Ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat skalaari- ja vektorisuureita, jotka liittyvät Matriisi käytetään lineaariseen muunnokseen. Vektoria, joka ei muutu muunnoksen jälkeen, kutsutaan ominaisvektoriksi ja ominaisvektoriin liitettyä skalaariarvoa kutsutaan Ominaisarvot . Ominaisvektorit ovat vektoreita, jotka liittyvät lineaaristen yhtälöiden joukkoon. Matriisissa ominaisvektoreita kutsutaan myös ominaisvektoreiksi, ja voimme löytää vain neliömatriisien ominaisvektorin. Ominaisvektorit ovat erittäin hyödyllisiä erilaisten matriisien ja differentiaaliyhtälöiden ongelmien ratkaisemisessa.

Tässä artikkelissa opimme ominaisarvoista, matriisien ominaisvektoreista ja muista esimerkkien avulla.

Sisällysluettelo

• Mitä ominaisarvot ovat?
• Mitä ovat ominaisvektorit?
• Omavektoriyhtälö
• Mitä ovat ominaisarvot ja ominaisvektorit?
• Kuinka löytää ominaisvektori?
• Omavektorityypit
• Oikea ominaisvektori
• Vasen ominaisvektori
• Neliomatriisin ominaisvektorit
• 2 × 2 -matriisin ominaisvektori
• 3 × 3 -matriisin ominaisvektori
• Eigenspace
• Eigen-arvojen sovellukset
• Diagonalisoi matriisi ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden avulla
• Ratkaistiin esimerkkejä ominaisvektoreista
• Usein kysyttyä ominaisvektoreista

Mitä ominaisarvot ovat?

Ominaisarvot ovat skalaariarvoja, jotka liittyvät ominaisvektoreihin lineaarisessa muunnoksessa. Sana 'Eigen' on saksalaista alkuperää, mikä tarkoittaa 'ominaista'. Näin ollen nämä ovat ominaisarvot, jotka osoittavat tekijän, jolla ominaisvektorit venytetään niiden suuntaan. Se ei sisällä muutosta vektorin suunnassa paitsi silloin, kun ominaisarvo on negatiivinen. Kun ominaisarvo on negatiivinen, suunta on vain päinvastainen. Ominaisarvon yhtälö on annettu kaavalla

Pois = λv

Missä,

• A on matriisi,
• v on liittyvä ominaisvektori ja
• λ on skalaarinen ominaisarvo.

Mitä ovat ominaisvektorit?

Neliömatriisien ominaisvektorit määritellään nollasta poikkeaviksi vektoriarvoiksi, jotka neliömatriiseilla kerrottuna antavat vektorin skaalauskerran, eli määritämme matriisille A ominaisvektorin olevan v, jos se määrittää ehdon, Pois = λv

Skaalauskerrosta λ yllä olevassa tapauksessa kutsutaan neliömatriisin ominaisarvoksi. Meidän on aina ensin löydettävä neliömatriisin ominaisarvot ennen kuin löydämme matriisin ominaisvektorit.

Minkä tahansa neliömatriisin A, kertalukua n × n, ominaisvektori on sarakematriisi, jonka kertaluku on n × 1. Jos löydämme matriisin A ominaisvektorin, Av = λv, tässä v:tä kutsutaan matriisin A oikeaksi ominaisvektoriksi. ja kerrotaan aina oikealle, koska matriisikertominen ei ole luonteeltaan kommutatiivista. Yleensä kun löydämme ominaisvektorin, se on aina oikea ominaisvektori.

Voimme myös löytää neliömatriisin A vasemman ominaisvektorin käyttämällä relaatiota, vA = vl

Tässä v on vasen ominaisvektori ja kerrotaan aina vasemmalle puolelle. Jos matriisi A on kertalukua n × n, niin v on sarakematriisi, jonka kertaluku on 1 × n.

Omavektoriyhtälö

Ominaisuusvektoriyhtälö on yhtälö, jota käytetään minkä tahansa neliömatriisin ominaisvektorin löytämiseen. Omavektoriyhtälö on,

Pois = λv

Missä,

• A on annettu neliömatriisi,
• sisään on matriisin A ominaisvektori ja
• l on mikä tahansa skaalausmonikerta.

Mitä ovat ominaisarvot ja ominaisvektorit?

Jos A on a neliömatriisi luokkaa n × n, voimme helposti löytää neliömatriisin ominaisvektorin noudattamalla alla kuvattua menetelmää,

Tiedämme, että ominaisvektori annetaan yhtälöllä Av = λv, identiteettimatriisiin, joka on sama kuin A:n kertaluku, eli n × n, käytämme seuraavaa yhtälöä,

(A-λI)v = 0

Ratkaisemalla yllä olevan yhtälön saamme erilaisia ​​λ:n arvoja λ:na₁, l₂, ..., l_nnäitä arvoja kutsutaan ominaisarvoiksi ja saamme jokaiseen ominaisarvoon liittyvät yksittäiset ominaisvektorit.

Yksinkertaistamalla yllä olevaa yhtälöä saadaan v, joka on kertalukua n × 1 oleva sarakematriisi ja v kirjoitetaan seuraavasti:

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Kuinka löytää ominaisvektori?

Seuraavan neliömatriisin ominaisvektori voidaan laskea helposti alla olevien vaiheiden avulla,

Vaihe 1: Etsi matriisin A ominaisarvot yhtälöllä det |(A – λI| =0, missä I on matriisin A kaltainen identiteettimatriisi

Vaihe 2: Vaiheessa 2 saadut arvot nimetään nimellä λ₁, l₂, l₃….

Vaihe 3: Etsi ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori (X).₁käyttämällä yhtälöä, (A – λ₁I) X = 0

Vaihe 4: Toista vaihe 3 löytääksesi muihin jäljellä oleviin ominaisarvoihin λ liittyvä ominaisvektori₂, l₃….

Näiden vaiheiden jälkeen saadaan annettuun neliömatriisiin liittyvä ominaisvektori.

Omavektorityypit

Neliömatriisille lasketut ominaisvektorit ovat kahdenlaisia, jotka ovat

• Oikea ominaisvektori
• Vasen ominaisvektori

Oikea ominaisvektori

Ominaisvektoria, joka kerrotaan annetulla neliömatriisilla oikealta puolelta, kutsutaan oikeaksi ominaisvektoriksi. Se lasketaan käyttämällä seuraavaa yhtälöä,

OF _R = λV _R

Missä,

• A on annettu neliömatriisi kertaluvun n × n,
• l on yksi ominaisarvoista, ja
• SISÄÄN _R on sarakevektorimatriisi

V:n arvo_ROn,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Vasen ominaisvektori

Ominaisvektoria, joka kerrotaan annetulla neliömatriisilla vasemmalta puolelta, kutsutaan vasemmaksi ominaisvektoriksi. Se lasketaan käyttämällä seuraavaa yhtälöä,

SISÄÄN _L A = V _L l

Missä,

• A on annettu neliömatriisi kertaluvun n × n,
• l on yksi ominaisarvoista, ja
• SISÄÄN _L on rivivektorimatriisi.

V:n arvo_LOn,

SISÄÄN _L = [v ₁ , sisään ₂ , sisään ₃ ,…, sisään _n ]

Neliomatriisin ominaisvektorit

Voimme helposti löytää kertaluvun n × n neliömatriisien ominaisvektorin. Etsitään nyt seuraavat neliömatriisit:

• 2 × 2 -matriisin ominaisvektorit
• 3 × 3 -matriisin ominaisvektorit.

2 × 2 -matriisin ominaisvektori

2 × 2 -matriisin ominaisvektori voidaan laskea käyttämällä yllä mainittuja vaiheita. Esimerkki samasta on,

Esimerkki: Etsi matriisin A = ominaisarvot ja ominaisvektori egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Jos ominaisarvot esitetään λ:lla ja ominaisvektori esitetään muodossa v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Sitten ominaisvektori lasketaan käyttämällä yhtälöä,

|A-λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

dynaaminen taulukko javassa

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 ja λ = -1

Siten ominaisarvot ovat 6 ja -1. Silloin vastaavat ominaisvektorit ovat

Jos λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Yksinkertaistamalla yllä olevaa yhtälöä saamme,

5a = 2b

Vaadittu ominaisvektori on,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Kun λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

yksinkertaistamalla yllä olevaa yhtälöä saamme,

a = -b

Vaadittu ominaisvektori on,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Tällöin annetun 2 × 2 matriisin ominaisvektorit ovategin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Nämä ovat kaksi mahdollista ominaisvektoria, mutta monia näiden ominaisvektorien vastaavista kerrannaisista voidaan pitää myös muina mahdollisina ominaisvektoreina.

3 × 3 -matriisin ominaisvektori

3 × 3 -matriisin ominaisvektori voidaan laskea käyttämällä yllä mainittuja vaiheita. Esimerkki samasta on,

Esimerkki: Etsi matriisin A = ominaisarvot ja ominaisvektori egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Jos ominaisarvot esitetään λ:lla ja ominaisvektori esitetään muodossa v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Sitten ominaisvektori lasketaan käyttämällä yhtälöä,

|A-λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Yksinkertaistamalla yllä olevaa determinanttia saamme

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Jos λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Yksinkertaistamalla yllä olevaa yhtälöä saamme

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Olkoon b = k₁ja c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Siten ominaisvektori on

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

ottaen k₁= 1 ja k₂= 0

ominaisvektori on,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

ottaen k₁= 0 ja k₂= 1

ominaisvektori on,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Jos λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Yksinkertaistamalla yllä olevaa yhtälöä saamme,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Olkoon b = k₁ja c = k₂, ja ottaen k₁= k₂= 1,

saamme,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Siten ominaisvektori on

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenspace

Määritämme matriisin ominaisavaruuden matriisin kaikkien ominaisvektorien joukoksi. Kaikki ominaisavaruuden vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia toisistaan.

Löytääksemme matriisin ominaisavaruuden meidän on noudatettava seuraavia vaiheita

Vaihe 1: Etsi kaikki annetun neliömatriisin ominaisarvot.

Vaihe 2: Etsi jokaiselle ominaisarvolle vastaava ominaisvektori.

Vaihe 3: Otetaan kaikkien ominaisvektorien joukko (sanotaan A). Näin muodostettua tuloksena olevaa joukkoa kutsutaan seuraavan vektorin ominaisavaruudeksi.

Yllä olevasta esimerkistä annetusta 3 × 3 matriisista A näin muodostettu ominaisavaruus on{egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Eigen-arvojen sovellukset

Joitakin ominaisarvojen yleisiä sovelluksia ovat:

Lineaarialgebra

Diagonalisointi: Ominaisarvoja käytetään diagonalisoimaan matriiseja, mikä yksinkertaistaa laskelmia ja ratkaisee lineaarisia järjestelmiä tehokkaammin.

Matriisin eksponentio: Ominaisarvoilla on ratkaiseva rooli matriisin eksponentioinnin laskemisessa.

Kvanttimekaniikka

Schrödingerin yhtälö: Hamiltonin operaattorin ominaisarvot vastaavat kvanttijärjestelmien energiatasoja ja tarjoavat tietoa mahdollisista tiloista.

Tärinä ja rakenneanalyysi:

Mekaaniset värähtelyt: Ominaisarvot edustavat värähtelyjärjestelmien luonnollisia taajuuksia. Rakenneanalyysissä ne auttavat ymmärtämään rakenteiden vakautta ja käyttäytymistä.

Tilastot

Kovarianssimatriisi: Monimuuttujatilastoissa ominaisarvoja käytetään kovarianssimatriisien analyysissä, mikä antaa tietoa tietojen leviämisestä ja suuntautumisesta.

Tietokonegrafiikka

Pääkomponenttianalyysi (PCA): PCA:ssa ominaisarvoja käytetään tietojoukon pääkomponenttien löytämiseen, mikä vähentää ulottuvuutta ja säilyttää olennaiset tiedot.

Ohjausjärjestelmät

Järjestelmän vakaus: Järjestelmämatriisin ominaisarvot ovat kriittisiä määritettäessä ohjausjärjestelmän vakautta. Vakausanalyysi auttaa varmistamaan, että järjestelmän vastaus on rajallinen.

Diagonalisoi matriisi ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden avulla

Ominaisarvoja ja ominaisvektoreita käytetään diagonaalimatriisien etsimiseen. A diagonaalinen matriisi on matriisi, joka voidaan kirjoittaa

A = XDX ^-1

Missä,

• D on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla identiteettimatriisin ykköset ominaisarvoilla, ja
• X on ominaisvektorien muodostama matriisi.

Voimme ymmärtää diagonaalimatriisin käsitteen ottamalla seuraavan esimerkin.

Esimerkki: Diagonalisoi matriisi A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Olemme jo ratkaisseet A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

A:n ominaisarvot ovat λ = 0, λ = 0 ja λ = -8

A:n ominaisvektorit ovategin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Täten,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Voimme helposti löytää X:n käänteisarvon,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Lue lisää,

npm-välimuistin tyhjennys

• Perusoperaatio matriiseilla
• Identiteettimatriisi
• Matriisin käänteinen

Ratkaistiin esimerkkejä ominaisvektoreista

Esimerkki 1: Etsi matriisin A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix} ominaisvektorit

Ratkaisu:

Matriisin ominaisarvot löydetään käyttämällä

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1-l)³= 0

Siten ominaisarvot ovat

λ = 1, 1, 1

Koska kaikki ominaisarvot ovat yhtä suuret, meillä on kolme identtistä ominaisvektoria. Löydämme ominaisvektorit arvolle λ = 1 käyttämällä (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

ratkaisemalla yllä olevan yhtälön saamme,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Sitten ominaisvektori on

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Esimerkki 2: Etsi matriisin A = ominaisvektorit egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Matriisin ominaisarvot löydetään käyttämällä

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Siten ominaisarvot ovat

λ = 5,5

Koska kaikki ominaisarvot ovat yhtä suuret, meillä on kolme identtistä ominaisvektoria. Löydämme ominaisvektorit arvolle λ = 1 käyttämällä

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Yksinkertaisesti yllä olevasta saamme,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Sitten ominaisvektori on

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Usein kysyttyä ominaisvektoreista

Mitä ovat ominaisvektorit?

Määritämme minkä tahansa matriisin ominaisvektorin vektoriksi, joka matriisilla kertomalla saa aikaan matriisin skaalauskerran.

Kuinka löytää ominaisvektorit?

Minkä tahansa matriisin A ominaisvektoria merkitään sisään . Matriisin ominaisvektori lasketaan etsimällä ensin matriisin ominaisarvo.

• Matriisin ominaisarvo löydetään kaavalla |A-λI| = 0 missä λ antaa ominaisarvot.
• Ominaisuuden löytämisen jälkeen löysimme ominaisvektorin kaavalla Av = λv, missä v antaa ominaisvektorin.

Mitä eroa ominaisarvon ja ominaisvektorin välillä on?

Minkä tahansa neliömatriisin A ominaisarvot esitetään λ:lla ja se lasketaan kaavalla |A – λI| = 0. Ominaisuusarvon löytämisen jälkeen löydämme ominaisvektorin kaavalla, Av = λv.

Mikä on diagonalisoitava matriisi?

Mikä tahansa matriisi, joka voidaan ilmaista kolmen matriisin tulona XDX:nä^-1on diagonalisoitava matriisi, jossa D:tä kutsutaan diagonaalimatriisiksi.

Ovatko ominaisarvot ja ominaisvektorit samat?

Ei, ominaisarvot ja ominaisvektorit eivät ole samoja. Ominaisarvot ovat skaalaus, jota käytetään ominaisvektorien löytämiseen, kun taas ominaisvektorit ovat vektoreita, joita käytetään matriisivektorimuunnosten löytämiseen.

Voiko ominaisvektori olla nollavektori?

Meidän ominaisarvot voivat olla nolla, mutta ominaisvektori ei voi koskaan olla nollavektori.

Mikä on ominaisvektorikaava?

Minkä tahansa matriisin ominaisvektori lasketaan kaavalla,

Pois = λv

missä,
l on ominaisarvo
sisään on ominaisvektori