Hiljattain uudelleen suunnitellun 2016 SAT:n matematiikan osion sisältö on jaettu neljään luokkaan College Boardin toimesta: Algebran sydän, Ongelmanratkaisu ja data-analyysi, Passport to Advanced Math ja Muut matematiikan aiheet. Algebran sydän muodostaa suurimman osan SAT-matematiikan osiosta (33 % testistä) , joten sinun on valmistauduttava siihen hyvin. Tässä viestissä keskustelen tämän kategorian sisällöstä ja kysymystyypeistä, käyn läpi käytännön ongelmia ja annan vinkkejä näiden kysymysten ratkaisemiseen.

Algebran sydän: Yleiskatsaus

Sisältö katettu

Aivan kuten nimi viittaa, Heart of Algebra kattaa algebran sisällön, mutta mikä algebran sisältö erityisesti? Nämä kysymykset kattavat:

• Lineaariset yhtälöt
• Yhtälöjärjestelmä
• Absoluuttinen arvo
• Lineaaristen yhtälöiden piirtäminen
• Lineaariset epätasa-arvot ja epätasa-arvojärjestelmät

Syvennyn jokaiseen näistä sisältöalueista alla. Selitän tarkalleen, mitä sinun on tiedettävä kullakin alueella, ja opastan sinut käytännön ongelmien läpi.

HUOMAUTUS: Kaikki tämän artikkelin käytännön ongelmat ovat peräisin a todellinen College Boardin SAT-harjoituskoe (Harjoituskoe nro 1).

Suosittelen, että et lue tätä artikkelia ennen kuin olet suorittanut harjoitustestin #1 (joten en spoilaa sitä puolestasi!). Jos et ole suorittanut harjoituskoetta 1, merkitse tämä artikkeli kirjanmerkkeihin ja palaa sen suorittamisen jälkeen. Jos olet jo suorittanut harjoitustestin #1, lue eteenpäin!

Algebran sydämen kysymysten erittely

Kuten mainitsin artikkelin alussa, Algebran sydän muodostaa 33 % matematiikan osiosta, mikä toimii 19 kysymystä. Osassa 3 (ei-laskimen matemaattinen koe) on kahdeksan ja osiossa 4 (laskimen matemaattinen koe) 11.

Heart of Algebran kysymykset vaihtelevat esityksen mukaan. Koska niitä on niin paljon, College Boardin piti sekoittaa, miten he kysyvät teiltä näitä kysymyksiä. Tulet näkemään monivalinta- ja ruudukkoalgebran sydänkysymykset. Voit yksinkertaisesti esitettävä yhtälö(t) ja tarve ratkaista tai saatat annetaan tosimaailman skenaario sanatehtävänä ja sinun on luotava yhtälö(t) vastauksen löytämiseksi.

SAT-matematiikan osiossa esitetään kysymykset vaikeusjärjestyksessä (määritetty sen mukaan, kuinka kauan keskimääräisellä oppilaalla kestää tehtävän ratkaiseminen ja kuinka monta prosenttia oppilaista vastaa kysymykseen oikein). Näet Heart of Algebran kysymyksiä koko osiossa : yksinkertaiset, 'helpot' näkyvät monivalinta- ja ruudukkokenttien alussa, kun taas haastavammat, jotka edellyttävät yhtälön tai yhtälöiden luomista ratkaistaviksi, tulevat näkyviin loppua kohti.

Annan esimerkkejä kustakin kysymyksestä (helppo ja vaikea), kun opimme jokaisesta sisältöalueesta seuraavassa osiossa.

Olemme matkalla algebran valloittamiseen!

Sisältöalueen erittelyt

Lineaariset yhtälöt

Lineaarisen yhtälön kysymykset voidaan esittää parilla tavalla. Helpommat lineaarisen yhtälön kysymykset pyytävät sinua ratkaisemaan sinulle annetun lineaarisen yhtälön. Vaikeammissa lineaarisen yhtälön kysymyksissä sinua pyydetään kirjoittamaan lineaarinen yhtälö kuvaamaan annettua tilannetta.

Ei laskurin käytännön ongelmia

Tämä kysymys on yksi yksinkertaisimmista, helpoimmista ja suorimmista Heart of Algebran kysymyksistä että tulet näkemään. Kysymys vain pyytää sinua ratkaisemaan lineaarisen yhtälön sijoittamatta sitä todelliseen tilanteeseen, joka vaatisi sinun ymmärtämään kontekstin ja yhtälön.

Vastauksen selitys:

Koska $k=3$, yhtälössä k voidaan korvata luvulla 3, jolloin saadaan ${x-1}/{3}=3$. Kun ${x-1}/{3}=3$ molemmat puolet kerrotaan kolmella, saadaan $x-1=9$, ja jos lisäät 1 kummallekin puolelle, tulos on $x=10$. D on oikea vastaus.

Kärki:

Jos kamppailit tämän kysymyksen kanssa, voit ratkaista sen myös liittämällä x:n vastausvaihtoehdot ja katsomalla, mikä niistä toimi. Kytkeminen toimii, mutta vie enemmän aikaa kuin pelkkä yhtälön ratkaiseminen.

Jos ratkaiset yhtälön löytääksesi x:n, voit tarkistaa vastauksesi uudelleen liittämällä sen sitten. Jos liität vastausvalintasi x:lle ja yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuret, tiedät, että sinulla on oikea vastaus!

Seuraava kysymys on hieman haastavampaa koska se pyytää sinua luomaan lineaarisen yhtälön edustamaan sen esittämää reaalimaailman skenaariota.

Vastauksen selitys:

On kaksi tapaa lähestyä tätä ongelmaa.

Lähestymistapa 1: Arman lähettämien viestien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin hänen tekstiviestien lähetysnopeus (m tekstiä/tunti) kerrottuna viidellä tekstiviestitunnilla: m tekstiä/tunti × 5 tuntia = 5 miljoonaa dollaria tekstiä. Vastaavasti Tyronen lähettämien viestien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin hänen tekstiviestien lähetysnopeus (p tekstiä/tunti) kerrottuna 4 tunnilla, jonka hän vietti tekstiviestien lähettämiseen: p tekstiä/tunti × 4 tuntia = $4p$ tekstiä. Arman ja Tyronen lähettämien viestien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin Armandin lähettämien viestien kokonaismäärä ja Tyronen lähettämien viestien kokonaismäärä: $5m+4p$. C on oikea vastaus.

Lähestymistapa 2: Valitse numerot ja liitä ne. Esimerkiksi aion poimia numeroita ja sanoa, että Armand lähettää 3 tekstiä tunnissa ja Tyrone 10 tekstiä tunnissa. Annettujen tietojen perusteella, jos Armand tekstittelee 5 tuntia, Armand lähetti (3 tekstiä tunnissa)(5 tuntia) tekstiä tai 15 tekstiä; jos Tyrone tekstiilee 4 tuntia, Tyrone lähetti (10 tekstiä tunnissa) (4 tuntia) tekstiä tai 40 tekstiä. Siksi Arman ja Tyronen lähettämien tekstien kokonaismäärä on $15+40=55$ tekstiä. Nyt liitän valitsemani numerot vastausvaihtoehtoihin ja katson vastaako tekstien määrä 55 tekstiä, joten vastauksessa C $5(3) +4(10)=15+40=55$ tekstiä. Siksi C on oikea vastaus. HUOMAA: tässä kysymyksessä tämä strategia oli hitaampi, mutta monimutkaisempiin kysymyksiin tämä voi olla nopeampi ja helpompi lähestymistapa.

Kärki:

Ota nämä ongelmat askel kerrallaan. Selvitä Armandin tekstiviestien kokonaismäärä, selvitä sitten Tyronen tekstiviestien kokonaismäärä ja yhdistä ne sitten yhdeksi lausekkeeksi. Älä kiirehdi hyppäämään lopulliseen vastaukseen. Saatat tehdä virheen matkan varrella.

Yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmän kysymykset esitetään samalla tavalla kuin lineaariset yhtälökysymykset; kuitenkin, ne ovat vaikeampia koska sinun on nyt suoritettava enemmän vaiheita ja/tai luotava toinen yhtälö.

The helpompi yhtälö kysymysjärjestelmä pyytää sinua ratkaisemaan yhden muuttujan, kun sinulle annetaan kaksi yhtälöä kahdella muuttujalla.

The vaikeampi yhtälö kysymys edellyttää, että kirjoitat yhtälöjärjestelmän edustamaan annettua tilannetta ja ratkaiset sitten yhden muuttujan luomillasi yhtälöillä.

Ei laskurin käytännön ongelmia

Tämä kysymys on kiistatta yksinkertaisin, helpoin ja yksinkertaisin yhtälö kysymysjärjestelmä että tulet näkemään. Se asettaa yhtälöt puolestasi ja pyytää sinua ratkaisemaan x:n.

Vastauksen selitys:

Kun kohteen $x+y=−9$ vasen ja oikea puoli vähennetään kohdan $x+2y =−25$ vastaavista puolista, saadaan $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , joka vastaa $y=−16$. Korvaamalla $−16$ $y$:ssa kohdassa $x+y=−9$ saadaan $x+(−16)=−9$, mikä vastaa $x=−9−(−16) =7$. Oikea vastaus on 7.

Kärki:

Liittäminen voi olla hyvä vaihtoehto, jos saat tämän kysymyksen monivalintavaihtoehdossa (mikä ei pidä paikkaansa tässä). Olisit kuitenkin voinut myös liittää vastauksesi tarkistaaksesi työsi!

Tässä on toinen melko suoraviivainen yhtälöjärjestelmä, mutta se on hieman vaikeampaa koska sinun on annettava vastaus sekä x:lle että y:lle (mikä luo enemmän virhemahdollisuuksia).

Vastauksen selitys:

Kun x ja 19 lisätään $2y−x=−19$ molemmille puolille, saadaan $x=2y+19$. Sitten kun x:n korvaaminen $2y+19$ arvolla $3x+4y=−23$, saadaan $3(2y + 19)+4y=−23$. Tämä viimeinen yhtälö vastaa $10y+57=−23$. Ratkaisemalla $10y+57=−23$ saadaan $y=−8$. Lopuksi y:n korvaaminen arvolla −8 kohdassa $2y−x=−19$ antaa $2(−8)−x=−19$ tai $x=3$. Siksi ratkaisu $(x, y)$ annetulle yhtälöjärjestelmälle on $(3, −8)$.

Kärki:

Kytkeminen verkkoon olisi myös ollut nopea tapa ratkaista tämä! Kun pyydetään ratkaisemaan molemmat muuttujat yhtälöjärjestelmän kysymyksessä, yritä aina kytkeä se!

Seuraava on a vähän vaikeampaa. Vaikka saat yhtälöt, sinun on silti määritettävä, mitä kysymys sinulta kysyy (mikä muuttuja sinun on ratkaistava), mikä on hieman haastavampaa, koska se kysyy kysymyksen tosielämän skenaarion avulla. Sinun on myös ratkaistava se käyttämällä mentaalista matematiikkaa (koska se on ei laskinta -osiossa).

Vastauksen selitys:

Määritä naudanlihan hinta kiloa kohden, kun se oli yhtä suuri kuin kanan kilohinta, määrittämällä x:n arvo (viikkojen määrä heinäkuun 1. päivän jälkeen), kun nämä kaksi hintaa olivat samat. Hinnat olivat samat, kun $b=c$; eli kun $2.35+0.25x=1.75+0.40x$. Tämä viimeinen yhtälö vastaa $0,60=0,15x$, joten $x={0.6}/{0.15}=4$. Sitten määritetään $b$, hinta per kilo naudanlihaa, korvaa $x$ 4:llä $b=2,35+0,25x$, mikä antaa $b=2,35+0,25(4) = 3,35$ dollaria per kilo. Siksi D on oikea vastaus.

Kärki:

Käytä aikaa jokaisen vaiheen läpikäymiseen. On helppo tehdä pieni virhe ja saada väärä vastaus.

Laskimen käytännön ongelma

Seuraava on yksi vaikeimmista Algebran sydänkysymyksistä. Kysymyksessä antamasi todellisen maailman skenaarion perusteella sinun on luotava kaksi yhtälöä ja ratkaistava ne.

Vastauksen selitys:

Määritä myytyjen salaattien määrä kirjoittamalla ja ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmä. Olkoon $x$ yhtä kuin myytyjen salaattien lukumäärä ja olkoon $y$ yhtä suuri kuin myytyjen juomien määrä. Koska salaattien määrä plus myytyjen juomien määrä on 209, yhtälön $x+y=209$ on oltava voimassa. Koska kukin salaatti maksoi 6,50, kukin sooda 2,00 ja kokonaistulot olivat 836,50, yhtälön $6,50x+2,00y=836,50 $ on myös oltava voimassa. Yhtälö $x+y=209$ vastaa $2x+2y=418$, ja kun arvon $2x+2y=418$ kumpikin puoli vähennetään $6.50x+2.00y=836.50$ vastaavasta puolelta, saadaan $4.5x=418.50 $. Siksi myytyjen salaattien määrä x oli $x={418.50}/{4.50}=93$. Siksi B on oikea vastaus.

Kärki:

Ota nämä ongelmat askel kerrallaan. Kirjoita yhtälö myytyjen salaattien ja juomien kokonaismäärälle, selvitä tulon yhtälö ja ratkaise sitten. Älä kiirehdi, tai saatat tehdä virheen.

Absoluuttinen arvo

Absoluuttista arvoa koskeva kysymys on yleensä vain yksi SAT-matematiikan osiossa. Kysymys on yleensä melko helppo ja suoraviivainen, mutta se edellyttää, että tunnet itseisarvon säännöt, jotta voit vastata siihen oikein.Kaikki mikä on absoluuttista arvoa, suluissa on absoluuttisen arvon merkit, jotka näyttävät tältä: || Esimerkiksi $|-4|$ tai $|x-1|$

Absoluuttinen arvo on etäisyyden esitys numeroviivaa pitkin eteenpäin tai taaksepäin.

Se tarkoittaa, että mikä tahansa on absoluuttisen arvon merkissä, tulee positiiviseksi koska se edustaa etäisyyttä pitkin lukuviivaa ja negatiivista etäisyyttä on mahdotonta olla. Esimerkiksi yllä olevalla numerorivillä -2 on 2:n päässä 0:sta. Mikä tahansa absoluuttisen arvon sisällä tulee positiiviseksi.

Tämä tarkoittaa myös sitä, että itseisarvoyhtälöllä on aina kaksi ratkaisua . Esimerkiksi $|x-1|=2$ on kaksi ratkaisua $x-1=2$ ja $x-1=-2$. Sitten ratkaiset jokaisen erillisen yhtälön löytääksesi kaksi ratkaisua, $x=3,-1$.

Kun työskentelet itseisarvoongelmien parissa, Muista, että sinun on luotava kaksi erillistä ratkaisua, positiivinen ja negatiivinen, kuten teimme edellä.

Laskimen käytännön ongelma

Vastauksen selitys:

Jos arvo $|n−1|+1$ on 0, niin $|n−1|+1=0$. Vähentämällä 1 tämän yhtälön molemmilta puolilta saadaan $|n−1|=−1$. Yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke $|n−1|$ on itseisarvo $n−1$, ja kuten juuri mainitsin, absoluuttinen arvo ei voi koskaan olla negatiivinen luku, koska se edustaa etäisyyttä. Siten $|n−1|=−1$ ei ole ratkaisua. Siksi n:lle ei ole olemassa arvoja, joille $|n−1|+1$ on yhtä suuri kuin 0. D on oikea vastaus.

Kärki:

Muista absoluuttisen arvon säännöt (se on aina positiivista!). Jos muistat säännöt, sinun pitäisi ymmärtää kysymys oikein!

Lineaaristen yhtälöiden piirtäminen

Nämä kysymykset testaavat kykyäsi lukea kaaviota ja tulkita se muotoon $y=mx+b$. Pikapäivitys, $y=mx+b$ on suoran kulmakerroinyhtälö, jossa m edustaa kulmakerrointa ja b y-leikkauskohtaa.

Näissä kysymyksissä sinulle esitetään tyypillisesti suoran kaavio, ja sinun on määritettävä, mikä on kulmakerroin ja y-leikkauspiste kirjoittaaksesi suoran yhtälön.

Laskimen käytännön ongelma

Vastauksen selitys:

H:n ja C:n välinen suhde esitetään millä tahansa annetun suoran yhtälöllä. Suoran C-leikkauspiste on 5. Koska pisteet $(0, 5)$ ja $(1, 8)$ ovat viivalla, suoran kaltevuus on ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3 dollaria. Siksi h:n ja C:n välinen suhde voidaan esittää $C=3h+5$, suoran kaltevuusleikkausyhtälöllä. C on oikea vastaus.

Kärki:

Muista kaltevuuden leikkausmuoto ($y=mx+b$) ja kaltevuusyhtälö $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Tiedä, mitä kukin yhtälöiden muuttuja tarkoittaa. Jos tiedät kaiken tämän, sinun pitäisi pystyä ratkaisemaan kaikki sinulle antamasi graafisen lineaarisen yhtälön ongelmat.

Lineaariset epäyhtälöt ja lineaariset epäyhtälöt

Nämä ovat luultavasti haastavimmat Heart of Algebran kysymykset koska monet opiskelijat kamppailevat, kun muuttujat yhdistetään epätasa-arvoon. Jos tarvitset nopeaa mutta perusteellista päivitystä eriarvoisuudesta, tutustu eriarvoisuusoppaaseemme.

Nämä kysymykset näkyvät yleensä monivalinta- ja ruudukko-osion lopussa. Nämä kysymykset esitetään yksinkertaisina jo asetettuina epätasa-arvoina (sinua ei pyydetä luomaan epätasa-arvoa, eikä sinulle esitetä todellisen maailman skenaariota eriarvoisuutta käyttävinä). Vaikka kysymykset esitetään suoraviivaisesti, ne ovat haastavia ja virheitä on helppo tehdä, joten ota aikaa!

Laskimen käytännön ongelmat

Vastauksen selitys:

Vähentämällä $3x$ ja lisäämällä 3 kohdan $3x−5≥4x−3$ molemmille puolille saadaan $−2≥x$. Siksi x on ratkaisu kysymykselle $3x−5≥4x−3$ silloin ja vain, jos x on pienempi tai yhtä suuri kuin −2 ja x EI ole ratkaisu kysymykseen $3x−5≥4x−3$, jos ja vain jos x on suurempi kuin -2. Annetuista vaihtoehdoista vain −1 on suurempi kuin −2, joten se ei voi olla x:n arvo. A on oikea vastaus.

Voit myös yrittää vastata tähän liittämällä vastausvaihtoehdot ja katsomalla, mikä ei toiminut. Jos liität A:n epäyhtälöön, saat $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Yksinkertaistamalla epäyhtälöä saat -8≥-7, mikä ei ole totta, joten A on oikea vastaus.

Kärki

Muista eriarvoisuuden säännöt! Käytä aikaa jokaisen vaiheen läpikäymiseen, jotta et tee virheitä. Muista myös yrittää kytkeä vastausvaihtoehdot löytääksesi oikean vastauksen!

Katsotaanpa toista esimerkkiä.

Vastauksen selitys:

Koska (0, 0) on ratkaisu epäyhtälöllisyysjärjestelmään, korvaamalla 0 x:n ja 0:n y annetussa järjestelmässä täytyy saada kaksi todellista epäyhtälöä. Tämän vaihdon jälkeen y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Siksi a on positiivinen ja b on negatiivinen. Siksi a > b. Valinta A on oikea.

Kärki:

Käsittele tätä neljän muuttujan epätasa-arvojärjestelmää samalla tavalla kuin käsittelet kahden muuttujan epäyhtälöjärjestelmää. Muista, että jos (0,0) on ratkaisu, se tarkoittaa, että kun x=0, y=0.

4 keskeistä strategiaa Heart of Algebralle

Olen välittänyt strategioita näiden kysymysten torjumiseksi tämän artikkelin 'vinkki'-osiin, mutta teen niistä nyt yhteenvedon.

Strategia #1: Muista säännöt ja kaava

Sinun on tiedettävä epäyhtälöiden säännöt , itseisarvon säännöt ja suoran leikkauskulman kaava ($y=mx+b$), jotta voit vastata oikein tämäntyyppisiin algebran kysymyksiin. Ilman sääntöjä ja kaavaa nämä kysymykset ovat melko mahdottomia.

Jos tarvitset lisäapua jonkin käsitteen kanssa, tutustu perusteellisiin oppaihimme lineaarisista yhtälöistä, yhtälöjärjestelmistä , itseisarvosta , leikkauskulmamuodosta sekä lineaarisista epäyhtälöistä ja epäyhtälöjärjestelmistä.

Strategia #2: Vastausten liittäminen

Monivalintakysymyksissä sinun pitäisi tarkista aina, voitko liittää vastausvaihtoehdot annettuihin yhtälöihin tai epäyhtälöön oikean vastauksen löytämiseksi . Joskus tämä lähestymistapa on paljon yksinkertaisempi kuin yhtälön ratkaiseminen.

Vaikka huomaatkin, että vastausten liittäminen hidastaa sinua, sinun tulee ainakin harkita sen käyttöä työsi tarkistamiseen. Liitä löytämäsi vastausvaihtoehto ja katso, johtaako se tasapainoiseen yhtälöön vai korjaako epäyhtälöitä. Jos on, tiedät, että sinulla on oikea vastaus!

Kytke se! Kytke se!

Strategia #3: Numeroiden liittäminen

Jos vastausten liittäminen ei ole mahdollista, numeroiden liittäminen on usein mahdollista, kuten yllä olevassa kysymyksessä 2. Kun valitset liitettävät numerot, en yleensä suosittele -1:n, 0:n tai 1:n käyttöä (koska ne voivat johtaa vääriin vastauksiin), ja muista lukea kysymys nähdäksesi, mitkä numerot sinun pitäisi valita. Esimerkiksi kysymyksessä 2 numerot edustivat lähetettyjen tekstiviestien määrää, joten sinun ei pitäisi käyttää negatiivista numeroa kuvaamaan tekstiviestien määrää, koska on mahdotonta lähettää negatiivista määrää tekstiviestejä.

Epäyhtälöille tämä on erityisen tärkeää, usein kysymys kuuluu 'seuraava pätee kaikille $x>0$'. Jos näin on, et voi kytkeä 0 tai -5; voit liittää vain numeroita, jotka ovat suurempia kuin 0, koska se on kysymyksessä asetettu parametri.

Strategia #4: Työskentele askel kerrallaan

Heart of Algebra -kysymyksissä sinun on käytettävä aikaa jokaisen vaiheen läpi. Nämä kysymykset voivat sisältää 5, 10, 15 vaihetta, ja sinun on varattava aikaa varmistaaksesi, ettet tee vaiheessa 3 pientä virhettä, joka johtaa väärään vastaukseen. Tiedät asiasi, joten älä anna pienten virheiden maksaa sinulle pisteitä!

Mitä seuraavaksi?

Nyt kun tiedät mitä odottaa Heart of Algebra -kysymyksissä, varmista, että olet valmis kaikki muut matematiikan aiheet näet SAT:ssa. Kaikki matemaattiset oppaamme opastavat sinua strategioiden ja harjoitustehtävien läpi kaikissa matematiikan osiossa käsitellyissä aiheissa, kokonaisluvuista suhteisiin , ympyröistä monikulmioihin (ja muihin!).

Oletko huolissasi testipäivästä? Varmista, että tiedät tarkalleen mitä tehdä ja tuoda mielesi helpottamiseksi ja hermostuneeksi ennen kuin on aika ottaa SAT.

Loppuuko aika SAT-matematiikan osiosta? Älä etsi kauempaa kuin oppaamme, joka auttaa sinua lyömään kellon ja maksimoimaan SAT-matematiikan tuloksesi.

Onkiminen saadaksesi täydelliset pisteet? Tutustu meidän opas täydellisen 800:n saamiseen , täydellisen maalintekijän kirjoittama.