Trigonometriset identiteetit ovat erilaisia ​​identiteettejä, joita käytetään yksinkertaistamaan erilaisia ​​trigonometrisiä funktioita sisältäviä monimutkaisia ​​yhtälöitä. Trigonometria on matematiikan haara, joka käsittelee kolmion sivujen ja kulmien välistä suhdetta. Nämä suhteet määritellään kuuden suhteen muodossa, joita kutsutaan ns. trigonometriset suhteet – sin, cos, tan, cot, sec ja cosec.

Laajennetulla tavalla tutkitaan myös kulmia, jotka muodostavat kolmion alkiot. Loogisesti, keskustelu kolmion ominaisuuksista; kolmion ratkaiseminen ja fyysiset ongelmat korkeuksien ja etäisyyksien alueella kolmion ominaisuuksien avulla – kaikki ovat osa tutkimusta. Se tarjoaa myös menetelmän trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Sisällysluettelo

• Mitä ovat trigonometriset identiteetit?
• Trigonometristen identiteettien luettelo
• Käänteiset trigonometriset identiteetit
• Pythagoraan trigonometriset identiteetit
• Trigonometriset suhdeidentiteetit
• Vastakkaisten kulmien trigonometriset identiteetit
• Täydentävät kulmat -identiteetit
• Täydentävät kulmien identiteetit
• Trigonometrisen funktion jaksollisuus
• Summa- ja ero-identiteetit
• Kaksoiskulma-identiteetit
• Puolikulmakaavat
• Muutama puolikulma-identiteetti
• Tuote-summa-identiteetit
• Tuotteiden identiteetit
• Kolmoiskulmakaavat
• Todiste trigonometrisista identiteeteistä
• Kolmion kulmien ja sivujen välinen suhde
• Usein kysytyt kysymykset trigonometrisista identiteeteistä

Mitä ovat trigonometriset identiteetit?

Yhtälöä, joka sisältää kulman trigonometriset suhteet, kutsutaan trigonometriseksi identiteetiksi, jos se on totta kulman kaikille arvoille. Nämä ovat hyödyllisiä aina, kun trigonometriset funktiot ovat mukana lausekkeessa tai yhtälössä. Kuusi trigonometristä perussuhdetta ovat sini, kosini, tangentti, kosekantti, sekantti ja kotangentti . Kaikki nämä trigonometriset suhteet määritetään käyttämällä oikean kolmion sivuja, kuten viereistä sivua, vastakkaista sivua ja hypotenuusapuolta.

Trigonometriset identiteetit

Trigonometristen identiteettien luettelo

Trigonometrian tutkimuksessa on paljon identiteettiä, joka sisältää kaikki trigonometriset suhteet. Näitä identiteettejä käytetään ratkaisemaan erilaisia ​​akateemisen maiseman ja todellisen elämän ongelmia. Oppikaamme kaikki perustavanlaatuiset ja edistyneet trigonometriset identiteetit.

Käänteiset trigonometriset identiteetit

Kaikissa trigonometrisissa suhteissa suhdeparin välillä on vastavuoroinen suhde, joka esitetään seuraavasti:

• sin θ = 1/kosek θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• sek θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/vauvansänky θ
• pinnasänky θ = 1/tan θ

Pythagoraan trigonometriset identiteetit

Pythagoraan trigonometriset identiteetit perustuvat suoran kolmion lauseeseen tai Pythagoraan lause , ja ne ovat seuraavat:

• ilman²θ + cos²θ = 1
• 1 + niin²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + pinnasänky²i

Lue lisää aiheesta Pythagoraan trigonometriset identiteetit .

Trigonometriset suhdeidentiteetit

Tan ja cot määritellään sinin ja cosin suhteeksi, joka saadaan seuraavilla identiteeteillä:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Vastakkaisten kulmien trigonometriset identiteetit

Trigonometriassa myötäpäivään mitattu kulma mitataan negatiivisella pariteetilla ja kaikki negatiiviselle kulman pariteetille määritellyt trigonometriset suhteet määritellään seuraavasti:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• pinnasänky (-θ) = -sänky θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -kosek θ

Täydentävät kulmat -identiteetit

Täydentävät kulmat ovat kulmien pari, joiden mitat ovat yhteenlaskettu 90°. Nyt täydentävien kulmien trigonometriset identiteetit ovat seuraavat:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = pinnasänky θ
• pinnasänky (90° – θ) = rusketus θ
• sek (90° – θ) = kosek θ
• kosek (90° – θ) = sek θ

Täydentävät kulmien identiteetit

Täydentävät kulmat ovat kulmapareja, joiden mitat ovat yhteensä 180°. Nyt lisäkulmien trigonometriset identiteetit ovat:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• kosek (180°- θ) = kosek θ
• s (180°- 8) = -s 9
• tan (180°-9) = -tan 9
• pinnasänky (180°- θ) = -sänky θ

Trigonometrisen funktion jaksollisuus

Trigonometriset funktiot kuten sin, cos, tan, cot, sec ja cosec ovat kaikki luonteeltaan jaksollisia ja niillä on erilainen jaksollisuus. Seuraavat trigonometrisen suhteen identiteetit selittävät niiden jaksollisuuden.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• kosek (n × 360° + θ) = kosek θ
• kosek (2nπ + θ) = kosek θ
  
• s (n × 360° + θ) = sek θ
• sek (2nπ + θ) = sek θ
  
• pinnasänky (n × 180° + θ) = pinnasänky θ
• pinnasänky (nπ + θ) = pinnasänky θ

Missä, n ∈ KANSSA, (Z = kaikkien kokonaislukujen joukko)

Huomautus: sin, cos, cosec ja sec jakso on 360° tai 2π radiaania, ja tan- ja cot-jaksolla on 180° tai π radiaania.

Summa- ja ero-identiteetit

Trigonometriset identiteetit summalle ja erolle kulma sisältää kaavat, kuten sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) jne.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• rusketus (A+B) = (rusketus A + rusketus B)/(1 – rusketus A rusketus B)
• rusketus (A-B) = (rusketus A – rusketus B)/(1 + rusketus A rusketus B)

Huomautus: Synti (A+B), sin (A-B), cos (A+B) ja cos (A-B) ovat identiteettejä. Ptolemaioksen identiteetit .

Kaksoiskulma-identiteetit

Käyttämällä kulmien summan trigonometrisiä identiteettejä voimme löytää uuden identiteetin, jota kutsutaan kaksoiskulman identiteetiksi. Löytääksemme nämä identiteetit voimme laittaa A = B kulmaidentiteettien summaan. Esimerkiksi,

a tiedämme, synti (A+B) = synti A cos B + cos A synti B

Korvaa A = B = θ molemmilla puolilla tässä, ja saamme:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Samalla lailla,

• cos 2θ = cos ² θ – synti ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – synti ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Lue lisää aiheesta Kaksoiskulma-identiteetit .

Puolikulmakaavat

Kaksoiskulmakaavojen avulla voidaan laskea puolikulmakaavoja. Puolikulmakaavojen laskemiseksi korvaa θ arvolla θ/2, sitten

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Lue lisää aiheesta Puolikulman identiteetit .

Muutama puolikulma-identiteetti

Edellä mainittujen identiteettien lisäksi on olemassa joitain muita puolikulma-identiteettejä, jotka ovat seuraavat:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Tuote-summa-identiteetit

Seuraavat identiteetit ilmaisevat suhteen kahden trigonometrisen suhteen summan ja kahden trigonometrisen suhteen tulon välillä.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Tuotteiden identiteetit

Tuoteidentiteetit muodostetaan, kun lasketaan yhteen kaksi kulman identiteettien summasta ja erotuksesta, ja ne ovat seuraavat:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Kolmoiskulmakaavat

Muut kuin kaksois- ja puolikulmakaavat, trigonometrisille suhteille on identiteetit, jotka on määritelty kolmoiskulmalle. Nämä identiteetit ovat seuraavat:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Lue lisää aiheesta Kolmikulmaiset identiteetit .

Todiste trigonometrisista identiteeteistä

Todista, että mikä tahansa terävä kulma θ

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. ilman ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + niin ² θ = sek ² i
6. 1 + pinnasänky ² θ = kosek ² i

Todiste:

Tarkastellaan suorakulmaista △ABC:tä, jossa ∠B = 90°

Olkoon AB = x yksikköä, BC = y yksikköä ja AC = r yksikköä.

Sitten,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Sitten Pythagoraan lauseen mukaan meillä on

x²+ ja²= r².

Nyt,

(4) ilman²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (ja²/r²+ x²/r²)

= (x²+ ja²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ ja²= r²]

ilman ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + niin²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (ja²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ ja²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + rusketus ² θ = sek ² i.

(6) 1 + pinnasänky²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/ja²= (x²+ ja²)/ja²= r²/ja²[x²+ ja²= r²]

(r²/ja²) = kosek²i

∴ 1 + pinnasänky ² θ = kosek ² i

Kolmion kulmien ja sivujen välinen suhde

Kolme sääntöä, jotka liittivät kolmioiden sivut kolmioiden sisäkulmiin:

• Hänen sääntönsä
• Kosinisääntö
• Tangentin sääntö

Jos kolmio ABC, jonka sivut a, b ja c ovat vastakkaisia ​​sivuja ∠A, ∠B ja ∠C kanssa vastaavasti, niin

Hänen sääntönsä

Hänen säännöt ilmaisee kolmion sivujen ja kulmien välisen suhteen, joka on sivua vastakkaisen kulman sivun ja sinin suhde, joka pysyy aina samana kolmion kaikilla kulmilla ja sivuilla ja esitetään seuraavasti:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinisääntö

Kosinisääntö sisältää kaikki sivut, ja yksi kolmion sisäkulma on annettu seuraavasti:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

TAI

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

TAI

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangentin sääntö

• Tangenttisäännössä määritellään myös kolmion sivujen ja sisäkulman välinen suhde tangentin trigonometrisen suhteen avulla, joka on seuraava:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Myös Lue

• Trigonometria korkeus ja etäisyys
• Trigonometrinen taulukko

Ratkaistu esimerkki trigonometrisista identiteeteistä

Esimerkki 1: Todista, että (1 – synti ² θ) sek ² θ = 1

Ratkaisu:

Meillä on:

LHS = (1 – synti²θ) sek²i

= cos²θ. sek²i

= cos²θ. (1/hinta²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Näin todistettu]

Esimerkki 2: Todista, että (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Ratkaisu:

Meillä on:

LHS = (1 + rusketus²θ)cos²i

⇒ LHS = sek²θ. cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ) . cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Näin todistettu]

Esimerkki 3: Todista, että (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Ratkaisu:

Meillä on:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + pinnasänky²θ – 1) niin²i

⇒ LHS = pinnasänky²θ. niin²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). niin²i

np pehmuste

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Näin todistettu]

Esimerkki 4: Todista, että (sek ⁴ θ – sek ² θ) = (ruskea ² θ + rusketus ⁴ i)

Ratkaisu:

Meillä on:

LHS = (sek⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sek²θ (sek²minä - 1)

⇒ LHS = (1 + rusketus²θ) (1 + tan²minä - 1)

⇒ LHS = (1 + rusketus²θ) niin²i

⇒ LHS = (ruskea²θ + rusketus⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Näin todistettu]

Esimerkki 5: Todista, että √(s ² θ + kosek ² θ) = (tanθ + cotθ)

Ratkaisu:

Meillä on:

LHS = √ (sek²θ + kosek²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + pinnasänky²i))

⇒ LHS = √(ruskea²θ + pinnasänky²minä + 2)

⇒ LHS = √(ruskea²θ + pinnasänky²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [täten todistettu]

Harjoittele kysymyksiä trigonometrisista identiteeteistä

Q1: Yksinkertaista ilmaisufrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Todista identiteetti tan (x) . pinnasänky(x) = 1.

Q3: Näytä sefrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Yksinkertaistaasin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Todista henkilöllisyyscos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Yksinkertaistaafrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Todista henkilöllisyyssec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Usein kysytyt kysymykset trigonometrisista identiteeteistä

Mikä on trigonometrinen identiteetti?

Trigonometrinen identiteetti on yhtälö, joka yhdistää erilaisia ​​trigonometrisiä toimintoja, kuten sin, cos, tan, cot, sec ja cosec.

Kuinka todistaa trigonometriset identiteetit?

Trigonometristen identiteettien todistamiseen on useita menetelmiä, joista yksi on 6 tärkeimmän trigonometrisen tunnetun identiteetin käyttäminen lausekkeen uudelleenkirjoittamiseen eri muodossa. Kuten kaikki muutkin todisteet, työskentelemme yhden puolen kanssa saadaksemme lausekkeen, joka on identtinen yhtälön toisen puolen kanssa.

Kuinka monta trigonometristä identiteettiä on?

Trigonometrisiä identiteettejä on paljon, koska mikä tahansa identiteetti voi olla jollain vaihtelulla, on edelleen identiteettiä. Siksi emme voi sanoa tarkalleen kuinka monta identiteettiä on.

Kuinka muistaa kaikki trigonometriset identiteetit?

Helpoin tapa muistaa kaikki identiteetit on harjoitella identiteettiin liittyviä ongelmia. Joka kerta kun ratkaiset ongelman jollakin identiteetillä, tarkistat tätä identiteettiä ja lopulta siitä tulee toinen luonto sinulle.

Kirjoita kolme tärkeintä trigonometristä funktiota.

Kolme trigonometriassa käytettyä pääfunktiota ovat sini, kosini ja tangentti.
sin θ = Perpendicular/ Hypotenuse
cos θ = emäs/hypotenuusa
tan θ = kohtisuora/kanta

Mikä on Pythagoras-lause?

Pythagoras-lause esittää suorakulmaisessa kolmiossa, jonka sivut ovat Hypotenuse(H), Perpendicular(P) ja kanta(B), niiden välinen suhde saadaan seuraavasti:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Kirjoita trigonometristen identiteettien käyttötavat.

Trigonometrisiä identiteettejä käytetään monimutkaisten trigonometristen funktioiden ongelmien ratkaisemiseen. Niitä käytetään aaltoyhtälöiden laskemiseen, harmonisen oskillaattorin yhtälöön, geometristen kysymysten ja muiden ongelmien ratkaisemiseen.

Kirjoita kahdeksan perustavaa trigonometristä identiteettiä.

Kahdeksan perusidentiteettiä trigonometriassa ovat:

• sin θ = 1/kosek θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/vauvansänky θ
• ilman²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ niin²θ = sek²i
• pinnasänky θ = cosθ/sinθ
• 1+ pinnasänky²θ = kosek²i