Tangenttiviivan kaltevuuden löytämiseksi meillä pitäisi olla selkeä käsite tangenttiviivoista ja kulmasta. Kaltevuus määritellään y-koordinaatin eron suhteeksi x-koordinaatin eroon. Se esitetään seuraavalla kaavalla:

m =( y⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₂ – ja ₁ ) /(x⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₂ – x⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ )

On huomattava, että:

• tan θ on sama kuin m. Rinteet voivat olla positiivisia tai negatiivisia riippuen siitä, liikkuuko viiva ylös vai alas.
• Kahden kohtisuoran suoran kaltevuuden tulot ovat -1 ja yhdensuuntaisten viivojen kulmakertoimet ovat samat.
• Toiminnon derivaatta antaa nopeuden muutoksen riippumattoman muuttujan muutoksen suhteen.

Tangenttilinjan kaltevuus

Tangenttiviiva on viiva, joka koskettaa käyrää pisteessä. Saattaa olla tangenttiviivoja, jotka myöhemmin ylittävät käyrän tai koskettavat käyrää joissakin muissa pisteissä.

Mutta peruskriteerit sille, että suora on käyrän f(x) tangentti pisteessä x=a, jos suora kulkee pisteen (a, f(a)) kautta (jossa piste on yhteinen sekä käyrälle että tangenttiviivalla) ja tangenttiviivalla on kulmakerroin f'(a), jossa f'(a) on funktion f(x) derivaatta pisteessä a.

Tangenttiviivan kaltevuus on sama kuin käyrän derivaatta jossain pisteessä. Kaava tangenttiviivalle, jonka kaltevuus on m ja annettu piste on (x⁠⁠⁠⁠⁠⁠⁠₁, ja₁) antaa,

ja – ja ₁ = m × (x – x⁠⁠⁠⁠⁠⁠ ₁ )

tai

y = mx + c

Missä c on jokin vakio.

Lue lisää aiheesta Viivan kaltevuus .

Kuinka löytää tangenttiviivan kaltevuus?

Ratkaisu:

Tangenttiviivan kaltevuus saadaan selville etsimällä käyrän f(x) derivaatta ja etsimällä derivaatan arvo tangenttiviivan ja käyrän kohtaamispisteestä, jolloin saadaan kulmakerroin.

Esimerkki: Etsi käyrän f(x) = x² tangenttiviivan kaltevuus pisteessä (1, 2). Etsi myös tangenttiviivan yhtälö.

Etsitään f(x) derivaatta:

f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x

Kaltevuuden arvo pisteessä (1, 2) on,

f'(x) = 2(1) = 2

Tangenttiviivan yhtälö on

y – 2 = 2 (x – 1)

tai

y = 2x

Lue myös,

• Tangentit ja normaalit
• Secant Line -kaavan kaltevuus
• Kuinka löytää kaltevuus kaaviosta?

Samanlaisia ​​ongelmia

Tehtävä 1: Etsi tangenttiviivan 6y = 3x + 5 kaltevuus.

Ratkaisu:

Koska tiedämme, että tangenttiviivan yhtälö on muotoa y= mx + c missä m on kulmakerroin

Voimme kirjoittaa,

y= (3x + 5 ) / 6

Siksi kaltevuuden arvo on 0.5 .

Tehtävä 2: Etsi kulmakerroin kahdella pisteellä (6, 7) ja (8, 0).

nuhjuisia nollia

Ratkaisu:

Minkä tahansa kahden pisteen kaltevuus (a, b) ja (x, y) saadaan kaavalla,

m = (y-b) / (x-a)

Siksi m = (0-7)/(8-6) = -3.5

Tehtävä 3: Etsi käyrän kaltevuus y= 6x³.

Ratkaisu :

Käyrän kaltevuus saadaan käyrän differentiaatiolla:

dy/dx = d(6x³) /dx = 18x²

Tehtävä 4: Etsi 2 toisiinsa nähden kohtisuorassa olevan suoran kaltevuus, kun 1 yhtälö on y= 3x+8

Ratkaisu:

Olkoon kahden kohtisuoran suoran kaltevuus m ja n

m × n = -1

⇒ m = 3

⇒ n = -1/3

Tehtävä 5: Etsi käyrän f(x) = x⁴ tangenttiviivan kaltevuus pisteessä (2, 1). Etsi myös tangenttiviivan yhtälö.

Ratkaisu:

Etsitään käyrän derivaatta,

dy/dx = 4x³

Pisteessä (2, 1) dy/dx:n tai kulman m arvo on,

m = 32

Tangenttiviivan yhtälö pisteessä (2, 1) on,

y – 1 = 32 (x – 2)