Implikaatiolauseke voidaan esittää muodossa 'jos....niin'. Symbolia ⇒ käytetään ilmaisemaan implikaatio. Oletetaan, että lauseita on kaksi, P ja Q. Tässä tapauksessa lause 'jos P, niin Q' voidaan kirjoittaa myös muodossa P ⇒ Q tai P → Q, ja se luetaan muodossa 'P tarkoittaa Q:ta'. Tässä implikaatiossa lause P on hypoteesi, joka tunnetaan myös premissinä ja edeltäjänä, ja lause Q on päätelmä, joka tunnetaan myös seuraamuksena.
Implikaatiolla on myös tärkeä rooli loogisessa argumentissa. Jos väitteiden implikaatio tiedetään olevan totta, aina kun olettamus täyttyy, myös päätelmän on oltava tosi. Tästä syystä implikaatio tunnetaan myös ehdollisena lauseena.
Joitakin esimerkkejä seurauksista kuvataan seuraavasti:
java kommentteja
- 'Jos GOA:n sää on aurinkoinen, menemme rannalle'.
- 'Jos seuralla on alennusjärjestelmä, menemme siihen klubiin'.
- 'Jos on aurinkoista rannalle menemisen aikana, olemme ruskettuneet.'
Looginen implikaatio voidaan ilmaista useilla tavoilla, joita kuvataan seuraavasti:
- Jos p niin q
- Jos p, q
- q kun p
- Q vain, jos P
- q ellei ~p
- q aina p
- p on riittävä ehto q:lle
- q seuraa p
- p tarkoittaa q:ta
- P:n välttämätön ehto on q
- q jos p
- q on välttämätön p:lle
- p on q:n välttämätön ehto
Nyt kuvataan esimerkkejä kaikista edellä kuvatuista implikaatioista oletuksen P ja johtopäätöksen Q avulla. Tätä varten oletetaan, että P = on aurinkoista ja Q = menen rannalle.
P ⇒ K
- JOS aurinko paistaa, menen rannalle
- JOS aurinko paistaa, menen rannalle
- Menen rannalle, kun on aurinkoista
- Menen rannalle VAIN, jos on aurinkoista
- Menen rannalle, ellei ole aurinkoista
- Menen rannalle AINA aurinko paistaa
- Aurinkoinen ON RIITTÄVÄÄ KUNNOSSA MINÄ lähden rannalle
- Menen rannalle SEURAA, että on aurinkoista
- On aurinkoista MERKITÄÄ, että menen rannalle
- VÄLITTÄVÄ EHDOT Aurinkoiselle on, että menen rannalle
- Menen rannalle, JOS aurinko paistaa
- Menen rannalle ON TARVITTAESSA, sillä on aurinkoista
- Aurinkoinen ON VÄLITTÄVÄ EHDOT, jotta lähden rannalle
Kun on ehdollinen lause 'jos p sitten q', tämä lause P ⇒ Q on epätosi, kun oletus p on tosi ja johtopäätös q on epätosi. Kaikissa muissa tapauksissa tämä tarkoittaa, että kun p on epätosi tai Q on tosi, lause P ⇒ Q on tosi. Voimme esittää tämän väitteen totuustaulukon avulla, jossa epätosi esitetään F:llä ja tosi T:llä. Lausunnon 'jos P, niin Q' totuustaulukko kuvataan seuraavasti:
| P | K | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Ei ole välttämätöntä, että premissit ja johtopäätös liittyvät toisiinsa. P:n ja Q:n muotoilun perusteella totuustaulukon tulkinta on riippuvainen.
Esimerkiksi:
- Jos Jack on valmistettu muovista, niin valtameri on vihreä.
- Lausunto: Jack on valmistettu muovista
- Lausunto: Meri on vihreä
Yllä olevissa kahdessa väitteessä ei ole mitään järkeä, koska Jack on ihminen, eikä häntä voi koskaan tehdä muovista, ja toista väitettä Ocean on vihreä ei tapahdu koskaan, koska valtameri on aina sininen ja Oceanin väriä ei voi muuttaa. Kuten näemme, molemmat lausunnot eivät liity toisiinsa. Toisaalta lauseen P ⇒ Q totuustaulukko on voimassa. Kysymys ei siis ole siitä, onko totuustaulukko oikea vai ei, vaan se on mielikuvituksen ja tulkinnan kysymys.
Joten P ⇒ Q:ssa emme tarvitse minkäänlaista yhteyttä premissin ja konsekventin välillä. P:n ja Q:n todellisen arvon perusteella vain näiden merkitys riippuu.
Nämä väitteet ovat myös vääriä, vaikka tarkastelemme molempia maailmaamme koskevia väitteitä
False ⇒ False
Joten kun katsomme yllä olevaa totuustaulukkoa, näemme, että kun P on epätosi ja Q on epätosi, niin P ⇒ Q on tosi.
Joten jos Jack on valmistettu muovista, valtameri on vihreä.
Oletus p ja johtopäätös q liittyvät kuitenkin toisiinsa, ja molemmilla väitteillä on järkeä.
Epäselvyys
Oletetussa operaattorissa voi olla epäselvyyttä. Joten kun käytämme imply-operaattoria (⇒), meidän tulisi tällä hetkellä käyttää sulkuja.
Esimerkiksi: Tässä esimerkissä meillä on moniselitteinen lause P ⇒ Q ⇒ R. Nyt meillä on kaksi moniselitteistä lausetta ((P ⇒ Q) ⇒ R) tai (P ⇒ (Q ⇒ R)), ja meidän on näytettävä, ovatko nämä lausunnot ovat samanlaisia vai eivät.
Ratkaisu: Todistamme tämän totuustaulukon avulla, joka kuvataan seuraavasti:
| P | K | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Yllä olevasta totuustaulukosta voimme nähdä, että P ⇒ (Q ⇒ R) ja (P ⇒ Q) ⇒ R totuustaulukko eivät ole samanlaisia. Näin ollen ne molemmat tuottavat erilaisia tuotoksia tai tuloksia.
Lisää Implikaatiosta
Muutamia muita esimerkkejä seurauksista kuvataan seuraavasti:
- Jos paistaa aurinko, menen kouluun.
- Jos saan hyvän työn, ansaitsen rahaa.
- Jos saan hyvät arvosanat, vanhempani ovat onnellisia.
Kaikissa yllä olevissa esimerkeissä olemme hämmentyneitä, koska emme tiedä, milloin implikaatiota pidetään tosi ja milloin epätosi. Tämän ongelman ratkaisemiseksi ja implikoinnin käsitteen ymmärtämiseksi käytämme hypoteettista esimerkkiä. Tässä esimerkissä oletetaan, että Marry pelaa sulkapalloa poikaystävänsä Jackin kanssa, ja hänen poikaystävänsä Jack haluaa hieman motivoida Marrya, joten hän houkuttelee häntä lausumalla:
'If you win then I will buy a ring for you'
Tällä lausunnolla Jack tarkoittaa, että jos avioliitto voittaa, hän luonnollisesti ostaa sormuksen. Tämän lausunnon kautta Jack sitoutuu vain, kun Marry voittaa. Hän ei missään tapauksessa tehnyt mitään, kun Mary pääsi irti. Joten ottelun lopussa voi olla vain neljä vaihtoehtoa, jotka kuvataan seuraavasti:
- Naimisiin voittaa - osta sormus.
- Naimisiin voittaa - älä osta sormusta.
- Naimisiin menettää - osta sormus.
- Naimisiin menetetään – älä osta sormusta.
Jack ei kuitenkaan antanut sääntöön (B) liittyvää lausuntoa. Hän ei myöskään maininnut lausunnossaan sääntöjä numero (C) ja (D), joten jos Marry löystyy, on Jackin vastuulla ostaako hänelle sormus vai ei. Itse asiassa lausunnot (A), (C) ja (D) voivat tapahtua sen lausunnon seurauksena, jonka Jack sanoo naimisiin, mutta (B) ei ole lopputulos. Jos tulos (B) toteutuu, Jack jää kiinni valheesta. Kaikissa kolmessa muussa tapauksessa, eli (A), (C) ja (D), hän on puhunut totta.
Nyt käytämme yksinkertaisempaa lausetta, jotta voimme symbolisesti määritellä Jackin lausunnon seuraavasti:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Tässä implikaatiossa käytämme loogista symbolia ⇒, joka voidaan lukea 'implisiittisenä'. Muodostamme Jack's Compound -lausekkeen asettamalla tämä nuoli P:stä Q: hen seuraavasti:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Lopuksi olemme havainneet, että implikaatio on epätosi vain, kun P on tosi ja q on epätosi. Tämän lausunnon mukaan Marry voittaa pelin, mutta valitettavasti Jack ei osta sormusta. Kaikissa muissa tapauksissa/tuloksissa väite on totta. Vastaavasti implikaatioiden totuustaulukko kuvataan seuraavasti:
| P | K | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Luettelo vastaavista implikaatiota koskevista loogisista yhtälöistä on kuvattu seuraavasti:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Esimerkkejä implikaatioista:
Seurauksista on useita esimerkkejä, ja jotkin niistä on kuvattu seuraavasti:
Esimerkki 1: Oletetaan, että lauseita on neljä, P, Q, R ja S missä
P: Jack on koulussa
K: Jack opettaa
R: Jack nukkuu
S: Jack on sairas
Kuvaamme nyt joitain symbolisia lausuntoja, jotka liittyvät näihin yksinkertaisiin lausuntoihin.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Tässä meidän on esitettävä näiden symbolisten lausuntojen tulkinnan esitys sanoiksi.
Ratkaisu:
| P → R | Jos Jack on koulussa, niin Jack opettaa. |
| S → ~P | Jos Jack on sairas, hän ei ole koulussa. |
| ~Q → (S ∧ R) | Jos Jack ei opeta, hän on sairas ja nukkuu. |
| (P ∨ R) → ~Q | Jos Jack on koulussa tai nukkumassa, hän ei opeta. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Jos Jack ei nuku eikä ole sairas, hän opettaa tai ei koulussa. |
Esimerkki 2: Tässä esimerkissä meillä on implikaatio P → Q. Tässä meillä on myös kolme muuta yhdistelmälausetta, jotka liittyvät luonnollisesti tähän implikaatioon, joka on positiivinen, käänteinen ja käänteinen. Kaikkien näiden neljän lauseen välinen suhde kuvataan taulukon avulla, joka on kuvattu seuraavasti:
| Seuraamus | P → Q |
| Keskustele | Q → P |
| Käänteinen | ~P → ~Q |
| Ristiriitainen | ~Q → ~P |
Nyt tarkastellaan esimerkkiä implikaatiosta, jossa on lause 'Jos opiskelet hyvin, saat hyvät arvosanat'. Tämä lauseke on muodossa P → Q, missä
P: opiskelet hyvin
K: Saat hyvät arvosanat
Nyt käytämme P- ja Q-lauseita ja näytämme neljä liitännäislausetta seuraavasti:
Seuraamus: Jos opiskelet hyvin, saat hyvät arvosanat.
Keskustele: Jos saat hyvät arvosanat, opiskelet hyvin.
Käänteinen: Jos et opiskele hyvin, et saa hyviä arvosanoja.
Kontrapositiivinen: Jos et saa hyviä arvosanoja, et opi hyvin.
Kaikkien yllä olevien liitännäislauseiden totuusarvot on kuvattu totuustaulukon avulla, joka on kuvattu seuraavasti
| P | K | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Yllä olevasta taulukosta näemme, että implikaatiolla (P → Q) ja sen kontrapositiivisella (~Q → ~P) on sama arvo sarakkeissaan. Tämä tarkoittaa, että molemmat ovat samanarvoisia. Joten voimme sanoa, että:
P → Q = ~Q → ~P
Samoin voimme nähdä, että käänteisellä ja käänteisellä molemmilla on samanlaiset arvot sarakkeissaan. Mutta tällä ei ole mitään merkitystä, koska käänteinen on käänteisen vastakohta. Vastaavasti alkuperäinen implikaatio voi saada kontrapositiivisen kontrapositiivisesta. (Tämä tarkoittaa, että jos kumoamme P ja Q ja vaihdamme sitten nuolen suuntaa, ja sen jälkeen toistamme prosessin, se tarkoittaa, että kumoamme ~P ja ~Q ja vaihdamme jälleen nuolen suuntaa, tässä tapauksessa saamme takaisin mistä aloitimme).