksiasi desimaalimuodossa.

30-60-90 kolmiossa on melko yksinkertaiset sinit, kosinit ja tangentit kullekin kulmille (ja nämä mittaukset ovat aina johdonmukaisia).

30°:n sini on aina /2$.

60°:n kosini on aina /2$.

vb ja vb net

Vaikka muut sinit, kosinit ja tangentit ovat melko yksinkertaisia, nämä kaksi on helpoimmin muistaa ja jotka todennäköisesti näkyvät testeissä. Joten näiden sääntöjen tunteminen antaa sinun löytää nämä trigonometriset mittaukset mahdollisimman nopeasti.

Vinkkejä 30-60-90-sääntöjen muistamiseen

Tiedät, että nämä 30-60-90 suhdesäännöt ovat hyödyllisiä, mutta kuinka pidät tiedot päässäsi? Kolmion 30-60-90 sääntöjen muistaminen edellyttää, että muistaa suhde 1: √3 : 2 ja tietää, että lyhin sivun pituus on aina lyhimmän kulman (30°) vastapäätä ja pisin sivun pituus on aina vastapäätä suurin kulma (90°).

Jotkut ihmiset muistavat suhteen ulkoa ajattelemalla: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' koska '1, 2, 3' peräkkäisyys on yleensä helppo muistaa. Ainoa varotoimenpide tämän tekniikan käytössä on muistaa, että pisin sivu on itse asiassa x$, ei $x$ kertaa $√3$.

Toinen tapa muistaa suhteesi on käytä muistomerkkiä 1: juuri 3: 2 -suhteella oikeassa järjestyksessä. Esimerkiksi 'Jackie Mitchell hylkäsi Lou Gehrigin ja 'voitti myös Ruthyn': yksi, juuri kolme, kaksi. (Ja se on todellinen baseball-historian tosiasia!)

Pelaa omilla muistivälineilläsi, jos ne eivät miellytä sinua – laula suhde kappaleeseen, etsi omat 'yksi, juurta kolme, kaksi' -lauseet tai keksi suhderuno. Voit jopa vain muistaa, että 30-60-90 kolmio on puolikas tasasivuinen ja selvittää mitat sieltä, jos et pidä niiden muistamisesta.

On kuitenkin järkevää muistaa nämä 30-60-90 säännöt ja pitää ne suhteet mielessäsi tulevia geometria- ja trigonometriakysymyksiä varten.

python-tulostus 2 desimaalin tarkkuudella

Ulkoa muistaminen on ystäväsi, mutta voit tehdä sen kuitenkin.

Esimerkki 30-60-90 Kysymyksiä

Nyt kun olemme tarkastelleet 30-60-90 kolmioiden miten ja miksi, käydään läpi joitakin harjoitusongelmia.

Geometria

Rakennustyöntekijä nojaa 40 jalan tikkaat rakennuksen sivua vasten 30 asteen kulmassa maasta. Maa on tasainen ja rakennuksen sivu on kohtisuorassa maahan. Kuinka pitkälle rakennuksesta tikkaat yltävät, lähimpään jalkaan?

Tuntematta erityisiä kolmiosääntöjämme 30-60-90, meidän pitäisi käyttää trigonometriaa ja laskinta löytääksemme ratkaisun tähän ongelmaan, koska meillä on vain yksi kolmion sivumitta. Mutta koska tiedämme, että tämä on a erityistä kolmio, löydämme vastauksen muutamassa sekunnissa.

Jos rakennus ja maaperä ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, rakennus ja maa muodostavat suoran (90°) kulman. On myös itsestään selvää, että tikkaat kohtaavat maan 30° kulmassa. Voimme siis nähdä, että jäljellä olevan kulman on oltava 60°, mikä tekee tästä kolmion 30-60-90.

Nyt tiedämme, että tämän 30-60-90:n hypotenuusa (pisin sivu) on 40 jalkaa, mikä tarkoittaa, että lyhin sivu on puolet pituudesta. (Muista, että pisin sivu on aina kaksi kertaa – x$ – yhtä pitkä kuin lyhin sivu.) Koska lyhin sivu on vastapäätä 30°:n kulmaa ja tämä kulma on tikkaiden astemitta maasta, se tarkoittaa, että tikkaiden yläosa osuu rakennukseen 20 jalkaa maasta.

Lopullinen vastauksemme on 20 jalkaa.

Trigonometria

Jos suorakulmaisessa kolmiossa sin Θ = /2$ ja lyhyin haaran pituus on 8. Mikä on sen puuttuvan sivun pituus, joka EI OLE hypotenuusa?

Koska tiedät 30-60-90 sääntösi, voit ratkaista tämän ongelman ilman pythagoraan lausetta tai laskinta.

Meille kerrottiin, että tämä on suorakulmainen kolmio, ja tiedämme erityisistä suorakulmaisista kolmioistamme, että sini 30° = /2$. Puuttuvan kulman on siis oltava 60 astetta, mikä tekee tästä kolmiosta 30-60-90.

Ja koska tämä on 30-60-90 kolmio, ja meille kerrottiin, että lyhin sivu on 8, hypotenuusan on oltava 16 ja puuttuvan puolen on oltava * √3 $ tai $ 8√3 $.

Lopullinen vastauksemme on 8√3.

Take-awayt

Muistaen 30-60-90 kolmioiden säännöt auttavat sinua selviytymään useista matemaattisista tehtävistä . Muista kuitenkin, että vaikka näiden sääntöjen tietäminen on kätevä työkalu vyössäsi, voit silti ratkaista useimmat ongelmat ilman niitä.

Seuraa $x$, $x√3$, x$ ja 30-60-90 sääntöjä millä tahansa tavalla, joka on sinulle järkevää ja yritä pitää ne oikeina, jos voit, mutta älä panikoi, jos ajattelet tyhjenee, kun on crunch-aika. Joka tapauksessa, sinulla on tämä.

Ja jos tarvitset lisää harjoittelua, mene eteenpäin ja tarkista tämä 30-60-90 kolmiovisa . Onnea kokeeseen!