Sin x:n integraali on -cos(x) plus vakio (C). Se edustaa sinikäyrän alla olevaa aluetta. Funktio toistuu 2π radiaanin välein jaksollisen luonteensa vuoksi. Tässä artikkelissa selitetään sinifunktion integraali, esitetään sen kaava, todistus ja sovellus tiettyjen määrättyjen integraalien etsimisessä. Lisäksi siinä mainitaan ratkaistuja ongelmia ja usein kysyttyjä kysymyksiä.

Sisällysluettelo

• Mikä on Sin x:n integraali?
• Sin x -kaavan integraali
• Sin x:n integraalin graafinen merkitys
• Sin x Todistus substituutiomenetelmällä integraali
• Sin x:n määrätty integraali
• Sin x:n integraali 0 - π
• Sin x integraali 0 - π/2

Mikä on Sin x:n integraali?

Sin(x):n integraali x:n suhteen on -cos(x) plus vakio (C). Tämä tarkoittaa, että kun erotat -cos(x):n x:n suhteen, saat sin(x). Integrointivakio (C) edustaa mitä tahansa lisävakioarvoa, joka voi olla alkuperäisessä funktiossa.

Sin x:n integraali merkitsee fyysisesti sinikäyrän alla peitettyä aluetta.

Oppia,

• Laskeminen matematiikassa
• Integraatio matematiikassa

Sin x -kaavan integraali

Sinifunktion integraali ∫ sin(x) dx on yhtä suuri kuin -cos(x) + C, missä C on integroinnin vakio.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Tässä cos(x) on kosinifunktio ja C edustaa vakiota, joka lisätään antiderivaataan, koska vakion derivaatta on nolla.

Sin x:n integraalin graafinen merkitys

Sin(x):n integraalilla (a) - (b) on graafinen merkitys käyrän alla olevan alueen laskemisessa tällä välillä. Tutkitaan graafista merkitystä käyttäen sekä kiinteää integraalimenetelmää että geometrista menetelmää.

prioriteettijono c++

Definite Integral Method

Sin(x):n integraali kohdasta (a) - (b) saadaan seuraavasti:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Tämä edustaa etumerkittyä aluetta käyrän sin(x) ja x-akselin välillä (a) - (b).

Geometrinen menetelmä

Tarkastellaan sin(x):n kuvaajaa välillä (a) - (b). Käyrän alla oleva pinta-ala voidaan jakaa kahteen alueeseen:

• Positiivinen alue: Alueet, joissa sin(x) on positiivinen (x-akselin yläpuolella). Tämä edistää positiivista pinta-alaa käyrän alla.
• Negatiivinen alue: Alueet, joissa sin(x) on negatiivinen (x-akselin alapuolella). Tämä vaikuttaa negatiiviseen pinta-alaan käyrän alla.

Kokonaispinta-ala on näiden positiivisten ja negatiivisten alueiden algebrallinen summa.

Esimerkki:

Sin(x):n käyrän alla olevan alueen löytäminen välillä (a = 0) - (b = π/2).

Käyttämällä kiinteää integraalimenetelmää:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Tämä on merkitty alue käyrän alla.

Käyttämällä geometrista menetelmää:

Sin(x):n kuvaaja 0:sta (π/2) on ympyrän neljännes, ja pinta-ala on todellakin 1.

Sin x Todistuksen integrointi substituutiomenetelmällä

Löytääksemme sin(x):n integraalin substituutiomenetelmällä, tarkastellaan integraalia:

Yksi yleinen trigonometristen integraalien korvaaminen sisältää u:n olevan yhtä suuri kuin trigonometrisen funktion sisällä oleva lauseke. Olkoon tässä tapauksessa u = cos(x). Laske sitten du dx:nä:

du/dx = -sin(x)

Nyt ratkaise dx:

dx = -1/sin(x) du

Korvaa nyt u ja dx alkuperäiseen integraaliin u:lla:

Sin(x) integraali dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Yksinkertaista lauseke:

Sin(x) integraali dx = -∫ du

Integroi nyt suhteessa sinuun:

Sin(x) dx = -u + C integraali

Korvaa nyt takaisin u, joka määritettiin nimellä cos(x):

Sin(x) dx = -cos(x) + C integraali

Joten substituutiomenetelmää käyttämällä olemme päässeet samaan tulokseen kuin derivaattaisessa todistuksessa. Sin(x):n integraali on -cos(x) + C, missä C on integroinnin vakio.

Sin x:n määrätty integraali

Sin(x):n määrätty integraali a:sta b:hen, jota merkitään

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Se laskee sinikäyrän alla olevan nettoalueen välillä x = a ja x = b, ottaen huomioon alueen suunnan x-akselin ylä- ja alapuolella.

Oppia, Ehdoton integraali

Sin x integraali 0 - Pi

Löytääksemme sin(x):n integraalin arvosta 0 arvoon π, voimme käyttää antiderivaavaa. Sin(x):n antijohdannainen on -cos(x). Arvioimalla tämä antideriivata arvosta 0 arvoon π, saamme:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Koska cos(π) on -1 ja cos(0) on 1, lauseke yksinkertaistuu seuraavasti:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Siten sin(x):n integraali arvosta 0 arvoon π on yhtä suuri kuin 2. Tämä edustaa sin(x)-käyrän ja x-akselin välistä etumerkittyä aluetta x = 0 - x = π.

Sin x integraali 0 - Pi /2

Tarkka integraali edustaa etumerkittyä aluetta käyrän ja x-akselin välillä annetulla aikavälillä.

Integraali annetaan seuraavasti:

∫₀^p/2sin(x) dx

Käyttämällä antiderivaavaa -cos(x) integraalin arvioimiseen:

cos(x) |[0 - π/2]

Korvaa nyt π/2 arvolla -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Muista, että cos(π/2) = 0 ja cos(0) = 1. Korvaa nämä arvot:

(0) – (-1)

Yksinkertaistaa:

0 + 1 = 1

Sin(x):n määrätty integraali 0:sta π/2:een on yhtä suuri kuin 1. Tämä tarkoittaa, että sinikäyrän ja x-akselin välinen etumerkillinen alue x = 0 - x = π/2 on 1.

Myös Tarkista

• Cos x:n integrointi
• Tan x:n integrointi
• Integrointikaavat

Sin x integraali – Ratkaistut esimerkit

Esimerkki 1: Etsi sin2(x) integraali

Ratkaisu:

1 / 1000,00

Ilman puolesta²(x), voit käyttää kaavaa cos(2x).

∫ syntiä²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Jaa se kahteen osaan:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

dx:n integraali on vain x. Cos(2x)-integraali edellyttää sin(2x)-kaavan käyttöä. Se näyttää tältä:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Yhdistä nämä kaksi tulosta ja lisää vakio C ottaaksesi huomioon alkuperäisen integraalin mahdolliset vakiot.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Esimerkki 2: Etsi sinin integraali ³ x.

Ratkaisu:

Sinin integraali, joka on kuutioitu x:n suhteen, voidaan kirjoittaa seuraavasti:

∫ syntiä³x dx

Käytä trigonometristä identiteettiä yksinkertaistaaksesi:

ilman³x = [1 – cos²(x)] synti(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Jaa ja erota termit:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integroi jokainen termi erikseen:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Tässä (C ) edustaa integroinnin vakiota.

Esimerkki 3: Etsi sin x:n integraali ^-1

Ratkaisu:

Sin(x) integraali^-1voidaan ilmaista käyttämällä arcsinifunktiota. Integraali saadaan seuraavasti:

∫1/sin x = -ln|kosek x + pinnasänky x| + C

Tässä (C) on integroinnin vakio.

Esimerkki 4: Etsi sin x:n integraali ²

Ratkaisu:

Sin²(x):n integraali x:n suhteen voidaan ratkaista trigonometrisen identiteetin avulla.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

mikä on uri

Integroi nyt jokainen termi erikseen:

1/2∫(1-cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

missä ( C ) on integroinnin vakio.

Esimerkki 5: Etsi integraali sin x:stä ^-3

Ratkaisu:

sin(x) integraali^-3(x):n suhteen sisältää trigonometrisen substituution. Näin voit ratkaista sen:

Olkoon u = sin(x), sitten du = cos(x)dx

Korvaa nämä nyt integraaliin:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³/

Integroi nyt suhteessa (u):

∫u⁻³sinä = u⁻²/−2​ + C

Korvaa takaisin sanalla (x) käyttämällä u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Joten, sin(x) integraali^-3(x):n suhteen on -1/2sin²x , jossa (C) on integroinnin vakio.

Esimerkki 6: Etsi sinin käänteis-x:n integraali

Ratkaisu:

Löytää synnin integraali^-1(x) suhteessa (x) voit käyttää integrointia osittain. Osien integroinnin kaava on:

∫udv=uv−∫vdu

100 km/h - mph

u = synti^-1(x) ja dv = dx

Etsi nyt (du) ja (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Käytä integrointia osien mukaan:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Integroi nyt jäljellä oleva termi oikealle puolelle. Voit käyttää substituutiota antamalla (t = 1 – x²), sitten (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Korvaa nyt takaisin sanalla (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Laita kaikki yhteen:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

missä (C) on integroinnin vakio.

Esimerkki 7: Etsi integraali x sin 2x dx

Ratkaisu:

Löytääksesi xsin(2x):n integraalin suhteessa (x) voit käyttää osien integrointia. Osien integroinnin kaava saadaan seuraavasti:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x ja dv = sin(2x)dx

Etsi nyt (du) ja (v):

du = dx ja v = -1/2cos(2x)

Käytä integrointia osien mukaan:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Integroi nyt jäljellä oleva termi oikealle puolelle. Integraali -1/2cos(2x) voidaan löytää antamalla (u = 2x) ja käyttämällä yksinkertaista substituutiota:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Korvaa tämä tulos takaisin alkuperäiseen yhtälöön:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Joten xsin(2x):n integraali suhteessa (x):hen on -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, missä (C) on integroinnin vakio.

Esimerkki 8: Etsi integraali sin x cos 2x

Ratkaisu:

Löytääksesi sin(x) cos(2x):n integraalin suhteessa (x) voit käyttää osien integrointia. Osien integrointikaava on:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) ja dv = cos(2x)dx

Etsi nyt (du) ja (v):

du = cos(x) dx ja v = 1/2 sin(2x)

Käytä integrointia osien mukaan:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx

Integroi nyt jäljellä oleva termi oikealle puolelle. Voit käyttää uudelleen integrointia osien mukaan:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Jatka prosessia, kunnes integraalista tulee hallittavissa. Yksinkertaistamisen jälkeen saat lopputuloksen:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

missä (C) on integroinnin vakio.

Integral of Sin x – Harjoittele kysymyksiä

Q1. Etsi sinin integraali 0:sta pi:hen.

Q2. Laske sinin integraali välillä -π/2 arvoon π/2.

Q3. Laske sinin plus kosinin integraalin arvo suhteessa x:ään.

vaihda merkkijono javassa

Q4. Arvioi sinin(2x) integraali välillä 0 arvoon π/3.

Q5. Etsi sinin(3x) antiderivaata x:n suhteen.

Q6. Laske sinin(2x) integraali arvosta π arvoon 2π.

Q7. Integroi funktiosini neliöitynä x:n suhteen.

Q8. Arvioi sinin integraali neliöllä -π/4 arvoon π/4.

Sin x integraali – Usein kysytyt kysymykset

Mikä on Sin x:n integraali?

Sin x:n integraali on -cos x

Mikä on Sin x?

Sin(x) on trigonometriafunktio, joka edustaa suorakulmaisen kolmion kulman vastakkaisen sivun pituuden suhdetta hypotenuusan pituuteen.

Mikä on Sin x -alue?

Sin x:n alue on [-1, 1].

Mikä on sin x:n integraali ja johdannainen?

Sin x:n integraali on -cos x ja si x:n derivaatta on cos x

Mikä on Sin x:n ja Cos x:n integraali?

Sin x:n integraali on -cos x + C ja cos x:n integraali on sin x

Mikä on Integral of Sin 2x?

Sin 2x:n integrointi on (-cos2x)/2 + c