Logaritmisäännöt tai lokisäännöt ovat kriittisiä logaritmisia funktioita sisältävien monimutkaisten formulaatioiden yksinkertaistamisessa. Lokisäännöt helpottavat logaritmien laskemista ja käsittelyä erilaisissa matemaattisissa ja tieteellisissä sovelluksissa. Kaikista näistä lokisäännöistä kolme yleisintä ovat tulosääntö, osamääräsääntö ja tehosääntö. Näiden lisäksi meillä on monia logaritmin sääntöjä, joita käsittelemme artikkelissa lisää. Tässä artikkelissa tarkastellaan kaikkia lokien sääntöjä, mukaan lukien derivaatta ja integraali, yksityiskohtaisesti logaritmisääntöjen esimerkkien kanssa. Joten aloitetaan oppia kaikista logaritmeilla olevista säännöistä.

Sisällysluettelo

• Mitä lokisäännöt ovat?
• Logaritmien tyypit
• Luettelo logaritmisäännöistä
• Luonnollisen lokin säännöt
• Logaritmin sovellukset
• Logaritmien tuotesääntö
• Logaritmin tehosääntö
• Logaritmien osamääräsääntö
• Ratkaistiin esimerkkejä lokisäännöistä
• Harjoittele lokin sääntöjä koskevia kysymyksiä

Mitä lokisäännöt ovat?

Matematiikan logaritmissäännöt ovat sääntöjä ja lakeja, joita käytetään logaritmisen funktiolausekkeiden yksinkertaistamiseen ja manipulointiin. Nämä periaatteet luovat suhteita eksponentiaalisten ja logaritmisen muotojen välille ja antavat systemaattisen tekniikan monimutkaisten logaritmien laskutoimitusten käsittelyyn.

Tärkeimmät säännöt ovat seuraavat: tuotesääntö : jonka avulla voimme jakaa logaritmin tulon erillisten logaritmien summaksi; osamääräsääntö : jonka avulla voimme jakaa logaritmin osamäärän logaritmien erotukseksi; tehosääntö: jonka avulla voimme erottaa eksponentit logaritmin sisältä; peruskytkinsääntö tai perussäännön muutos : jonka avulla voimme muuttaa logaritmin kantaa.

Nämä lait ovat ratkaisevan tärkeitä monissa matemaattisissa ja tieteellisissä sovelluksissa, ja ne tekevät logaritmeista arvokkaan työkalun yhtälöiden ratkaisemiseen, eksponentiaalisen kasvun mallintamiseen ja suurten tietomäärien analysointiin.

Logaritmien tyypit

Käsittelemme yleensä kahdenlaisia ​​logaritmeja:

• Yleinen logaritmi
• Luonnollinen logaritmi

Huomautus: Voi olla logaritmi, jonka perustana on mikä tahansa reaaliluku, mutta nämä kaksi eli yhteinen ja luonnollinen logaritmi ovat yleisimmät ja vakiologaritmi.

Keskustellaan näistä tyypeistä yksityiskohtaisesti.

Yhteinen logaritmi

Yleinen logaritmi, joka tunnetaan usein nimellä log base 10 tai yksinkertaisesti log, on matemaattinen funktio, joka edustaa eksponenttia, johon tiettyä lukua on suurennettava tietyn luvun saavuttamiseksi. Se laskee kymmenen tehon, joka tarvitaan tietyn luvun saamiseksi.

Esimerkiksi loki₁₀(100) on 2, koska 10 korotettuna 2:n potenssiin on 100. 100:n yleinen logaritmi tässä tapauksessa on 2, mikä osoittaa, että 10²= 100. Yleisiä logaritmeja käytetään monilla aloilla, mukaan lukien tieteessä, tekniikassa ja rahoituksessa, yksinkertaistamaan valtavien lukujen esittämistä ja auttamaan laskelmissa, jotka vaativat 10:n tehoja.

Luonnollinen logaritmi

Luonnollinen logaritmi on matemaattinen funktio, joka ilmaisee logaritmin kantaan e (Eulerin luku, noin 2,71828). Se on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo, ja se edustaa aikaa, joka tarvitaan määrän kasvamiseen tai pienenemiseen vakiokertoimella.

Esimerkiksi ln (10) ≈ 2,30259 tarkoittaa, että e kerrottuna luvulla 2,30259 on 10. Luonnollista logaritmia käytetään monilla aloilla, kuten matematiikassa, fysiikassa ja rahoituksessa, kuvaamaan ilmiöitä, jotka osoittavat eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä, kuten väestön laajenemista, radioaktiivinen hajoaminen ja koronkorkolaskelmat.

Mitä ovat logaritmisäännöt?

Logaritmiset operaatiot voidaan suorittaa tiettyjen sääntöjen mukaan. Nämä säännöt tunnetaan nimellä:

• Tuotesääntö
• Osamäärä sääntö
• Nolla sääntö
• Identiteettisääntö
• Power Rule tai eksponentiaalinen sääntö
• Perussäännön muutos
• Vastavuoroinen sääntö

Näiden yleisten sääntöjen lisäksi meillä voi olla myös joitain epätavallisia sääntöjä, kuten:

• Logaritmin käänteinen ominaisuus
• Login johdannainen
• Login integrointi

Tuotteen lokin sääntö

Tulosäännön mukaan tuotteen logaritmi on sen elementtien logaritmien summa.

Kaava: Hirsi_a(XY) = loki_aX + loki_aJA

Esimerkki: Hirsi₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Osamäärä lokin sääntö

Osamääräsääntö väittää, että osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän logaritmien erotus.

Kaava: Hirsi_a(X/Y) = log_aX – loki_aJA

Esimerkki: Hirsi₃(9/3) = log₃(9) – loki₃(3)

Lokin nollasääntö

Nollasäännön mukaan 1:n logaritmi mihin tahansa kantaan on aina 0.

Kaava: Hirsi_a(1) = 0

Esimerkki: Hirsi₄(1) = 0

Lokin identiteettisääntö

Identiteettisäännön mukaan kannan logaritmi itselleen on aina 1.

Kaava: Hirsi_a(a) = 1

Esimerkki: Hirsi₇(7) = 1

Vastavuoroinen sääntö

Logaritmien käänteissäännön mukaan luvun käänteisluvun logaritmi (1 jaettuna tällä luvulla) on yhtä suuri kuin alkuperäisen luvun logaritmin negatiivinen. Matemaattisessa merkinnässä:

kaava: Hirsi_a(1/X) = – log_a(X)

Esimerkki: Hirsi_a(1/2) = – log_a(2)

Power Rule tai eksponentiaalinen lokin sääntö

Potenssisäännön mukaan eksponenttiin korotetun luvun logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentti kerrottuna kantaluvun logaritmilla.

Kaava: Hirsi_a(Xⁿ) = n × log_aX

Esimerkki: Hirsi₅(9²) = 2 × log₅(9)

Lokin perussäännön muutos

Kantaussäännön muutoksen avulla voit laskea eri kannassa olevan luvun logaritmin käyttämällä yhteistä logaritmia (yleensä kanta 10 tai kanta e). Perussäännön muutosta kutsutaan myös Peruskytkinsääntö.

Kaava: Hirsi_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Esimerkki: Hirsi₃(7) = log₁₀(7) / loki₁₀(3)

Logaritmin käänteinen ominaisuus

Logaritmin käänteisominaisuus väittää, että eksponentioidun arvon logaritmin laskeminen tuottaa alkuperäisen eksponentin.

Kaava: Hirsi_a(a) = n

Esimerkki: log₄(4²) = 2

Login johdannainen

Funktion luonnollisen logaritmin derivaatta on funktion käänteisluku kerrottuna funktion derivaatalla.

Kaava: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Esimerkki: Jos y = ln(x²), sitten dy/dx = 2x / x²= 2/x

Login integrointi

Differentioinnin lisäksi voimme myös laskea logaritmin integraalin. Log-funktion integraali annetaan seuraavasti:

Kaava: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Luonnollisen lokin säännöt

Luonnollisen ja yhteisen tukkipuun pohjana on vain ero, joten luonnontukille on samat säännöt kuin tavallisille tuille, joista on jo keskusteltu. Ainoa ero on, että luonnollisissa log-säännöissä käytetään login (yhteisen tukin symboli, jonka kantaluku on 10) sijasta ln (luonnollisen log-kannan e symboli). Nämä säännöt voidaan ilmaista seuraavasti:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• se on^{ln x}= x

Logaritmin sovellukset

Katsotaanpa joitain lokin sovelluksia.

• Käytämme logaritmeja laskeaksemme kemiallisten liuosten happamuutta ja emäksisyyttä.
• Richterin asteikolla lasketaan maanjäristyksen voimakkuus.
• Melun määrä mitataan desibeleinä (dB) logaritmisella asteikolla.
• Logaritmeilla analysoidaan eksponentiaalisia prosesseja, kuten aktiivisten isotooppien suhteiden hajoamista, bakteerien kehitystä, epidemian leviämistä populaatiossa ja kuolleen ruumiin jäähtymistä.
• Lainan takaisinmaksuajan laskemiseen käytetään logaritmia.
• Logaritmia käytetään laskennassa vaikeiden yhtälöiden erottamiseen ja käyrien alle jäävän alueen laskemiseen.

Logaritmien tuotesääntö

Logaritmien tulosäännön mukaan kahden termin kertolasku logaritmi on sama kuin näiden yksittäisten termien logaritmien yhteenlasku. Toisin sanoen tämä sääntö ilmaistaan ​​lokina_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Jatketaan tämän säännön johtamista.

Johtamisprosessi:

Aloitetaan olettamalla loki_b(m) = x ja log_b(n) = y. Muuntamalla molemmat eksponentiaalisiin muotoihinsa saamme:

Hirsi_b(m) = x tarkoittaa m = b^x… (1)

Hirsi_b(n) = y tarkoittaa n = b^ja… (2)

Kun kerromme yhtälöt (1) ja (2) yhdessä,

mn = b^{x .}b^ja

Hyödyntämällä eksponentin kertomisen sääntöjä,

mn = b^{x + y}

Muuntaminen takaisin logaritmiseen muotoon tuottaa

Hirsi_b(mn) = x + y

Korvaamalla x ja y takaisin,

Hirsi_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Näin ollen olemme johtaneet logaritmien tulosäännön. Tätä sääntöä voidaan käyttää useilla tavoilla, kuten:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b On tärkeää huomata, että logaritmien tulosääntö ei koske lokia (m + n), joita ei voida jakaa erillisiin logaritmeihin. Tämä sääntö koskee tiukasti tulon logaritmia, log(mn).

Logaritmin tehosääntö

Logaritmin potenssisääntö sanoo, että kun logaritmin argumentti nostetaan potenssiin, tämä eksponentti voidaan siirtää logaritmin etupuolelle. Toisin sanoen logb mn = n logb m. Tutkitaanpa tämän säännön johtamista.

Johtamisprosessi:

Aloita olettamalla loki_bm on x. Muuntamalla tämän eksponentiaaliseen muotoonsa saadaan:

b^x= m

Nosta sitten molemmat puolet n:n potenssiin, jolloin tuloksena on:

pandat luovat tietokehystä

(b^x)ⁿ= mⁿ

Eksponenttitehosääntöä soveltamalla saadaan:

b^nx= mⁿ

Kun muunnetaan takaisin logaritmiseen muotoon, saadaan:

Hirsi_bmⁿ= nx

Korvaamalla x:n logilla_bm, saavumme:

Hirsi_bmⁿ= n loki_bm

Tämä päättää logaritmin tehosäännön johtamisen. Alla on useita esimerkkejä tämän säännön soveltamisesta:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Logaritmien osamääräsääntö

Logaritmien osamääräsäännön mukaan kahden luvun välisen jaon logaritmi on kunkin luvun logaritmien vähennys.

Tarkemmin sanottuna säännössä todetaan, että loki_b(m/n) = log_bm – loki_bn. Jatketaan tämän säännön johtamista.

Johtamisprosessi:

Oletetaan loki_bm on x ja log_bn on yhtä kuin y. Ilmaisemme nämä eksponentiaalisissa muodoissaan.

Hirsi_bm = x tarkoittaa m = b^x… (1)

Hirsi_bn = y tarkoittaa n = b^ja… (2)

Kun jaamme yhtälön (1) yhtälöllä (2),

m/n = b^x/ b^ja

Osamääräsääntöä soveltamalla eksponenteihin,

m/n = b^x-y

Muunnetaan takaisin logaritmiseen muotoon,

Hirsi_b(m/n) = x – y

Korvaamalla x ja y takaisin,

Hirsi_b(m/n) = log_bm – loki_bn

Näin ollen olemme johtaneet logaritmien osamääräsäännön. Tätä sääntöä voidaan käyttää seuraavasti:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

On tärkeää huomata, että osamääräsääntö ei tarkoita mitään logille (m – n).

Liittyvät aiheet:

• Antilog-taulukko
• Lokilaskin
• Luonnollinen loki
• Lokitaulukko

Ratkaistiin esimerkkejä lokisäännöistä

Esimerkki 1: Yksinkertaista loki ₂ (4 × 8).

Ratkaisu:

Tuotesääntöä käyttämällä jaamme tuotteen logaritmien summaksi:

Hirsi₂(4 × 8) = log₂(4) + tukki₂(8) = 2 + 3 = 5.

Esimerkki 2: Yksinkertaista loki ₄ (16/2).

Ratkaisu:

Osamääräsääntöä käyttämällä jaamme osamäärän logaritmien eroksi:

Hirsi₄(16/2) = log₄(16) – loki₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Esimerkki 3: Yksinkertaista loki ₅ (25 ³ ).

Ratkaisu:

Potenttisääntöä käyttämällä voimme laskea eksponentin kertoimeksi:

Hirsi₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Esimerkki 4: Muunna loki ₃ (7) lausekkeeksi, jonka kantaluku on 10.

Ratkaisu:

Kantakytkinsäännön avulla jaamme uuden kannan logaritmilla:

Hirsi₃(7) = log10(7) / log10(3) ≈ 1,7712

Esimerkki 5: Arvioi loki ₇ (49) käyttämällä perussäännön muutosta kanta 2:lla.

Ratkaisu:

Perussäännön muutoksen käyttäminen kanta 2:lla:

Hirsi₇(49) = log₂(49) / loki₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (noin).

Harjoittele lokin sääntöjä koskevia kysymyksiä

Ongelma 1: Yksinkertaista lauseke: loki₂(4) + tukki₂(8).

Ongelma 2: Yksinkertaistaa: loki₅(25) – loki₅(5).

Ongelma 3: Yksinkertaista lauseke: loki₃(9²).

Ongelma 4: Express loki₄(25) yleisillä logaritmeilla.

Ongelma 5: Yksinkertaista käyttämällä lokisääntöjä: loki₇(49) + 2 log₇(3).

pinoa javassa

Ongelma 6: Ratkaise x:lle: loki₂(x) = 3.

Ongelma 7: Ratkaise x: 2^3x-1= 8.

Lokisäännöt – UKK

Mitä ovat logaritmisäännöt?

Logaritmisäännöt ovat kokoelma suosituksia kaavojen käsittelyyn ja yksinkertaistamiseen logaritmisilla funktioilla. Ne tarjoavat systemaattisen menetelmän monimutkaisten laskelmien ja eksponentiaalien ja logaritmien välisten vuorovaikutusten käsittelemiseen.

Kuinka monta avainlogaritmisääntöä on?

Tulosääntö, osamääräsääntö, tehosääntö, peruskytkinsääntö ja perussäännön muutos ovat kaikki tärkeimpiä logaritmisääntöjä. Nämä periaatteet sallivat logaritmisen lausekkeen modifikaatiot ja laskelmat.

Mikä on logaritminen tuotesääntö?

Tulosäännön mukaan tulon logaritmi on yhtä suuri kuin yksittäisten tekijöiden logaritmien summa: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Mitä ovat kaksi logaritmien tyyppiä?

Kaksi yleisimmin käytettyä logaritmityyppiä ovat:

• Yhteinen logaritmi tai 10 kantalogaritmi
• Luonnollinen logaritmi tai kanta-e-logaritmi

Mikä on tukikohdan muutossääntö?

Tukin perussäännön muutoksen mukaan loki_a(b) = [log_c(b)]/[log_c(a)], jossa c on mikä tahansa positiivinen reaaliluku.

Mikä on Log 0?

Nollan logaritmia ei tunneta. Emme koskaan saa lukua 0 nostamalla mitään arvoa minkä tahansa muun arvon potenssiin.

Mikä on Log 1?

Nollasäännön vuoksi 1:n logaritmi mihin tahansa kantaan on aina 0 eli logaritmi_a(1) = 0.

Mikä on minkä tahansa luvun logaritmi itsessään kantana?

Identiteettisäännön mukaan kannan logaritmi itselleen on aina 1 eli log_a(a) = 1.

Mikä on logaritmien ja eksponentiaalien välinen suhde?

Logaritmit ja eksponentiaalit ovat käänteisiä operaatioita. Logaritmi kertoo eksponentin, joka tarvitaan tietyn luvun saavuttamiseen, kun taas eksponentiaali nostaa kantaluvun eksponenttiin.

Mitkä ovat 7 logaritmin sääntöä?

Logaritmin 7 sääntöä sisältävät

• Tuotesääntö
• Osamäärä sääntö
• Voiman sääntö
• Perussääntöjen muutos
• Nolla sääntö
• Identiteettisääntö
• Negatiivinen sääntö

Näitä sääntöjä käytetään logaritmien lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Mikä on lokieksponenttisääntö?

Lokieksponenttisäännön mukaan a:n lokikanta b^xon yhtä suuri kuin x kertaa a log-kanta b eli log_ba^x= x log_ba.

Mikä on avainero tavallisen ja luonnollisen tukin välillä?

Keskeinen ero yhteisen ja luonnollisen logarin välillä on, että tavalliset lokit käyttävät kantaa 10, kun taas luonnolliset lokit käyttävät kantanaan matemaattista vakiota 'e'.

Mikä on lokin johdannaissääntö?

Lokifunktioiden johdannaissääntö on: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), missä 'b' on logaritmin kanta.

Mikä on peruskytkinsääntö?

Perusvaihtosäännön mukaan minkä tahansa logaritmin kanta voidaan muuttaa mihin tahansa muuhun haluttuun kantaan käyttämällä kaavaa: loga(X) = logb(X) / logb(a).