Yksi yhteen toiminto tai One-One-toiminto on yksi toimintotyyppejä määritellään verkkotunnuksen ja koodialueen yli ja kuvaa tietyntyyppistä suhdetta toimialueen ja koodialueen välillä. Yksi yhteen funktiota kutsutaan myös injektiofunktioksi. Yksi yhteen -funktio on matemaattinen funktio, jossa jokainen elementti verkkotunnuksessa kartoittaa koodialueen ainutlaatuiseen elementtiin .
Tässä artikkelissa tarkastellaan One-to-One Function- tai One-One-funktion käsitettä yksityiskohtaisesti, mukaan lukien sen määritelmä ja esimerkkejä, jotka auttavat sinua ymmärtämään käsitteen helposti. Keskustelemme myös joistakin esimerkkiongelmista ja tarjoamme sinulle joitain käytännön ongelmia ratkaistaksesi. Joten opitaan tästä tärkeästä matematiikan käsitteestä, joka tunnetaan nimellä One to One Function.
Sisällysluettelo
- Mikä on yksi-yhteen-toiminto?
- Esimerkkejä yksi-yhteen-toiminnoista
- Yksi-yhteen-toimintojen ominaisuudet
- Yksi yhteen toiminto ja päälle toiminto
- Ratkaistiin esimerkkejä yksi yhteen -toiminnosta
Mikä on yksi-yhteen-toiminto?
Yksi-yhteen-funktio, joka tunnetaan myös injektiofunktiona, on sellainen, jossa A:n eri elementeillä on eri B:hen liittyviä elementtejä tai A:n eri elementeillä on eri kuvat B:ssä.
Jos funktiolle on erilaisia kuvia, se tarkoittaa, että se on mahdollista vain yksi yhteen, jos esikuvat olivat erilaisia, jos B-joukossa on erilaisia elementtejä, mikä tarkoittaa, että se on mahdollista vain, kun joukolla oli erilaisia elementtejä, joille nämä olivat esikuvia.
hakemiston uudelleennimeäminen linuxissa
Yksi yhteen funktion määritelmä
Funktion 'f' joukosta 'A' joukosta 'B' on yksi yhteen, jos kahta elementtiä 'A':ssa ei ole kuvattu samaan elementtiin 'B:ssä'.
Tarkastellaan näitä kahta kaaviota. Kaaviossa A ymmärrämme, että 10 karttaa yhdelle, 20 karttaa 2:lle ja 30 karttaa 3:lle.
Kaaviossa B on kuitenkin selvää, että 10 ja 30 kuvaavat 3:a ja sitten 20 karttaa 1:een.
Koska verkkotunnuksessamme on elementtejä, jotka vastaavat erillisiä arvoja kussakin kaavion A toimialueella, se tekee funktiosta yksi yhteen, joten kaaviomme B ei ole yksi yhteen.
Tämä voidaan ilmaista matemaattisesti mm
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Esimerkki yksi-yhteen-toiminnoista
- Identiteettitoiminto: Identiteettifunktio on yksinkertainen esimerkki yksi-yhteen-funktiosta. Se ottaa syötteen ja palauttaa saman arvon kuin lähtö. Minkä tahansa reaaliluvun x identiteettifunktio määritellään seuraavasti:
f(x) = x
Jokainen erillinen tulo x vastaa erillistä lähtöä f(x), mikä tekee siitä yksi-yhteen-funktion.
- Lineaarinen funktio: Lineaarinen funktio on sellainen, jossa muuttujan suurin teho on 1. Esimerkki:
f(x) = 2x + 3
Tämä on yksi-yhteen-funktio, koska valitsetpa minkä x:n arvon tahansa, saat yksilöllisen arvon f(x:lle).
- Absoluuttisen arvon funktio: Itseisarvofunktio f(x)=∣x∣ on myös yksi yhteen funktio. Jokaiselle reaaliluvulle x itseisarvon funktio palauttaa ei-negatiivisen arvon, ja x:n eri arvot johtavat erilaisiin absoluuttisiin arvoihin.
Todistetaan yksi tällainen esimerkki yksi-yhteen-funktiolle.
Esimerkki: Todista, että funktio f(x) = 1/(x+2), x≠2 on yksi yhteen.
Ratkaisu:
Yksi-yhteen-funktion mukaan tiedämme sen
f(a) = f(b)
korvaa a x:llä ja x b:llä
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
ristiin kerrotaan yllä oleva yhtälö
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Nyt, koska a = b, funktion sanotaan olevan yksi yhteen funktio.
Ominaisuudet Yksittäiset toiminnot
Oletetaan, että f ja g ovat kaksi yksi-yhteen-funktiota, ominaisuudet ovat seuraavat:
- Jos f ja g ovat molemmat yksi yhteen, niin f ∘ g seuraa injektiokykyä.
- Jos g ∘ f on yksi yhteen, niin funktio f on yksi yhteen, mutta funktio g ei välttämättä ole.
- f: X → Y on yksi-yksi, jos ja vain jos mikä tahansa funktio g, h : P → X aina kun f ∘ g = f ∘ h, niin g = h. Toisin sanoen yksi-yksi-funktiot ovat täsmälleen monomorfismeja joukkojen luokkajoukossa.
- Jos f: X → Y on yksi ja P on X:n osajoukko, niin f-1(f(A)) = P. Siten P voidaan hakea sen kuvasta f(P).
- Jos f: X → Y on yksi ja P ja Q ovat molemmat X:n osajoukkoja, niin f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Jos sekä X että Y on rajoitettu samalla määrällä alkioita, niin f: X → Y on yksi, jos ja vain jos f on surjektiivinen tai on-funktio.
Yksi-yhteen-funktion kaavio
Katsotaanpa yksi yksi-yhteen-funktion kaavioesitys
Yllä oleva funktion f(x)= √x kaavio esittää yksi-yhteen-funktion graafisen esityksen.
Vaakaviivatesti
Funktio on yksi yhteen, jos kukin vaakaviiva ei leikkaa kuvaajaa enempää kuin yhdessä pisteessä.
Otetaan esimerkkinä lineaarifunktio. Kutsutaan sitä f(x) , joten f(x):llä on käänteisfunktio. Jotta voit määrittää, onko f(x):llä käänteisfunktio, sinun on osoitettava, että se on yksi-yhteen-funktio, sinun on osoitettava, että se läpäisee vaakaviivatestin. Joten jos piirrämme vaakaviivan ja jos f(x) koskettaa vaakaviivaa useammin kuin kerran, se tarkoittaa, että f(x) ei ole yksi-yhteen-funktio eikä sillä ole käänteisfunktiota.
Yllä olevassa esimerkissä se leikkaa vaakaviivan vain yhdessä pisteessä. Joten f(x) on yksi yhteen funktio, mikä tarkoittaa, että sillä on käänteisfunktio.
Yksi-yhteen-funktion käänteisfunktio
Olkoon f yksi yhteen funktio, jolla on alue A ja alue B. Tällöin f:n käänteisarvo on funktio, jolla on toimialue B ja alue A määritetään f:llä-1(y) =x jos ja vain jos f(x)=y mille tahansa y:lle B:ssä. Muista aina, että funktiolla on käänteisarvo, jos ja vain jos se on yksi yhteen. Funktio on yksi yhteen, jos suurin eksponentti on pariton luku. Mutta jos suurin luku on parillinen luku tai absoluuttinen arvo, tämä ei ole yksi yhteen funktio.
Esimerkki: f(x)=3x+2 etsi funktion käänteisluku
Ratkaisu:
kirjoita funktio muodossa y=f(x).
⇒ y=3x+2
antaa vaihtaa y- ja x-muuttujia
⇒ x=3y+2
ratkaise y x:n suhteen
⇒ x-2=3v
jaa yhtälö 3:lla
⇒ (x-2)/3=3v/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
Yksi yhteen toiminto ja päälle toiminto
Tärkeimmät erot One to One- ja Onto-funktioiden välillä on lueteltu seuraavassa taulukossa:
| Omaisuus | Yksi-yhteen (injektiivinen) toiminto | Onto (Surjektiivinen) funktio |
|---|---|---|
| Määritelmä | Toiminto, jossa verkkotunnuksessa ei ole kahta eri elementtiä, joka kohdistuu samaan koodialueen elementtiin. Toisin sanoen jokainen verkkotunnuksen elementti kartoittaa koodialueen ainutlaatuiseen elementtiin. | Toiminto, jossa jokainen koodialueen elementti on kohdistettu vähintään yhdelle toimialueen elementille. Toisin sanoen funktion alue vastaa koko koodialuetta. |
| Symbolinen esitys | f(x1) ≠ f(x2) jos x1≠ x2kaikille x1, x2verkkotunnuksessa. | Jokaiselle koodialueen y:lle on alueella x, jolloin f(x) = y. |
| Graafinen esitys | Yksi-yhteen-funktion kaaviossa ei koskaan ole vaakaviivaa, joka leikkaa sen useammassa kuin yhdessä pisteessä. | Onto-funktion kaavio ei välttämättä kata kaikkia koodialueen pisteitä, mutta se kattaa jokaisen pisteen, jonka se voi, eli koodialueella ei ole aukkoja. |
| Esimerkki | f(x) = 2x on yksi yhteen, koska mikään x:n eri arvoista ei tuota samaa tulosta. | f(x) = √x on ei-negatiivisen reaaliluvun koodialueensa, koska kaikilla ei-negatiivisilla reaaliluvuilla on esikuva tässä funktiossa. |
| Käänteinen funktio | Yksi-yhteen-funktiolla on yleensä käänteisfunktio. | Onto-funktiolla voi olla tai ei ole käänteistä funktiota. |
| Kardinaalisuus | Domainin ja koodialueen kardinaliteetti voi olla yhtä suuri tai erilainen yksi-yhteen-funktioille. | Koodomainin kardinaliteetti on yleensä suurempi tai yhtä suuri kuin onto-toimintojen alueen kardinaliteetti. |
Seuraavassa kuvassa on selkeä ero one- ja onto-toiminnon välillä:
Lue lisää,
- Toiminnot
- Toimintojen tyypit
- Suhde ja toiminta
Ratkaistiin ongelmat yhdestä yhteen toiminnolla
Ratkaistaan joitakin tehtäviä havainnollistaaksemme yksitellen toimintoja:
Tehtävä 1: Selvitä, onko seuraava funktio yksi yhteen: f(x) = 3x – 1
Ratkaisu:
Ratkaisu 1: Tarkistaaksemme, onko se yksi yhteen, meidän on osoitettava, että kaksi erillistä x-arvoa ei ole samassa y-arvossa.
Oletetaan f(a) = f(b), missä a ≠ b.
3a - 1 = 3b - 1
3a = 3b
a = b
Koska f(a) = f(b):n ainoa tapa on, kun a = b, tämä funktio on todellakin yksi yhteen.
Tehtävä 2: Selvitä, onko seuraava funktio yksi yhteen: g(x) = x 2
Ratkaisu:
Ratkaisu 2: Käytämme vaakaviivatestiä piirtämällä funktion kuvaaja. Jos mikä tahansa vaakaviiva leikkaa kaavion useammin kuin kerran, se ei ole yksi yhteen.
Kuvaaja g(x) = x^2 on ylöspäin avautuva paraabeli. Mikä tahansa vaakaviiva leikkaa kuvaajan vain kerran, joten tämä funktio ei ole yksi yhteen.
Harjoittele ongelmia yhdestä yhteen funktioissa
Ongelma 1: Selvitä, onko seuraava funktio yksi yhteen:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Ongelma 2: Etsi funktio, joka on yksi yhteen reaalilukujoukosta reaalilukujen joukkoon.
Ongelma 3: Annettu funktio g(x) = x2+ 1, määritä, onko se yksi yhteen koko verkkotunnuksessaan.
Ongelma 4: Tarkastellaan funktiota h(x) = ex. Onko se yksi-yhteen-toiminto?
Ongelma 5: Etsi f(x) = 4x – 7 käänteisfunktio ja määritä sen alue.
Ongelma 6: Selvitä, onko funktio p(x) = √x yksi yhteen.
Ongelma 7: Kun q(x) = x/2, etsi funktion alue ja alue.
Ongelma 8: Tarkista, onko funktio r(x) = sin (x) yksi yhteen välillä [0, π].
Ongelma 9: Tarkastellaan funktiota s(x) = |x|. Onko se yksi-yhteen-toiminto?
Ongelma 10: Selvitä, onko funktio t(x) = 1/x yksi yhteen ja etsi sen toimialue.
Yksi yhteen toiminnot – UKK
1. Mikä on yksi-yhteen-funktio?
Yksi-yhteen-funktio on matemaattinen funktio, joka kartoittaa kunkin toimialueensa elementin ainutlaatuiseen elementtiin sen koodialueella. Toisin sanoen se ei yhdistä verkkotunnuksen kahta eri elementtiä samaan koodialueen elementtiin.
2. Kuinka voin määrittää, onko funktio yksi yhteen?
Voit käyttää vaakaviivatestiä. Jos mikään vaakaviiva ei leikkaa funktion kuvaajaa useammin kuin kerran, se on yksi yhteen funktio.
3. Mitä eroa on yksi-yhteen-funktiolla ja onto-funktiolla?
Yksi-yhteen-funktio varmistaa, että kaksi erillistä elementtiä verkkotunnuksessa ei yhdistä samaan koodialueen elementtiin, kun taas onto-funktio, joka tunnetaan myös nimellä surjektiivinen funktio, varmistaa, että jokainen koodialueen elementti on kartoitettu vähintään yksi elementti verkkotunnuksessa.
4. Ovatko kaikki lineaarifunktiot yksi yhteen?
Ei, kaikki lineaarifunktiot eivät ole yksi yhteen. Esimerkiksi f(x) = 2x on yksi yhteen, mutta g(x) = 2x + 1 ei ole, koska se kartoittaa kaksi eri x-arvoa samaan y-arvoon (esim. g(1) = 3 ja g(2) = 5).