Minkä tahansa numeerisen arvon neliöjuuri on arvo, joka itse kertomalla tuottaa alkuperäisen luvun. '√' on radikaalisymboli, jota käytetään kuvaamaan minkä tahansa luvun juurta. Neliöjuurella tarkoitamme potenssia 1/2 tästä luvusta. Oletetaan esimerkiksi, että x on minkä tahansa kokonaisluvun y neliöjuuri, tämä tarkoittaa, että x=√y. Kerrottaessa yhtälö saadaan myös x2= y.
Positiivisen luvun neliön neliöjuuri antaa alkuperäisen luvun.
Käsitteen ymmärtämiseksi tiedämme, että luvun 4 neliö on 16 ja luvun 16 neliöjuuri, √16 = 4. Nyt, kuten näemme, 16 on täydellinen neliöluku. Tämä tekee tällaisten lukujen neliöjuuren laskemisesta helppoa. Epätäydellisen neliön, kuten 3, 5, 7 jne., neliöjuuren laskeminen on kuitenkin vaikea prosessi.
Neliöjuurifunktio on yksi yhteen funktio, joka käyttää syötteenä positiivista lukua ja palauttaa annetun syöteluvun neliöjuuren.
f(x) = √x
Neliöjuurien ominaisuudet
Jotkut neliöjuuren tärkeistä ominaisuuksista ovat seuraavat:
- Täydelliselle neliöluvulle on olemassa täydellinen neliöjuuri.
- Parilliseen määrään nollia päättyvälle luvulle on olemassa neliöjuuri.
- Negatiivisten lukujen neliöjuuria ei ole määritelty.
- Lukuille, jotka päättyvät numeroihin 2, 3, 7 tai 8, täydellistä neliöjuurta ei ole olemassa.
- Jos numero päättyy numeroihin 1, 4, 5, 6 tai 9, luvulla on neliöjuuri.
Kuinka laskea neliöjuuri?
Täydelliset neliöluvut ovat kokonaislukuja, jotka ovat luonteeltaan positiivisia ja jotka voidaan helposti ilmaista luvun kertolaskuna itsellään. Täydelliset neliöluvut on kuvattu minkä tahansa kokonaisluvun potenssin 2 arvona. Täydellisten neliölukujen neliöjuuren laskeminen on suhteellisen helpompaa. Numeroiden neliöjuuren löytämiseen käytetään pääasiassa neljää menetelmää:
- Toistuva neliöjuuren vähennysmenetelmä
- Neliöjuuri Prime Factorization -menetelmällä
- Neliöjuuri estimointimenetelmällä
- Neliöjuuri pitkäjakomenetelmällä
Edellä olevia kolmea menetelmää voidaan käyttää täydellisten neliölukujen neliöjuuren laskemiseen. Viimeistä menetelmää voidaan kuitenkin käyttää molemmille numerotyypeille.
Toistuva neliöjuurien vähennysmenetelmä
Menetelmä perustuu seuraavaan vaihesarjaan:
Vaihe 1: Vähennä peräkkäiset parittomat luvut luvusta, jonka neliöjuuren löydämme.
Vaihe 2: Toista vaihe 1, kunnes arvo 0 on saavutettu.
Vaihe 3: Vaiheen 1 toistokertojen lukumäärä on vaaditun luvun neliöjuuri.
Huomautus: Tätä menetelmää voidaan käyttää vain täydellisille neliöille.
Esimerkiksi numerolle 16 menetelmä toimii seuraavasti:
16-1 = 15
15-3 =12
12-5 = 7
7-7 = 0
Prosessi toistetaan 4 kertaa. Siten√16 = 4.
Neliöjuuri Prime Factorization -menetelmällä
Minkä tahansa luvun alkulukujako on tämän luvun esitys alkulukujen tulon muodossa. Menetelmä perustuu seuraavaan vaihesarjaan:
Vaihe 1: Jaa määritetty luku sen alkutekijöihin.
Vaihe 2: Samankaltaisten tekijöiden pari muodostetaan siten, että molemmat tekijät kussakin muodostetussa parissa ovat yhtä suuret.
singleton suunnittelukuvio java
Vaihe 3: Ota yksi tekijä jokaisesta parista.
Vaihe 4: Tekijöiden tulo saadaan ottamalla yksi tekijä jokaisesta parista.
Vaihe 5: Tämä saatu tulo on annetun luvun neliöjuuri.
Huomautus: Tätä menetelmää voidaan käyttää vain täydellisille neliöille.
Esimerkiksi numerolle 64 menetelmä toimii seuraavasti:
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22×22×22
Regressiotestaus ohjelmistotestauksessa
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Neliöjuuri estimointimenetelmällä
Estimointimenetelmää käytetään annetun luvun neliöjuuren approksimointiin. Se arvioi luvun neliöjuuren kohtuullisen arvauksen todellisesta arvosta. Tällä menetelmällä laskelmat ovat helpompia. Se on kuitenkin todella pitkä ja aikaa vievä prosessi.
Vaihe 1: Etsi lähin täydellinen neliö, joka esiintyy sekä ennen että jälkeen annettua lukua.
Vaihe 2: Etsi seuraavaksi lähimmät kokonaisluvut ja pyöristä ne joka kerta saadaksesi lähimmän vastauksen.
Esimerkiksi numerolle 15 menetelmä toimii seuraavasti:
9 ja 16 ovat täydellisiä neliölukuja ennen ja jälkeen, jotka ovat lähimpänä lukua 15. Tiedämme nyt,
√16 = 4 ja √9 = 3. Tämä tarkoittaa, että luvun 15 neliöjuuri on välillä 3 ja 4. Nyt prosessiin kuuluu sen arviointi, onko luvun 15 neliöjuuri lähempänä lukua 3 vai 4.
Ensimmäinen tapaus on 3,5 ja 4. Neliö 3,5 = 12,25 ja neliöjuuri 4 = 16. Siksi kokonaisluvun 15 neliöjuuri on välillä 3,5 ja 4 ja on lähempänä lukua 4.
Lisäksi löydämme neliöt 3,8 ja 3,9, jotka vastaavat 3,8:aa2= 14,44 ja 3,92= 15,21. Tämä tarkoittaa, että √15 on välillä 3,8 ja 3,9. Lisäarvioinnissa saamme, että √15 = 3,872.
Neliöjuuri pitkäjakomenetelmällä
Long Division -menetelmä lukujen neliöjuuren laskemiseksi sisältää suurten lukujen jakamisen vaiheisiin tai osiin, jolloin ongelma jaetaan helpompien vaiheiden sarjaksi.
Esimerkiksi numerolle 180 menetelmä toimii seuraavasti:
Vaihe 1: Palkki asetetaan jokaisen numeroparin päälle, joka alkaa yksikön paikasta.
Vaihe 2: Vasemmanpuoleisin luku jaetaan sitten suurimmalla luvulla siten, että neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmanpuoleisimman parin luku.
Vaihe 3: Nyt seuraavan palkin alla oleva numero jäännöksen oikealla puolella on laskettu alas. Saadun osamäärän viimeinen numero lisätään jakajaan. Nyt seuraava askel on löytää saadun summan oikealta puolelta luku, joka muodostaa yhdessä summan tuloksen kanssa uuden jakajan uudelle osingolle.
Vaihe 4: Osamäärässä saatu luku on yhtä suuri kuin jakajassa valittu luku.
Vaihe 5: Sama prosessi toistetaan käyttämällä desimaalipistettä ja lisäämällä nollia pareittain loppuosaan.
Vaihe 6: Osamäärä muodostaa luvun neliöjuuren.
Esimerkkikysymykset
Kysymys 1. Laske neliöjuuri luvusta 144 Prime Factorization -menetelmällä?
Ratkaisu:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} muuntaa merkkijono jsonobject javaksi144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22×22×32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
Kysymys 2. Mikä on tapa yksinkertaistaa neliöjuurta?
Ratkaisu:
Annetun luvun alkulukujako voidaan laskea. Jos tekijää ei voida ryhmitellä, ne ryhmitellään neliöjuuren symbolilla. Yksinkertaistamiseen käytetään seuraavaa sääntöä:
√xy = √(x × y), missä x ja y ovat positiivisia kokonaislukuja.
Esimerkiksi √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 23Murtolukujen tapauksessa käytetään seuraavaa sääntöä:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} Esimerkiksi:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
Kysymys 3. Ratkaise: √(x + 2) = 4
Ratkaisu:
Me tiedämme,
√(x + 2) = 4
Neliöimällä molemmat puolet, saamme;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
Siksi meillä on,
x = 2 tai x = -6
Kysymys 4. Voiko negatiivisen luvun neliöjuuri olla kokonaisluku? Selittää.
Ratkaisu:
Tiedämme, että negatiivisilla luvuilla ei voi olla neliöjuurta. Syy tähän on se, että jos kaksi negatiivista lukua kerrotaan yhteen, saadaan aina positiivinen luku. Siksi negatiivisen luvun neliöjuuri on kompleksiluvun muodossa.
Kysymys 5. Laske 25:n neliöjuuri toistuvan vähennyksen menetelmällä?
Ratkaisu:
Edellä mainittuja vaiheita noudattaen meillä on
java vertailla merkkijonoja25 – 1 = 24
24-3 = 21
21-5 = 16
16-7 = 9
9-9 = 0
Koska prosessi toistetaan 5 kertaa, meillä on siis,√25 = 5.
Kysymys 6. Laske 484:n neliöjuuri pitkä jakomenetelmä?
Ratkaisu:
Pitkän jaon menetelmällä meillä on
Nyt,
Jäännös on 0, joten 484 on täydellinen neliöluku, joten
√484 = 22
