Matriisin LU-hajotus on tietyn neliömatriisin tekijöiden jakamista kahdeksi kolmiomatriisiksi, yhdeksi ylemmiksi kolmiomatriisiksi ja yhdeksi alemmaksi kolmiomatriisiksi siten, että näiden kahden matriisin tulo antaa alkuperäisen matriisin. Sen esitteli Alan Turing vuonna 1948, joka myös loi Turingin koneen.

LU-hajotusmenetelmällä matriisin kertoimella kahden kolmiomatriisin tulona on useita sovelluksia, kuten yhtälöjärjestelmän ratkaisu, joka itsessään on olennainen osa monia sovelluksia, kuten virran löytäminen piirissä ja diskreettien dynaamisten järjestelmäongelmien ratkaisu. ; matriisin käänteisarvon löytäminen ja matriisin determinantin löytäminen.

Mikä on L U -hajoaminen?

Neliömatriisi A voidaan jakaa kahdeksi neliömatriisiksi L ja U siten, että A = L U jossa U on ylempi kolmiomatriisi, joka on muodostettu Gaussin eliminointimenetelmän soveltamisen tuloksena A:lle, ja L on alempi kolmiomatriisi, jonka diagonaaliset elementit ovat yhtä suuri kuin 1.

A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

yhdistä java

Meillä on L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} ja U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Sellainen, että A = L U elileft[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Tässä arvo l_{kaksikymmentäyksi}, sisään_yksitoistajne. voidaan verrata ja löytää.

Mikä on Gaussin eliminaatiomenetelmä?

Gaussin eliminaatio, joka tunnetaan myös nimellä Gauss-Jordan Eliminaatio, on menetelmä, jota käytetään lineaarisessa algebrassa lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen ja matriisin käänteisarvon löytämiseen. Se on nimetty matemaatikko Carl Friedrich Gaussin ja myös matemaatikko Wilhelm Jordanin mukaan, jotka ovat antaneet merkittävän panoksen sen kehittämiseen.

Gaussin eliminointimenetelmän mukaan:

1. Minkä tahansa nollarivin tulee olla matriisin alaosassa.
2. Jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan merkinnän tulee olla edellisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan merkinnän oikealla puolella. Tämä menetelmä pienentää matriisin rivitason muotoon.

LU:n hajoamismenetelmä

Jos haluat tehdä minkä tahansa neliömatriisin kahdeksi kolmiomatriisiksi, eli toinen on alempi kolmiomatriisi ja toinen on ylempi kolmiomatriisi, voimme käyttää seuraavia vaiheita.

• Kun annetaan joukko lineaarisia yhtälöitä, muunna ne ensin matriisimuotoon A X = C, jossa A on kerroinmatriisi, X on muuttujamatriisi ja C on yhtälöiden oikealla puolella oleva lukumatriisi.
• Pienennä nyt kerroinmatriisi A, eli matriisi, joka on saatu muuttujien kertoimista kaikissa annetuissa yhtälöissä siten, että 'n'-muuttujille meillä on nXn-matriisi, rivimuotoon käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää. Näin saatu matriisi on U.
• L:n löytämiseksi meillä on kaksi tapaa. Ensimmäinen on olettaa loput elementit keinotekoisiksi muuttujiksi, tehdä yhtälöt käyttäen A = L U ja ratkaista ne näiden keinotekoisten muuttujien löytämiseksi. Toinen tapa on, että loput alkiot ovat kertoimia, joiden vuoksi vastaavista paikoista tuli nolla U-matriisissa. (Tämä menetelmä on hieman hankala ymmärtää sanoin, mutta se selviää alla olevasta esimerkistä)
• Nyt meillä on A (nXn-kerroinmatriisi), L (nXn-alempi kolmiomatriisi), U (nXn-ylempi kolmiomatriisi), X (muuttujien nX1-matriisi) ja C (nX1-lukumatriisi oikealla) yhtälöiden kääntöpuoli).
• Annettu yhtälöjärjestelmä on A X = C. Korvaamme A = L U. Siten meillä on L U X = C. Laitamme Z = U X, missä Z on matriisi tai keinotekoisia muuttujia ja ratkaise ensin L Z = C ja sitten U X = Z löytääksesi X tai muuttujien arvot, mikä vaadittiin.

Esimerkki LU:n hajoamisesta

Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä LU-hajotusmenetelmällä:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Ratkaisu: Tässä meillä on A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

ja

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

siten, että A X = C. Tarkastellaan nyt ensin

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

ja muuntaa se riviportaan muotoon käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää. Siis tekemällä

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

saamme

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Nyt tekemällä

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Saamme

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Muista aina pitää ’-’-merkki välissä, korvaa ‘+’-merkki kahdella ’–’-merkillä) Tästä syystä saamme L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

ja U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(huomaa, että L-matriisissa,

l_{21} = 4

on peräisin (1),

pandan keskihajonta

l_{31} = 3

on peräisin (2) ja

l_{32} = -2

on peräisin (3)) Oletetaan nyt Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

ja ratkaise L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Meillä on siis

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Ratkaistiin, saamme

z_1 = 1

,

z_2 = 2

ja

z_3 = 5

. Nyt ratkaisemme U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Siksi saamme

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Siten ratkaisu annettuun lineaariyhtälöjärjestelmään on

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

ja siten matriisi X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Harjoitus LU:n hajoamisesta

Matriisin LU-hajotelmassa

| 2 2 |
| 4 9 |

nukkua js:ssä

, jos U:n diagonaaliset elementit ovat molemmat 1, niin L:n alempi diagonaalitulo l22 on (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Ratkaisu, katso PORTTI | GATE-CS-2015 (sarja 1) | Kysymys 65 .

Usein kysyttyä LU:n hajoamisesta

Mikä on LU-hajotusmenetelmä?

LU-hajotus, lyhenne sanoista Lower-Upper decomposition, on matriisitekijöiden laskentatekniikka, jota käytetään jakamaan neliömatriisi alemman kolmiomatriisin (L) ja ylemmän kolmiomatriisin (U) tuloksi. Sitä käytetään yleisesti yksinkertaistamaan lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemista ja determinanttien laskemista.

Miksi LU-hajoaminen on ainutlaatuinen?

LU-hajotus on ainutlaatuinen, koska se tarjoaa tavan jakaa neliömatriisi A yksilöllisesti alemmiksi ja ylemmiksi kolmiomatriiseiksi (L ja U), mikä mahdollistaa lineaaristen järjestelmien tehokkaan ratkaisemisen ja determinanttien laskennan.

Miten LU:n hajoaminen lasketaan?

LU-hajotelma lasketaan Gaussin eliminoinnilla, jossa neliömatriisi A muunnetaan alemmiksi (L) ja ylemmiksi (U) kolmiomatriiseiksi suorittamalla rivioperaatioita ja samalla seurataan eri matriisien muutoksia. Tämä prosessi on iteratiivinen ja jatkuu, kunnes A on täysin hajotettu. Menetelmä, jossa on kaikki LU-hajottamisen vaiheet, on annettu artikkelissa.

Milloin LU:n hajoaminen ei ole mahdollista?

LU-hajotus ei ehkä ole mahdollista, kun matriisi A on singulaarinen (ei-invertoitava) tai kun se vaatii kääntymistä stabiilisuuden vuoksi, mutta nivelelementistä tulee nolla, mikä aiheuttaa jaon nollalla hajoamisprosessin aikana.

Onko LU-hajoamiselle vaihtoehtoja?

Kyllä, LU-hajoamisen vaihtoehtoja ovat Cholesky-hajoaminen symmetrisille positiivisille määrätyille matriiseille, QR-hajotus yleismatriiseille ja ominaisarvopohjaiset menetelmät, kuten spektrihajotus ja singulaaristen arvon hajottelu (SVD) erilaisille matriisioperaatioille ja sovelluksille.

Voidaanko LU-hajottelua soveltaa ei-neliömatriiseihin?

LU-hajotelmaa sovelletaan tyypillisesti neliömatriiseihin. Suorakulmamatriiseissa käytetään yleisemmin QR-hajottelua. Kuitenkin muunnelmat, kuten LUP-hajotus, voivat käsitellä myös suorakulmaisia ​​matriiseja, joissa P on permutaatiomatriisi.