Oletetaan, että on olemassa kaksi yhdistelmälausetta, X ja Y, jotka tunnetaan loogisena ekvivalenssina silloin ja vain, jos molempien totuustaulukko sisältää sarakkeissaan samat totuusarvot. Symbolin = tai ⇔ avulla voimme esittää loogisen ekvivalenssin. Joten X = Y tai X ⇔ Y on näiden lauseiden looginen ekvivalenssi.
Loogisen ekvivalenssimääritelmän avulla olemme selventäneet, että jos yhdistetyt lauseet X ja Y ovat loogisia ekvivalensseja, tässä tapauksessa X ⇔ Y täytyy olla Tautologia.
Loogisen ekvivalenssin lait
Tässä laissa käytämme AND- ja OR-symboleja selittämään loogisen ekvivalenssin lakia. Tässä JA ilmaistaan symbolin ∧ avulla ja TAI symbolin ∨ avulla. Loogisella vastaavuudella on erilaisia lakeja, jotka kuvataan seuraavasti:
Idempotentti laki:
saareke java
Idempotentissa laissa käytämme vain yhtä lausetta. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme kaksi samaa lausetta symbolien ∧(ja) ja ∨(tai) kanssa, tuloksena oleva lause on itse lause. Oletetaan, että on yhdistelmälause P. Idempotentin lain ilmaisemiseen käytetään seuraavaa merkintää:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Tämän lain totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P, P ∨ P ja P ∧ P.
Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ P = P ja P ∧ P = P.
Kommutatiiviset lait:
Näitä kahta lausetta käytetään osoittamaan kommutatiivista lakia. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme kaksi lausetta symbolilla ∧(ja) tai ∨(tai), niin resultanttilause on sama, vaikka muuttaisimme lauseiden paikkaa. Oletetaan, että lauseita on kaksi, P ja Q. Näiden väitteiden väite on epätosi, kun molemmat lauseet P ja Q ovat vääriä. Kaikissa muissa tapauksissa se on totta. Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan kommutatiivista lakia:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | K | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P ∨ Q ja Q ∨ P.
Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ Q ? Q ∨ P.
Sama kuin voimme todistaa P ∧ Q ? Q ∧ P.
Yhdistyslaki:
Kolmea lausetta käytetään assosiatiivisen lain osoittamiseen. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme kolme lausetta hakasulkujen avulla symbolilla ∧(ja) tai ∨(tai), niin tuloksena oleva lause on sama, vaikka sulujen järjestystä muutetaan. Tämä tarkoittaa, että tämä laki on riippumaton ryhmittymästä tai yhdistyksestä. Oletetaan, että lauseita P, Q ja R on kolme. Näiden väitteiden väite on epätosi, kun P, Q ja R ovat vääriä. Kaikissa muissa tapauksissa se on totta. Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan assosiaatiolakia:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | K | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot P ∨ (Q ∨ R) ja (P ∨ Q) ∨ R sarakkeissa.
Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Sama kuin voimme todistaa P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Jakelulaki:
Kolmea lausetta käytetään osoittamaan jakautumislakia. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme lauseen symbolilla ∨(OR) kahden muun lauseen kanssa, jotka on liitetty symbolilla ∧(AND), tuloksena oleva lauseke on sama, vaikka yhdistäisimme lauseet erikseen symboli ∨(OR) ja yhdistetyt lauseet ∧(AND) kanssa. Oletetaan, että lauseita P, Q ja R on kolme. Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan distributiivista lakia:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | K | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P ∨ (Q ∧ R) ja (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Sama kuin voimme todistaa P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Identiteettilaki:
Yhtä lausetta käytetään osoittamaan identiteettilaki. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme lauseen ja True-arvon symboliin ∨(tai), se tuottaa True-arvon. Jos yhdistämme lauseen ja väärän arvon symboliin ∧(and), se luo lauseen itse. Samoin teemme tämän vastakkaisilla symboleilla. Tämä tarkoittaa, että jos yhdistämme lauseen ja True-arvon symboliin ∧(and), se luo lauseen itse, ja jos yhdistämme lauseen ja väärän arvon symboliin ∨(tai), se luo Väärä arvo. Oletetaan, että on yhdistelmälause P, oikea arvo T ja väärä arvo F. Seuraavaa merkintää käytetään ilmaisemaan identiteettilaki:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot P ∨ T ja T sarakkeissa. Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ T = T. Samalla tavalla tämä taulukko sisältää samat totuusarvot P ∨ F ja P sarakkeissa. voimme sanoa, että P ∨ F = P.
Sama kuin voimme todistaa P ∧ T ? P ja P ∧ F ? F
Täydentävä laki:
Komplementtilaissa käytetään yksittäistä lausetta. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme lauseen sen komplementtilausekkeen kanssa symbolilla ∨(or), niin se tuottaa True-arvon, ja jos yhdistämme nämä lauseet symboliin ∧(and), se tuottaa False. arvo. Jos kumoamme todellisen arvon, se tuottaa väärän arvon, ja jos kumoamme väärän arvon, se tuottaa todellisen arvon.
linux mint cinnamon vs mate
Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan komplementtilaki:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P ∨ ¬P ja T. Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ ¬P = T. Samalla tavalla tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P ∧ ¬P ja T. F. Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∧ ¬P = F.
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa ¬T ja F. Tästä syystä voimme sanoa, että ¬T = F. Samalla tavalla tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeiden ¬F ja T sarakkeissa. Tästä syystä voimme sanoa, että ¬F = T.
Kaksoisnegaation laki tai involuutiolaki
Yhtä lausetta käytetään osoittamaan kaksoisnegaation laki. Tämän lain mukaan, jos teemme negatiivisen lausunnon negaation, tuloksena oleva lause on itse väite. Oletetaan, että on lause P ja negatiivinen lause ¬P. Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan Double negation laki:
¬(¬P) ? P
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa ¬(¬P) ja P. Tästä syystä voidaan sanoa, että ¬(¬P) = P.
Morganin laista:
Näitä kahta väitettä käytetään osoittamaan De Morganin laki. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme kaksi lausetta symbolilla ∧(AND) ja sitten teemme näiden yhdistettyjen lauseiden negaation, tuloksena oleva lause on sama, vaikka yhdistäisimme molempien lauseiden negaatiot erikseen symboliin ∨( TAI). Oletetaan, että on kaksi yhdistelmälausetta, P ja Q. Seuraavaa merkintää käytetään ilmaisemaan De Morganin laki:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | K | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa ¬(P ∧ Q) ja ¬ P ∨ ¬Q. Tästä syystä voidaan sanoa, että ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Sama kuin voimme todistaa ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorptiolaki:
Näitä kahta lausetta käytetään osoittamaan absorptiolakia. Tämän lain mukaan, jos yhdistämme lauseen P symbolilla ∨(OR) samaan lauseeseen P ja yhteen toiseen lauseeseen Q, jotka yhdistetään symbolilla ∧(AND), niin tuloksena oleva lause on ensimmäinen lause P. Sama tulos syntyy, jos vaihdamme symbolit keskenään. Oletetaan, että on kaksi yhdistelmälausetta, P ja Q. Seuraavaa merkintää käytetään osoittamaan absorptiolakia:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Näiden merkintöjen totuustaulukko on kuvattu seuraavasti:
| P | K | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot P ∨ (P ∧ Q) ja P sarakkeissa. Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Vastaavasti tämä taulukko sisältää samat totuusarvot P ∧ (P ∨ Q) ja P sarakkeissa. Tästä syystä voidaan sanoa, että P ∧ (P ∨ Q) ? P.
powershell-kommentti monirivinen
Esimerkkejä loogisesta ekvivalenssista
Loogisesta vastaavuudesta on useita esimerkkejä. Jotkut niistä on kuvattu seuraavasti:
Esimerkki 1: Tässä esimerkissä määritetään lausekkeen ekvivalenssiominaisuus, joka kuvataan seuraavasti:
p → q ? ¬p ∨ q
Ratkaisu:
Todistamme tämän totuustaulukon avulla, joka kuvataan seuraavasti:
| P | K | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa p → q ja ¬p ∨ q. Tästä syystä voidaan sanoa, että p → q ? ¬p ∨ q.
Esimerkki 2: Tässä esimerkissä määritetään lausekkeen ekvivalenssiominaisuus, joka kuvataan seuraavasti:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Ratkaisu:
mitä google tarkoittaa
| P | K | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Tämä taulukko sisältää samat totuusarvot sarakkeissa P ↔ Q ja (P → Q) ∧ (Q → P). Tästä syystä voidaan sanoa, että P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Esimerkki 3: Tässä esimerkissä käytämme vastaavaa ominaisuutta todistamaan seuraavan väitteen:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q )
Ratkaisu:
Tämän todistamiseksi käytämme joitain yllä kuvatuista laeista ja tästä laista meillä on:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Nyt käytämme kommutatiivista lakia yllä olevassa yhtälössä ja saamme seuraavan:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Nyt käytämme jakautumislakia tässä yhtälössä ja saamme seuraavan:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Nyt käytämme jakautumislakia tässä yhtälössä ja saamme seuraavan:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nyt käytämme komplementtilakia tässä yhtälössä ja saamme seuraavan:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Nyt käytämme identiteettilakia ja saamme seuraavat:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nyt käytämme kommutatiivista lakia tässä yhtälössä ja saamme seuraavan:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Lopuksi yhtälöstä (1) tulee seuraava:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Lopuksi voidaan sanoa, että yhtälöstä (1) tulee p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)