Integrointi osien mukaan: Osien integrointi on tekniikka, jota käytetään laskennassa kahden funktion tulon integraalin löytämiseksi. Se on pohjimmiltaan päinvastainen tuotesääntö eriyttämistä varten.

Toiminnon integrointi ei ole aina helppoa, joskus joudumme integroimaan funktion, joka on kahden tai useamman funktion kerrannainen tässä tapauksessa, jos meidän on löydettävä integrointi, jota meidän on käytettävä osakohtaista integrointia, joka käyttää kahden funktion kahta tuotetta ja kertoo meille, kuinka löytää niiden integraatio.

Otetaan nyt selvää Integrointi osien mukaan, sen kaava, johtaminen ja muut yksityiskohtaisesti tässä artikkelissa.

Mitä on osien integrointi?

Osittainen integrointi on tekniikka, jota käytetään etsimään kahden tai useamman toiminnon tuotteen integrointi, kun integrointia ei voida suorittaa normaaleilla tekniikoilla. Oletetaan, että meillä on kaksi funktiota f(x) ja g(x) ja meidän on löydettävä niiden tulon integraatio eli ∫ f(x).g(x) dx, jossa tämän tuotteen tuloa ei ole mahdollista edelleen ratkaista f(x).g(x).

Tämä integrointi saavutetaan käyttämällä kaavaa:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

missä f'(x) on f(x:n) ensimmäinen differentiaatio.

Tämä kaava luetaan seuraavasti:

Ensimmäisen funktion integrointi kerrottuna toisella funktiolla on yhtä suuri kuin (ensimmäinen funktio) kerrottuna (toisen funktion integrointi) – integrointi (ensimmäisen funktion erotus kerrottuna toisen funktion integraatiolla).

Yllä olevasta kaavasta voimme helposti havaita, että ensimmäisen ja toisen funktion valitseminen on erittäin tärkeää tämän kaavan onnistumisen kannalta, ja kuinka valitsemme ensimmäisen funktion ja toisen funktion, käsitellään tarkemmin tässä artikkelissa.

Mitä on osittainen integrointi?

Osittainen integrointi, joka tunnetaan myös nimellä integrointi osien mukaan, on tekniikka, jota käytetään laskennassa arvioimaan kahden funktion tulon integraalia. Osittaisen integroinnin kaava saadaan seuraavasti:

∫ u dv = uv – ∫ v du

missä u ja v ovat x:n differentioituvia funktioita. Tämän kaavan avulla voimme yksinkertaistaa tuotteen integraalia jakamalla sen kahteen yksinkertaisempaan integraaliin. Ajatuksena on valita u ja dv niin, että oikeanpuoleinen uusi integraali on helpompi arvioida kuin alkuperäinen vasemmanpuoleinen. Tämä tekniikka on erityisen hyödyllinen käsiteltäessä funktioiden tuotteita, joilla ei ole yksinkertaisia ​​antiderivaateja.

Osittainen integraation historia

Kuuluisa Brook Taylor ehdotti ensimmäisen kerran osittaista integrointia kirjassaan vuonna 1715. Hän kirjoitti, että voimme löytää kahden funktion tuotteen integroinnin, joiden differentiaatiokaavat ovat olemassa. Joillakin tärkeillä funktioilla ei ole integrointikaavoja ja niiden integrointi saadaan aikaan integroinnilla ottamalla ne osaksi kahden funktion tulona. Esimerkiksi ∫ln x dx ei voida laskea normaaleilla integrointitekniikoilla. Mutta voimme integroida sen käyttämällä Integration by part -tekniikkaa ja ottamalla sen kahden funktion tulona eli ∫1.ln x dx.

Integrointi osien kaavan mukaan

Integrointi osakaavalla on kaava, joka auttaa meitä saavuttamaan kahden tai useamman funktion tuotteen integroinnin. Oletetaan, että meidän on integroitava kahden funktion tulos as

∫u.v dx

missä u ja v ovat x:n funktioita, niin tämä voidaan saavuttaa käyttämällä

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Ensimmäisen ja toisen funktion valintajärjestys on erittäin tärkeä, ja useimmissa tapauksissa ensimmäisen ja toisen funktion löytämiseen käytetty käsite on ILATE-konsepti.

Yllä olevaa kaavaa ja ILATE-konseptia käyttämällä voimme helposti löytää kahden funktion tulon integroinnin. Integrointi osakaavassa näkyy alla olevassa kuvassa,

Integroinnin johtaminen osien kaavan mukaan

Integration By Parts Kaava johdetaan käyttämällä differentiaatiosääntöä. Oletetaan, että meillä on kaksi funktiota sisään ja sisään ja x sitten niiden tuotteen johdannainen saadaan käyttämällä kaavaa,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nyt johdetaan integrointi osien kaavalla käyttämällä differentiaatiosääntöä.

Ehtojen järjesteleminen uudelleen

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integroi molemmat puolet x:n suhteen,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

yksinkertaistaa,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Siten johdetaan osien integrointikaava.

ILATE-sääntö

ILATE-sääntö kertoo, kuinka valita ensimmäinen funktio ja toinen funktio, kun ratkaistaan ​​kahden funktion tulon integrointi. Oletetaan, että meillä on kaksi funktiota x u ja v ja meidän on löydettävä niiden tuotteen integraatio, sitten valitaan ensimmäinen funktio ja by ILATE -sääntö.

ILATE täydellistä muotoa käsitellään alla olevassa kuvassa,

ILATE Osittaisen integraation sääntö

ILATE-säännöt antavat meille ensimmäisen funktion ottamisen hierarkian, eli jos funktion annetussa tulossa yksi funktio on logaritminen funktio ja toinen funktio on trigonometrinen funktio. Otamme nyt logaritmisen funktion ensimmäiseksi funktioksi, koska se tulee ILATE-säännön hierarkian yläpuolelle samalla tavalla, valitsemme ensimmäisen ja toisen funktion vastaavasti.

HUOMAUTUS: Aina ei ole tarkoituksenmukaista käyttää ILATE-sääntöä, joskus käytetään myös muita sääntöjä ensimmäisen ja toisen funktion löytämiseen.

Kuinka löytää integrointi osakohtaisesti?

Osittain integrointia käytetään kahden funktion tuotteen integroinnin etsimiseen. Voimme saavuttaa tämän seuraavilla vaiheilla,

Oletetaan, että meidän on yksinkertaistettava ∫uv dx

Vaihe 1: Valitse ensimmäinen ja toinen funktio ILATE-säännön mukaisesti. Oletetaan, että otamme ensimmäisenä funktiona u ja toiseksi funktiona v.

Vaihe 2: Erota u(x) x:n suhteen eli Arvioi du/dx.

Vaihe 3: Integroi v(x) x:n suhteen eli Arvioi ∫v dx.

Käytä kaavan vaiheessa 1 ja 2 saatuja tuloksia,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Vaihe 4: Yksinkertaista yllä oleva kaava saadaksesi vaaditun integroinnin.

Toistuva integrointi osien mukaan

Toistuva integrointi osien mukaan on osien integrointitekniikan laajennus laskennassa. Sitä käytetään, kun sinulla on funktioiden tuote, joka vaatii integroinnin useita kertoja antiderivaatin löytämiseksi. Prosessi sisältää integroinnin soveltamisen osien kaavalla iteratiivisesti, kunnes saavutat pisteen, jossa tuloksena oleva integraali on helppo arvioida tai sillä on tunnettu muoto.

Kun käytät tätä kaavaa toistuvasti, aloitat integraalilla, joka sisältää kahden funktion tulon, ja käytä sitten integrointia osittain sen hajottamiseksi yksinkertaisempiin integraaleihin. Jatka sitten tätä prosessia tuloksena olevilla integraaleilla, kunnes saavutat pisteen, jossa lisäsovelluksia ei tarvita tai integraaleista tulee hallittavissa.

Tässä on vaiheittainen esimerkki siitä, kuinka toistuva integrointi osien mukaan toimii:

1. Aloita kahden funktion tulon integraalilla: ∫ u dv.
2. Käytä integrointia osien mukaan saadaksesi: uv – ∫ v du.
3. Jos oikealta puolelta saatu uusi integraali sisältää edelleen funktioiden tulon, käytä osien integrointia uudelleen sen hajottamiseksi.
4. Jatka tätä prosessia, kunnes saat yksinkertaisemman integraalin, joka voidaan arvioida helposti, tai integraalin, joka vastaa tunnettua integraalimuotoa.

Taulukkointegrointi osien mukaan

Taulukkointegrointi, joka tunnetaan myös taulukkomenetelmänä tai taulukkointegrointimenetelmänä, on vaihtoehtoinen tekniikka integraalien arviointiin, joka sisältää toistuvan integroinnin soveltamisen osien mukaan. Tämä menetelmä on erityisen hyödyllinen käsiteltäessä integraaleja, joissa funktioiden tulo voidaan integroida useita kertoja yksinkertaisen tuloksen saavuttamiseksi.

Taulukkomenetelmä järjestää toistuvan integroinnin osittain taulukoksi, mikä helpottaa termien seuraamista ja yksinkertaistaa integraalia tehokkaasti. Näin taulukkomenetelmä toimii:

1. Aloita kirjoittamalla integraaliin liittyvät funktiot kahteen sarakkeeseen: yksi funktion erottamiseen (u) ja toinen integroitavaan funktioon (dv).
   • Aloita integrointifunktiosta (dv) vasemmassa sarakkeessa ja erotusfunktiosta (u) oikeanpuoleisessa sarakkeessa.
2. Jatka u-sarakkeen funktion erottamista, kunnes saavutat nollan tai vakion. Integroi jokaisessa vaiheessa funktio dv-sarakkeessa, kunnes saavutat pisteen, jossa lisäintegrointia ei tarvita.
3. Kerro termit vinottain ja vaihda merkit (+ ja -) kullekin termille. Tee yhteenveto näistä tuotteista löytääksesi integraation tuloksen.

Tässä on esimerkki havainnollistamaan taulukkointegrointimenetelmä :

Arvioidaan integraali ∫x sin(x) dx.

• Vaihe 1: Luo taulukko, jossa on kaksi saraketta: u (erotteleva funktio) ja dv (integroitava funktio):

• Vaihe 2: Erota funktio u-sarakkeessa ja integroi funktio dv-sarakkeessa:

• Vaihe 3: Kerro termit vinottain ja vuorottele merkkejä:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Eli integraalin ∫x tulos sin(x) dx on -x cos(x) + sin(x).

Taulukkointegrointimenetelmä on erityisen hyödyllinen käsiteltäessä integraaleja, jotka sisältävät funktioita, jotka toistuvat eriyttämisen tai integroinnin yhteydessä, mikä mahdollistaa systemaattisen ja organisoidun lähestymistavan antiderivaatin löytämiseen.

Osien integroinnin sovellukset

Integraatiolla Partsilla on useita sovelluksia integraalilaskennassa. Sitä käytetään etsimään funktion integraatio silloin, kun normaalit integrointitekniikat epäonnistuvat. Voimme helposti löytää käänteisten ja logaritmisten funktioiden integroinnin käyttämällä integrointi osien mukaan -konseptia.

Löydämme logaritmisen funktion ja Arctan-funktion integroinnin käyttämällä osasääntöä,

Logaritmisen funktion integrointi (log x)

Käänteisen logaritmisen funktion (log x) integrointi saadaan aikaan Integration by part -kaavalla. Integraatiota käsitellään alla,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Otetaan log x ensimmäiseksi funktioksi ja 1 toiseksi funktioksi.

Käyttämällä ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)'.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Mikä on logaritmisen funktion vaadittu integrointi.

Käänteisen trigonometrisen funktion integrointi (tan^-1x)

Käänteisen trigonometrisen funktion integrointi (tan^-1x) saavutetaan Integration by part -kaavalla. Integraatiota käsitellään alla,

∫ niin^-1x.dx = ∫ruskea^-1x.1.dx

Rusketuksen ottaminen^-1x ensimmäisenä funktiona ja 1 toisena funktiona.

Käyttämällä ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫rusketus^-1x.1.dx = rusketus^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)'.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫rusketus^-1x.1.dx = rusketus^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

sql-tietotyypit

⇒ ∫rusketus^-1x.1.dx = x. niin^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫rusketus^-1x.dx = x. niin^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Mikä on käänteisen trigonometrisen funktion vaadittu integrointi.

: javassa

Osittaisen integraation tosielämän sovellukset

Jotkut osittaisen integroinnin yleisistä tosielämän sovelluksista ovat:

• Antijohdannaisten löytäminen
  • Tekniikassa ja fysiikassa osittaista integrointia käytetään etsimään fysikaalisia suureita edustavien funktioiden antiderivaatat. Esimerkiksi mekaniikassa sitä käytetään johtamaan liikeyhtälöitä voiman ja kiihtyvyyden yhtälöistä.
• Wallis tuote
  • Wallis-tulo, pii:n ääretön tuloesitys, voidaan johtaa osittaisella integrointitekniikoilla. Tällä tuotteella on sovelluksia lukuteorian, todennäköisyysteorian ja signaalinkäsittelyn aloilla.
• Gammafunktioiden identiteetti
  • Gammafunktiolla, joka laajentaa tekijäfunktion kompleksilukuihin, on useita sovelluksia matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa. Osittaista integrointia käytetään todistamaan identiteetit, joihin liittyy gammafunktio, jotka ovat ratkaisevia aloilla, kuten todennäköisyysteoriassa, tilastollisessa mekaniikassa ja kvanttimekaniikassa.
• Käyttö harmonisessa analyysissä
  • Osittaisella integraatiolla on merkittävä rooli harmonisessa analyysissä, erityisesti Fourier-analyysissä. Sitä käytetään johtamaan Fourier-muunnosten ominaisuuksia, kuten konvoluutiolausetta ja Fourier-sarjan ominaisuuksia. Näitä tuloksia sovelletaan sellaisilla aloilla kuin signaalinkäsittely, kuva-analyysi ja tietoliikenne.

Integrointi osien kaavoilla

Voimme johtaa eri toimintojen integrointia käyttämällä integrointi osien mukaan -konseptia. Jotkut tällä tekniikalla johdetuista tärkeistä kaavoista ovat

• ∫ ja^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. ilman^-1x/a + C

Integrointi osien mukaan. Esimerkkejä

Esimerkki 1: Etsi ∫ e ^x x dx.

Ratkaisu:

Olkoon I = ∫ e^xx dx

u:n ja v:n valitseminen ILATE-säännöllä

u = x
v = e^x

Erottaminen u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Käyttämällä Integrointi osalla -kaavaa,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− ja^x+ C

⇒ I = e^x(x − 1) + C

Esimerkki 2: Laske ∫ x sin x dx.

Ratkaisu:

Olkoon I = ∫ x sin x dx

u:n ja v:n valitseminen ILATE-säännöllä

u = x
v = sin x

Erottaminen u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Käyttämällä Integrointi osalla -kaavaa,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Esimerkki 3: Etsi ∫ sin ⁻¹ x dx.

Ratkaisu:

Olkoon I= ∫ synti⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

u:n ja v:n valitseminen ILATE-säännöllä

u = synti⁻¹x
v = 1

Erottaminen u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Käyttämällä Integrointi osan mukaan -kaavaa,

⇒ I = ∫ synti⁻¹x dx

⇒ I = ilman⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Olkoon, t = 1 − x²

Erottaa molemmat puolet

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ synti⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Harjoittele osittaisen integroinnin ongelmia

1. Integroi xe ^x

2. Integroi x sin(x)

3. Integroi x ² ln(x)

4. Integroi e ^x cos(x)

5. Integroi ln(x)

Usein kysytyt kysymykset integroinnista osien mukaan

Mitä on integrointi osien mukaan?

Integrointi osien mukaan on tekniikka, jolla löydetään kahden funktion tuotteen integrointi silloin, kun normaalit integrointitekniikat epäonnistuvat. Integrointi osakaavalla on,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Mitä on integrointi osien kaavalla?

Kahden funktion f(x) ja g(x) integrointi osakaavalla on,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

missä f'(x) on f(x:n) differentiaatio.

Kuinka johtaa integrointi osakaavalla?

Integrointi osakaavan mukaan johdetaan käyttämällä differentiaatiosääntöä.

Miksi käytämme integrointia osien kaavalla?

Integrointia osakaavalla käytetään etsimään funktion integraatio, kun normaalit differentiointitekniikat epäonnistuvat. Voimme löytää käänteisten trigonometristen funktioiden ja logaritmien funktioiden integroinnin käyttämällä Integrointi osakaavalla

Mikä on osien integroinnin sovellus?

Osakohtaisella integroinnilla on erilaisia ​​sovelluksia ja sen perussovellus on, että sitä käytetään funktion integroinnin etsimiseen, kun funktio on annettu funktioiden tulona, ​​jota ei voida yksinkertaistaa enempää. Esimerkiksi ∫ f(x).g(x) dx saavutetaan käyttämällä Integrointia osilla.