logo

TechCodeview

Käänteiset trigonometriset identiteetit

Käänteiset trigonometriset identiteetit: Matematiikassa käänteiset trigonometriset funktiot tunnetaan myös arcusfunktioina tai anti-trigonometrisinä funktioina. Käänteiset trigonometriset funktiot ovat trigonometristen perusfunktioiden käänteisfunktioita, eli sini, kosini, tangentti, kosekantti, sekantti ja kotangentti. Sitä käytetään kulmien etsimiseen millä tahansa trigonometrisellä suhteella. Käänteisiä trigonometrisiä funktioita käytetään yleensä sellaisilla aloilla kuin geometria, suunnittelu jne. Käänteisten trigonometristen funktioiden esitystavat ovat:

Jos a = f(b), niin käänteisfunktio on



b = f-1(a)

merkkijono ti int

Esimerkkejä käänteisistä käänteisistä trigonometrisista funktioista ovat sin-1x, cos-1x, niin-1x jne.

Sisällysluettelo



Käänteisten trigonometristen identiteettien toimialue ja alue

Seuraavassa taulukossa on joitain trigonometrisiä funktioita niiden toimialueen ja alueen kanssa.

Toiminto Verkkotunnus Alue
y = ilman-1x[-yksitoista][-p/2, p/2]
y = cos-1x[-yksitoista][0, p]
y = kosek-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-yksitoista)[0, π] – {π/2}
y = niin-1x R (-p/2, p/2)
y = pinnasänky-1x R (0, p)

Käänteisten trigonometristen funktioiden ominaisuudet

Seuraavat ovat käänteisten trigonometristen funktioiden ominaisuudet:

Omaisuus 1:



  1. ilman-1(1/x) = kosek-1x, jos x ≥ 1 tai x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, jos x ≥ 1 tai x ≤ -1
  3. niin-1(1/x) = pinnasänky-1x, jos x> 0

Omaisuus 2:

  1. ilman-1(-x) = -sin-1x, x ∈ [-1 , 1]
  2. niin-1(-x) = -rusketus-1x, kun x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -kosek-1x, |x| ≥ 1

Kiinteistö 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, |x| ≥ 1
  3. pinnasänky-1(-x) = π – pinnasänky-1x, kun x ∈ R

Kiinteistö 4

  1. ilman-1x + cos-1x = π/2, x ∈ [-1,1]
  2. niin-1x + pinnasänky-1x = π/2, kun x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2, |x|:lle ≥ 1

Kiinteistö 5

  1. niin-1x + niin-1y = niin-1( x + y )/(1 – xy), kun xy <1
  2. niin-1x - niin-1y = niin-1(x – y)/(1 + xy), jos xy> -1
  3. niin-1x + niin-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), jos xy>1 ; x, y> 0

Kiinteistö 6

  1. 2 tan-1x = synti-1(2x)/(1 + x2), |x| ≤ 1
  2. 2 tan-1x = cos-1(1-x2)/(1 + x2), jos x ≥ 0
  3. 2 tan-1x = niin-1(2x)/(1 – x2), -1

Käänteisen trigonometrisen funktion identiteetit

Seuraavat ovat käänteisten trigonometristen funktioiden tunnisteet:

  1. ilman-1(sin x) = x edellyttäen, että -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x edellyttäen, että 0 ≤ x ≤ π
  3. niin-1(rusketus x) = x edellyttäen -π/2
  4. ilman-1x) = x edellyttäen, että -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x edellyttäen, että -1 ≤ x ≤ 1
  6. niin niin-1x) = x edellyttäen, että x ∈ R
  7. cosec(kosek-1x) = x edellyttäen, että -1 ≤ x ≤ ∞ tai -∞
  8. sek (sek-1x) = x edellyttäen, että 1 ≤ x ≤ ∞ tai -∞
  9. pinnasänky (pinnasänky-1x) = x edellyttäen -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2 synti-1x = synti-12x√(1 – x2)
  15. 3 sin-1x = synti-1(3x-4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3-3x)
  17. 3 tan-1x = niin-1((3x – x3/1 - 3x2))
  18. ilman-1x + synti-1y = ilman-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. ilman-1x – synti-1y = ilman-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – ja2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – ja2)}
  22. niin-1x + niin-1y = niin-1(x + y/1 – xy)
  23. niin-1x - niin-1y = niin-1(x – y/1 + xy)
  24. niin-1x + niin-1ja +rusketus-1z = niin-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ihmiset katsovat myös:

Esimerkkiongelmat käänteisistä trigonometrisista identiteeteistä

Kysymys 1: Kokeile ilman -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Ratkaisu:

Anna ilman-1x = y

⇒ sin y = x , (koska sin y = kohtisuora/hypotenuusa ⇒ cos y = √(1- kohtisuora2)/hypotenuusa )

⇒ cos y = √(1 – x2), tässä hypotenuusa = 1

⇒ sek y = 1/cos y

⇒ s y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ ilman-1x = sek-11/√(1 – x2)

Näin ollen todistettu.

Kysymys 2: Yritä niin -1 x = kosek -1 √(1 + x 2 )/x

Ratkaisu:

Anna niin-1x = y

⇒ tan y = x, kohtisuora = x ja kanta = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (koska hypotenuusa = √(pystysuora2+ pohja2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = kosek-1√(x2+ 1)/x

⇒ niin-1x = kosek-1√(x2+ 1)/x

Näin ollen todistettu.

Kysymys 3: Arvioi itsesi -1 x)

Ratkaisu:

Anna cos-1x = y

⇒ cos y = x, kanta = x ja hypotenuusa = 1, joten sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/x

⇒ y = niin-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1x = niin-1√(1 – x2)/x

Siksi tan(cos-1x) = tan(rusketus-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

Kysymys 4: niin -1 √(sin x) + pinnasänky -1 √(sin x) = y. Etsi cos ja.

Ratkaisu:

Tiedämme sen rusketuksen-1x + pinnasänky-1x = /2, joten vertaamalla tätä identiteettiä kysymyksessä annettuun yhtälöön saadaan y = π/2

Siten cos y = cos π/2 = 0.

Kysymys 5: niin -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)rusketus -1 x, x> 0. Ratkaise x.

Ratkaisu:

niin-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)rusketus-1x

⇒ 2 tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x …(1)

Tiedämme sen, 2tan-1x = niin-12x/(1 – x2).

Siksi yhtälön (1) LHS voidaan kirjoittaa muodossa

niin-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= niin-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= niin-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= niin-1(1-x2)/(2x)

Koska, LHS = RHS siis

niin-1(1-x2)/(2x) = rusketus-1x

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Koska x:n on oltava suurempi kuin 0, joten x = 1/√3 on hyväksyttävä vastaus.

Kysymys 6: Yritä niin -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Ratkaisu:

Anna niin-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ niin2y = x

Siksi,

RHS = (1/2)cos-1(1- niin2y)/(1 + rusketus2ja)

= (1/2)kust-1(cos2ja ilman2y)/(cos2ja + ilman2ja)

= (1/2)kust-1(cos2ja ilman2ja)

= (1/2)kust-1(hinta 2v)

= (1/2) (2v)

= ja

= niin-1√x

= LHS

Näin ollen todistettu.

Kysymys 7: niin -1 (2x)/(1 – x 2 ) + pinnasänky -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Ratkaisut:

niin-1(2x)/(1 – x2) + pinnasänky-1(1-x2)/(2x) = π/2

⇒ niin-1(2x)/(1 – x2) + niin-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2 tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ niin-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 tai x = -1 – √2

Mutta kysymyksen x ∈ (-1, 1) mukaan annetulle yhtälölle ratkaisujoukko on x ∈ ∅.

Kysymys 8: niin -1 1/(1 + 1,2) + rusketus -1 1/(1 + 2,3) + … + niin -1 1/(1 + n(n + 1)) = ruskea -1 x. Ratkaise x.

Ratkaisu:

niin-11/(1 + 1,2) + rusketus-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = ruskea-1x

⇒ niin-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + rusketus-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + niin-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = ruskea-1x

⇒ (niin-12 - niin-11) + (niin-13 – niin-12) + … + (niin-1(n + 1) – niin-1n) = niin-1x

⇒ niin-1(n + 1) – niin-11 = niin-1x

⇒ niin-1n/(1 + (n + 1).1) = ruskea-1x

⇒ niin-1n/(n + 2) = ruskea-1x

⇒ x = n/(n + 2)

Kysymys 9: Jos 2tan -1 (ilman x:tä) = niin -1 (2 s x) ja ratkaise sitten x.

Ratkaisu:

2 tan-1(ilman x:tä) = niin-1(2 s x)

⇒ niin-1(2sin x)/(1 – synti2x) = niin-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – synti2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 tai sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 tai tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 tai x = π/4

Mutta kohdassa x = π/2 annettua yhtälöä ei ole olemassa, joten x = π/4 on ainoa ratkaisu.

Kysymys 10: Todista, että pinnasänky -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Ratkaisu:

Olkoon siis x = 2y

LHS = pinnasänky-1[{√(1+sin 2v) + √(1-sin 2v)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= pinnasänky-1[{√(cos2ja + ilman2y + 2sin y cos y) + √(cos2ja + ilman2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2ja + ilman2y + 2sin y cos y) – √(cos2ja + ilman2y – 2sin ja cos y)} ]

= pinnasänky-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √ (cos ja – sin ja)2}]

= pinnasänky-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= pinnasänky-1(2cos y)/(2sin y)

= pinnasänky-1(pinnasänky ja)

= ja

= x/2.

Harjoittele käänteisten trigonometristen identiteettien ongelmia

Tehtävä 1: Ratkaise x yhtälössä sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Tehtävä 2: Todista rusketus -1 (1) + niin -1 (2) + niin -1 (3) = s

Tehtävä 3: Arvioi cos⁡(ilman -1 (0,5))

Ongelma 4: Jos rusketus -1 (x) + rusketus -1 (2x) = π/4, etsi sitten x

Käänteisiä trigonometrisiä identiteettejä koskevat usein kysytyt kysymykset

Mitä ovat käänteiset trigonometriset funktiot?

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat trigonometristen perusfunktioiden (sini, kosini, tangentti, kosekantti, sekantti ja kotangentti) käänteisfunktioita. Niitä käytetään kulmien löytämiseen, jotka vastaavat annettuja trigonometrisiä suhteita.

Miksi käänteiset trigonometriset funktiot ovat tärkeitä?

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat välttämättömiä eri aloilla, kuten geometriassa, tekniikassa ja fysiikassa, koska ne auttavat määrittämään kulmia trigonometrisista suhteista, mikä on ratkaisevan tärkeää monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa.

Mitkä ovat käänteisten trigonometristen funktioiden alueet ja alueet?

Jokaisella käänteisellä trigonometrisella funktiolla on tietyt alueet ja alueet:

s sisään -1 (x) : Verkkotunnus [-1, 1] ja alue [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : Verkkotunnus [-1, 1] ja alue [0, π]

niin -1 (x) : Domain R ja alue (- π/2, π/2)

Voidaanko käänteisiä trigonometrisiä funktioita käyttää laskennassa?

Kyllä, käänteisiä trigonometrisiä funktioita käytetään usein laskennassa integrointiin ja differentiointiin. Ne ovat erityisen hyödyllisiä integroitaessa funktioita, jotka sisältävät trigonometrisiä lausekkeita.