Objektiivifunktio on lineaarisen ohjelmointiongelman tavoite, kuten nimestä voi päätellä. Lineaarisessa ohjelmoinnissa tai lineaarisessa optimoinnissa käytämme erilaisia ​​tekniikoita ja menetelmiä löytääksemme optimaalisen ratkaisun lineaariseen ongelmaan tietyin rajoituksin. Tekniikka voi sisältää myös epätasa-arvorajoituksia. Lineaarisen ohjelmoinnin tavoitefunktio on optimoida optimaalisen ratkaisun löytämiseksi tietylle ongelmalle.

Tässä artikkelissa opimme kaiken tavoitteen funktiosta, mukaan lukien sen määritelmän, tyypit, kuinka muotoilla tavoitefunktio jollekin tietylle ongelmalle jne. Opimme myös erilaisia ​​esityksiä objektiivisista funktioista, kuten lineaariset tavoitefunktiot tai epälineaariset tavoitteet. toimintoja. Joten aloitetaan oppia tästä lineaarisen ohjelmoinnin peruskonseptista eli tavoitefunktiosta.

Mikä on objektiivinen funktio?

Kuten nimestä voi päätellä, tavoitefunktio pohjimmiltaan asettaa ongelman tavoitteen. Se keskittyy rajoituksiin perustuvaan päätöksentekoon. Se on reaaliarvoinen funktio, joka on joko maksimoitava tai minimoitava rajoituksista riippuen. Se on kuin voitto tai tappio -funktio. Se on yleensä merkitty Z:llä.

Objective Functioniin liittyvät terminologiat ovat seuraavat:

• Rajoitukset: Ne ovat pohjimmiltaan ehdollisia yhtälöitä, jotka hallitsevat lineaarista funktiota
• Päätösmuuttujat: Muuttujat, joiden arvot halutaan selvittää. Yhtälöt ratkaistaan ​​niin, että saadaan näiden muuttujien optimaalinen arvo.
• Toteutettava alue: Se on kaavion alue, jossa rajoitukset täyttyvät ja päätösmuuttujat löytyvät alueen kulmista.
• Optimaalinen ratkaisu: Paras mahdollinen ratkaisu, joka täyttää kaikki rajoitukset ja saavuttaa korkeimman tai alimman tavoitteen.
• Käsittämätön ratkaisu: Ratkaisu, joka rikkoo yhtä tai useampaa rajoitusta ja jota ei voida ottaa käyttöön tai suorittaa.

Objektiivifunktio lineaarisessa ohjelmoinnissa

Lineaarisessa ohjelmoinnissa tavoitefunktio on lineaarinen funktio, joka koostuu kahdesta päätösmuuttujasta. Se on lineaarinen funktio, joka tulee maksimoida tai minimoida rajoituksista riippuen. Jos a ja b ovat vakioita ja x ja y ovat päätösmuuttujia, joissa x> 0 ja y> 0, niin tavoitefunktio on

Z = ax + by

Joten saadaksemme Optimointifunktion optimaalisen arvon, meidän on ensin ratkaistava rajoitukset millä tahansa tekniikalla ja selvitettävä päätösmuuttujat. Sitten laitamme päätösmuuttujien arvot Objective-funktioon optimaalisen arvon luomiseksi.

Objektiivisen funktion muotoileminen

Lineaarisessa ohjelmoinnissa on kyse päätösmuuttujien optimaalisten arvojen löytämisestä ja näiden arvojen asettamisesta tavoitefunktioon maksimi- tai minimiarvon luomiseksi. Lineaarisen ohjelmoinnin ratkaisemiseksi on monia tekniikoita, kuten Simplex-menetelmä ja graafinen menetelmä. Graafinen menetelmä on kuitenkin yleensä suositeltava yksinkertaisuutensa vuoksi. Vaiheet tavoitefunktion optimaalisten arvojen saamiseksi ovat seuraavat:

• Muodosta tehtävästä rajoitusyhtälöt ja tavoitefunktio.
• Piirrä rajoitusyhtälöt kaavioon.
• Tunnista nyt toteuttamiskelpoinen alue, jossa rajoitukset täyttyvät.
• Luo mahdollisen alueen kulmissa sijaitsevien päätösmuuttujien arvot.
• Laita kaikki luodut arvot tavoitefunktioon ja luo optimaalinen arvo.

Objektiivisten funktioiden yleiset tyypit

Tavoitefunktioita on kahdenlaisia.

• Maksimoinnin tavoitetoiminto
• Minimoi tavoitefunktio

Tarkastellaan näitä kahta tyyppiä yksityiskohtaisesti seuraavasti:

Maksimoinnin tavoitetoiminto

Tässä tyypissä pyrimme yleensä maksimoimaan tavoitefunktion. Pisteillä, jotka löydetään rajoitusten piirtämisen jälkeen, on taipumus tuottaa tavoitefunktion maksimiarvo. Havainnollistetaan esimerkin avulla

Esimerkki: Mies käyttää enintään 8 tuntia aikaa lompakon ja koululaukun valmistukseen. Hän sijoittaa 2 tuntia lompakoiden valmistukseen ja 4 tuntia koululaukkuihin. Hän pyrkii valmistamaan enintään 5 lompakkoa ja koululaukkua ja haluaa myydä ne ja tuottaa 20 rupiaa lompakosta ja 100 rupiaa koululaukusta. Etsi tavoitefunktio.

Ratkaisu:

Olkoon x rottien lukumäärä ja y leivän lukumäärä.

Mies voi sijoittaa enintään 8 tuntia sijoittamalla 2 tuntia lompakon ja 4 tuntia koululaukun tekemiseen. Siksi ensimmäinen rajoitusyhtälö on

2x + 4v ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Enimmäismäärä, jonka hän voi tehdä, on 5

x+y ⩽ 5

Merkitään tavoitefunktiota Z

Siksi Z = 20x + 100y

Minimoi tavoitefunktio

Tässä tyypissä pyrimme yleensä minimoimaan tavoitefunktion. Pisteillä, jotka löydetään rajoitusten piirtämisen jälkeen, on taipumus tuottaa tavoitefunktion minimiarvo. Havainnollistetaan esimerkin avulla

Esimerkki: Kun kahden muuttujan summa on vähintään 20. On annettu yksi muuttuja on suurempi kuin 9. Johda tavoitefunktio, jos yhden muuttujan hinta on 2 yksikköä ja toisen muuttujan hinta on 9 yksikköä.

Ratkaisu:

Olkoot x ja y kaksi muuttujaa. Kahden muuttujan summan tulee olla vähintään 20.

x+y ⩾ 20

ja x ⩾ 9

Kaksi edellä olevaa epäyhtälöä ovat rajoitteita seuraavalle tavoitefunktiolle.

Merkitään tavoitefunktiota Z. Siten Z on

Z = 2x + 9v

Objektiivifunktion matemaattinen esitys

Kuten keskustelimme tavoitefunktiosta lineaarisen ohjelmoinnin yhteydessä, tavoitefunktio voi olla myös epälineaarinen.

• Lineaariset tavoitefunktiot: Tämän tyyppisessä tavoitefunktiossa sekä rajoitteet että tavoitefunktiot ovat luonteeltaan lineaarisia. Muuttujien eksponentit ovat 1.
• Epälineaariset tavoitefunktiot: Tämän tyyppisissä tavoitefunktioissa sekä rajoitteet että tavoitefunktiot ovat luonteeltaan lineaarisia. Muuttujien eksponentit ovat joko 1 tai suurempia kuin 1.

Objektiivisten funktioiden sovellukset

Objektiiviset toiminnot ovat tärkeitä tosielämän skenaarioissa. Näitä toimintoja käyttävät esimerkiksi liikemiehet. Liikemiehet käyttävät sitä maksimoidakseen voittonsa. Objektiiviset funktiot ovat hyödyllisiä myös kuljetusongelmissa. Asettamalla toiminnon voidaan analysoida, kuinka paljon polttoainetta kuluu ja kuinka käyttäjä voi sen mukaisesti laskea hintoja. Objektiiviset funktiot ovat hyödyllisiä myös etäisyysongelmissa.

Ratkaistiin objektiivisen toiminnan ongelmia

Ongelma 1: Henkilö haluaa vyöt ja lompakot. Hänellä on yhteensä 6 000 rupiaa säästöjä ja hän haluaa käyttää kaikki säästönsä vöiden ja lompakoiden ostamiseen, jotta hän voi myydä ne myöhemmin. Lompakon arvo on 20 Rs ja vyön arvo 10 Rs. Hän haluaa säilyttää niitä kaapissa ja kaapin enimmäiskapasiteetti on 50 yksikköä. Hän odottaa saavansa 2 ruplaa vyöltä ja 3 rupiaa lompakosta. Etsi rajoitukset ja tuloksena oleva tavoitefunktio.

Ratkaisu:

Olkoon x ostettavien lompakoiden lukumäärä ja y ostettavien vöiden lukumäärä. On huomattava aina, kun ongelmassa mainitaan maksimi, meidän tulee käyttää '⩽' rajoitusten löytämiseen

Suurin investointi on Rs 6000. Ensimmäinen rajoitusyhtälö on

20x+10v⩽6000

Kaapin enimmäissäilytyskapasiteetti on 50

x+y⩽50

Tässä voittofunktio on pohjimmiltaan tavoitefunktio. Merkitään tämä P:llä. Siksi voittofunktio on

P = 3x + 2v

Tehtävä 2: Tunnista rajoitusyhtälöt ja tavoitefunktio annetusta joukosta

• 2x + 3v ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4v ⩽ 40
• Z = 7x + 8v

Missä x ja y ovat suurempia kuin 0.

Ratkaisu:

Rajoitukset voivat olla epätasa- tai epätasa-arvomuotoa. Mutta tavoitefunktiolla on aina tasa-arvosymboli

Siksi rajoitusyhtälöt ovat

2x + 3v ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4v ⩽ 40

Objektiiviyhtälö on Z = 7x + 8y

Ongelma 3: Nainen sijoittaa enintään 7 tuntia leivän ja leivän valmistukseen. Hän sijoittaa 2 tuntia kiertoon ja 4 tuntia leipään. Hän pyrkii valmistamaan enintään 20 leipää ja leipää ja haluaa myydä ne ja tuottaa 2 ruplaa leipää ja 1 rupiaa leipää. Etsi tavoitefunktio.

Ratkaisu:

Olkoon x rottien lukumäärä ja y leivän lukumäärä.

Nainen voi sijoittaa enintään 7 tuntia panostamalla 2 tuntia rotin ja 4 tuntia leivän valmistukseen. Siksi ensimmäinen rajoitusyhtälö on

2x + 4v ⩽ 7

Hän voi valmistaa korkeintaan 20 leipää ja leipää

x + y ⩽ 20

Merkitään tavoitefunktiota Z

Siksi Z = 2x + y.

Tehtävä 4: Yritys haluaa valmistaa tuotetta A ja tuotetta B. Tuote A vaatii 4 yksikköä kaakaojauhetta ja 1 yksikkö maitojauhetta Tuote B vaatii 3 yksikköä kaakaojauhetta ja 2 yksikköä maitojauhetta. Kaakaojauhetta on saatavilla 87 yksikköä ja maitojauhetta 45 yksikköä. Kustakin tuotteesta ansaittava voitto on 3 dollaria ja 5 dollaria. Etsi tavoitefunktio.

Ratkaisu:

Merkitään x tuotteen A lukumäärää ja y B-tyypin tuotteiden lukumäärää.

Kaakaojauheen enimmäismäärä on 87 yksikköä. Ensimmäinen rajoitusyhtälö on siis

4x + 3v ⩽ 87

Maitojauheen enimmäismäärä on 45 yksikköä. Joten toinen rajoitusyhtälö on

x + 2y ⩽ 45

Tässä tavoitteenamme on maksimoida tuotto. Joten voittofunktiomme on tavoitefunktio. Merkitään se Z:llä

Z = 3x + 5v

Tehtävä 5: Luodaan kahdentyyppisiä A- ja B-ruokapaketteja, jotka sisältävät vitamiineja. Elintarvikepakkauksia A on saatavilla vähintään 45 yksikköä ja molempien ruokapakkausten valmistusta tulee olla vähintään 30. Luo generoitava tavoitefunktio, jossa elintarvikepakkauksessa A on 6 yksikköä vitamiinia ja elintarvikepakkauksessa B on 8 yksikköä .

Ratkaisu:

Olkoon x ruokapakkausten A lukumäärä ja y ruokapakkausten B lukumäärä

Tarjolla on vähintään 45 ruokapakettia. Siksi ensimmäinen rajoitusyhtälö on

x ⩾ 45

Toinen rajoitusyhtälö on

javascript onclick

x + y ⩾ 30

Tavoitefunktio on seuraava:

Z = 6x + 8v

Usein kysytyt kysymykset objektiivisesta toiminnasta

Q1: Mikä on objektiivifunktio lineaarisen ohjelmoinnin ongelmassa?

Vastaus:

Tavoitefunktio on reaaliarvoinen funktio, joka on joko maksimoitava tai minimoitava rajoituksista riippuen. Se sisältää kaksi päätösmuuttujaa.

Q2: Mikä on objektiivisen toiminnon tavoite?

Vastaus:

Tavoitefunktion tavoitteena on maksimoida tai minimoida tuloksena oleva arvo. Se on yhtälö, joka ilmaistaan ​​päätösmuuttujina ja jolla on ratkaiseva rooli lineaarisessa ohjelmoinnissa.

Q3: Kuinka ymmärrämme, onko toiminto maksimoitava vai minimoitava?

Vastaus:

Tarkistaaksemme, onko funktio maksimoida vai ei, meidän pitäisi tuntea termit, kuten 'enintään', 'ainakin'. Jos kyseessä on termi 'ainakin', tavoitefunktio tulee minimoida. Termille 'enintään' funktio tulisi maksimoida.

Kysymys 4: Nimeä yleiset tavoitefunktioiden tyypit.

Vastaus:

Objektiivifunktioita on kahdenlaisia:

• Maksimoinnin tavoitetoiminto
• Minimoi tavoitefunktio

Q5: Mitkä ovat objektiivisen toiminnon sovellukset?

Vastaus:

Objective-funktiolla on erilaisia ​​sovelluksia. Ne ovat hyödyllisiä tosielämän skenaarioissa. Niitä käytetään periaatteessa voiton tai tappion arvioimiseen kussakin tapauksessa. Objektiiviset funktiot ovat hyödyllisiä kuljetusongelmissa, aikarajoitusongelmissa jne.