Pascalin kolmio on numeerinen kuvio, joka on järjestetty kolmion muotoon. Tämä kolmio tarjoaa kertoimet minkä tahansa binomiaalisen lausekkeen laajentamiseksi, ja luvut on järjestetty siten, että ne muodostavat kolmion muodon. eli Pascalin kolmion toinen rivi edustaa kertoimia (x+y)²ja niin edelleen.

Pascalin kolmiossa jokainen luku on kahden yllä olevan luvun summa. Pascalin kolmiolla on useita sovelluksia todennäköisyysteoriassa, kombinatoriikassa, algebrassa ja monilla muilla matematiikan aloilla.

Opitaan lisää Pascalin kolmio, sen rakenne ja Pascalin kolmion erilaiset kuviot yksityiskohtaisesti tässä artikkelissa.

Sisällysluettelo

• Mikä on Pascalin kolmio?
• Mikä on Pascalin kolmio?
• Pascalin kolmion määritelmä
• Pascalin kolmion rakentaminen
• Pascalin kolmiokaava
• Pascalin kolmion binomiaalilaajennus
• Kuinka käyttää Pascalin kolmiota?
• Pascalin kolmiomallit
• Rivien lisäys
• Alkuluvut Pascalin kolmiossa
• Diagonaalit Pascalin kolmiossa
• Fibonacci-sekvenssi Pascalin kolmiossa
• Pascalin kolmion ominaisuudet
• Esimerkkejä Pascalin kolmiosta

Mikä on Pascalin kolmio?

Se on nimetty kuuluisan filosofin ja matemaatikon Balise 'Pascalin' mukaan, joka kehitti numeromallin, joka alkaa ykkösestä, ja sen alla olevat numerot ovat yllä olevien lukujen summa. Kirjoita ensin muistiin numero 1 aloittaaksesi Pascalin kolmion tekemisen. Toinen rivi kirjoitetaan jälleen kahdella 1:llä. Muut rivit luodaan käyttämällä edellisiä rivejä numerokolmion muodostamiseksi. Jokainen rivi alkaa ja päättyy numeroon 1.

Pascal-kolmion perusrakenne näkyy alla olevassa kuvassa,

Mikä on Pascalin kolmio?

Määrittelemme Pascalin kolmion perusjoukoksi numeroita, jotka on järjestetty kolmiomaiseen taulukkoon siten, että jokainen Pascalin kolmion elementti on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa. Pascalin kolmio alkaa luvulla 1, ja tämän ehdotti ensimmäisenä kuuluisa ranskalainen matemaatikko Balise Pascal ja nimettiin siten Pascalin kolmioksi.

Tämä kolmio edustaa eri potenssien binomilaajennuksen kertoimia. (Meidän on varmistettava, että binomilaajennuksen teho on vain luonnollinen luku, jolloin vain Pascalin kolmio edustaa binomilaajennuksen kertoimia).

Pascalin kolmion määritelmä

Pascalin kolmio on kolmion muotoinen lukujono, jossa jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevien lukujen summa.

Pascalin kolmion rakentaminen

Voimme helposti rakentaa Pad=scalin kolmion vain lisäämällä yllä olevan rivin kaksi numeroa saadaksesi seuraavan numeron alla olevalla rivillä. Voidaan olettaa, että nollarivi alkaa yhdellä alkiolla 1 ja sitten toisen rivin alkio on 1 1, joka muodostetaan lisäämällä 1+0 ja 1+0. Vastaavasti toisen rivin alkiot ovat 1 2 1 2, jotka muodostetaan yhteenlaskemalla, 1+0, 1+1 ja 1+0, ja siten saadaan kolmannen rivin alkiot. Kun tämä käsite laajennetaan n:nnelle riville, saadaan Pascalin kolmio, jossa on n+1 riviä.

Pascalin kolmio kolmanteen riviin asti näkyy alla olevassa kuvassa,

Yllä olevasta kuvasta huomaamme helposti, että jokaisen rivin ensimmäinen ja viimeinen elementti on 1.

Pascalin kolmiokaava

Pascalin kolmiokaava on kaava, jota käytetään m:n sarakkeen ja n:nnen rivin luvun etsimiseen. Kuten tiedämme, Pascalin kolmion termit ovat yllä olevan rivin termien summa. Edellytämme siis elementtejä (n-1) rivillä sekä (m-1) ja n:nnellä sarakkeella saadakseen tarvittavan määrän m:nnelle sarakkeelle ja n:nnelle riville.

Lue tarkemmin: Pascalin kolmiokaava

k lähimmän naapurin algoritmi

Pascalin kolmion n:nnen rivin alkiot on annettu,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,…,ⁿC_n.

Kaava minkä tahansa luvun löytämiseksi Pascalin kolmiosta on:

ⁿ cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Missä,

• ⁿ C _m edustaa (m+1):nnettä elementtiä n:nnellä rivillä. ja
• n on ei-negatiivinen kokonaisluku [0 ≤ m ≤ n]

Voimme ymmärtää tämän kaavan käyttämällä alla olevaa esimerkkiä,

Esimerkki: Etsi kolmas elementti Pascalin kolmion kolmannelta riviltä.

Ratkaisu:

Meidän on löydettävä kolmas elementti Pascalin kolmion 3. riviltä.

Pascalin kolmion kaava on,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

missäⁿC_kedustaa (k+1)^thelementti n:ssä^thrivi.

Siten 3. rivin 3. elementti on

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Siten Pascalin kolmion kolmannen rivin kolmas elementti on 3.

Pascalin kolmion binomiaalilaajennus

Voimme helposti löytää kertoimen binomilaajennus käyttämällä Pascalin kolmiota. Pascal-kolmion (n+1) rivin elementit edustavat polynomin (x + y) laajennetun lausekkeen kerrointa.ⁿ.

Tiedämme, että (x + y) -laajennusⁿOn,

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1ja + a₂x^n-2ja²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_njaⁿ

Täällä, a₀, a₁, a₂, a₃, …., a_novat termi Pascalin kolmion (n+1):nnellä rivillä

Katso esimerkiksi (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³ja +⁴C₂x²ja²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰ja⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²ja²+ (4)xy³+ (1) v⁴

Tässä kertoimet 1, 4, 6, 4 ja 1 ovat Pascalin kolmion neljännen rivin elementtejä

Kuinka käyttää Pascalin kolmiota?

Käytämme Pascal-kolmiota löytääksemme eri tapaukset mahdollisista tuloksista todennäköisyysolosuhteissa. Tämä voidaan ymmärtää seuraavalla esimerkillä, kun heittämällä kolikon kerran saamme kaksi tulosta eli H ja T tätä edustaa Pascalin kolmion ensimmäisen rivin elementti.

Vastaavasti heittämällä kolikon kaksi kertaa saamme kolme tulosta eli {H, H}, {H, T}, {T, H} ja {T, T} tätä ehtoa edustaa Pascalin kolmion toisella rivillä oleva elementti.

Näin ollen voimme helposti kertoa kolikokokeen mahdollisten tulosten lukumäärän yksinkertaisesti tarkkailemalla vastaavia elementtejä Pascalin kolmiossa.

Alla oleva taulukko kertoo tapauksista, joissa kolikkoa heitetään kerran, kaksi kertaa, kolme kertaa ja neljä kertaa, ja sen yhteensopivuuden Pascalin kolmion kanssa

Pascalin kolmiomallit

Havaitsemme erilaisia ​​​​malleja Pascalin kolmiossa, ne ovat:

• Rivien lisäys
• Alkuluvut kolmiossa
• Diagonaalit Pascalin kolmiossa
• Fibonaccin kuvio

Rivien lisäys

Tarkasteltaessa Pascalin kolmiota voimme päätellä, että minkä tahansa Pascalin kolmion rivin summa on yhtä suuri kuin 2:n potenssi. Saman kaava on: Jokaiselle (n+1)^thrivi Pascalin kolmiossa kaikkien elementtien summa on 2ⁿ

Kun tätä kaavaa käytetään Pascalin kolmion ensimmäisille neljälle riville, saadaan,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Alkuluvut Pascalin kolmiossa

Toinen erittäin mielenkiintoinen kuvio Pascalsin kolmiossa on, että jos rivi alkaa alkuluvulla (jokaisen rivin alussa jätetään huomiotta 1), kaikki kyseisen rivin elementit ovat jaettavissa tällä alkuluvulla. Tämä kuvio ei päde yhdistelmäluvuille.

Esimerkiksi Pascalin kolmion kahdeksas rivi on

java yrittää saada kiinni

1 7 21 35 35 21 7 1

Tässä kaikki elementit ovat jaettavissa 7:llä.

Yhdistelmänumeroilla alkavat rivit, kuten viides rivi,

1 4 6 4 1

Kuvio ei pidä paikkaansa, koska 4 ei jaa kuutta.

Diagonaalit Pascalin kolmiossa

Jokainen Pascalin kolmion oikealle päin oleva diagonaali, kun sitä pidetään sekvenssinä, edustaa erilaisia ​​​​lukuja, kuten ensimmäinen oikealle päin oleva diagonaali edustaa luvun 1 sarjaa, toinen oikealle päin oleva diagonaali edustaa kolmiolukuja, kolmas oikealle päin oleva diagonaali edustaa tetraedrilukuja, neljäs oikealle päin oleva diagonaali edustaa Penelope-lukuja ja niin edelleen.

Fibonacci-sekvenssi Pascalin kolmiossa

Voimme helposti saada Fibonacci-sekvenssin yksinkertaisesti lisäämällä numerot Pascalin kolmion diagonaaleihin. Tämä kuvio näkyy alla lisätyssä kuvassa,

b+ puu

Pascalin kolmion ominaisuudet

Pascalin kolmion erilaisia ​​ominaisuuksia ovat

• Jokainen Pascal-kolmion luku on sen yläpuolella olevan luvun summa.
• Pascalin kolmion aloitus- ja loppunumerot ovat aina 1.
• Pascalin kolmion ensimmäinen lävistäjä edustaa luonnollista lukua tai laskentalukuja.
• Pascalin kolmion jokaisen rivin elementtien summa annetaan potenssilla 2.
• Jokaisen rivin elementit ovat 11:n potenssin numeroita.
• Pascalin kolmio on symmetrinen kolmio.
• Minkä tahansa Pascalin kolmion rivin elementtejä voidaan käyttää esittämään binomiaalilaajennuksen kertoimia.
• Pascalin kolmion diagonaalia pitkin tarkkailemme Fibonacci-lukuja.

Pascalin kolmioon liittyviä artikkeleita:

• Binomilause
• Binomiaaliset satunnaismuuttujat ja binomiaalinen jakauma

Esimerkkejä Pascalin kolmiosta

Esimerkki 1: Etsi Pascalin kolmion viides rivi.

Ratkaisu:

Pascalin kolmio 5 rivillä näkyy alla olevassa kuvassa,

Esimerkki 2: Laajenna käyttämällä Pascal-kolmiota (a + b) ² .

Ratkaisu:

Kirjoita ensin yleiset lausekkeet ilman kertoimia.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Rakennetaan nyt Pascalin kolmio 3 riville kertointen selvittämiseksi.

Viimeisen rivin arvot antavat meille kertoimien arvon.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Näin varmistettu.

Esimerkki 3: Laajenna käyttämällä Pascal-kolmiota (a + b) ⁶ .

Ratkaisu:

Kirjoita ensin yleiset lausekkeet ilman kertoimia.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Rakennetaan nyt Pascalin kolmio 7 riville kertointen selvittämiseksi.

Viimeisen rivin arvot antavat meille kertoimien arvon.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 ja c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Esimerkki 4: Etsi toinen elementti Pascalin kolmion kolmannelta riviltä.

Ratkaisu:

Meidän on löydettävä toinen elementti Pascalin kolmion 3. riviltä.

Tiedämme, että Pascalin kolmion n:s rivi onⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Pascalin kolmion kaava on,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

missäⁿC_kedustaa (k+1)^thelementti n:ssä^thrivi.

Siten 2. elementti 3. rivillä on

³C₁=²C₀+²C₁

illallinen vs illallinen

= 1 + 2

= 3

Siten Pascalin kolmion kolmannen rivin toinen elementti on 3.

Esimerkki 5: Kolikkoa heitetään neljä kertaa, selvitä todennäköisyys saada täsmälleen 2 häntää.

Ratkaisu:

Käyttämällä Pascalin kolmiokaavaa,

Tulosten kokonaismäärä = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Tässä on neljä tapausta, joissa saamme 2 häntää,

Täten,

Todennäköisyys saada kaksi häntä = suotuisa tulos / kokonaistulos

= 4/16 = 1/4

Joten todennäköisyys saada täsmälleen kaksi häntä on 1/4 tai 25%

Yhteenveto – Pascalin kolmio

Pascalin kolmio on kolmiomuotoinen lukujärjestely, jossa kukin luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa. Tämä matemaatikko Blaise Pascalin mukaan nimetty kolmio alkaa ykkösellä yläosassa ja jokainen rivi alkaa ja päättyy ykköseen. Pascalin kolmion numerot vastaavat binomilaajennuksen kertoimia, mikä tekee siitä hyödyllisen algebrassa, todennäköisyyksissä ja kombinatoriikka. Kolmion sisällä olevat mallit sisältävät rivien summat, jotka ovat 2:n potenssit, yhteydet Fibonacci-sekvenssiin ja alkulukujen läsnäoloa. Pascalin kolmio on hyödyllinen myös yhdistelmien laskemisessa ja tulosten ymmärtämisessä todennäköisyyskokeissa, kuten kolikoiden heitossa.

Usein kysytyt kysymykset Pascalin kolmiosta

Mikä on Pascalin kolmio?

Kuuluisan matemaatikon Balise Pascalin ehdottamaa kolmiotaulukkoa kutsutaan Pascalin kolmioksi. Tämä kolmio alkaa luvulla 1 ja seuraavalla rivillä aloitus- ja loppunumerot on kiinteästi 1, sitten keskimmäinen luku generoidaan ottamalla yllä olevien kahden luvun summa.

Mitä Pascalin kolmiota käytetään?

Pascalin kolmioilla on useita käyttötarkoituksia,

• Sitä käytetään binomilaajennuksen binomikertoimen löytämiseen.
• Se tarjoaa vaihtoehtoisen tavan laajentaa binomitermejä.
• Sitä käytetään algebrassa, todennäköisyysteoriassa, permutaatiossa ja yhdistelmässä sekä muilla matematiikan aloilla.

Mikä on Pascalin kolmion käyttö binomiaalilaajennuksessa?

Käytämme Pascalin kolmiota löytääksemme helposti minkä tahansa termin kertoimen binomilaajennuksessa. Mikä tahansa Pascalin kolmion rivi (sanotaan n:s) edustaa (x+y) binomiaalisen laajennuksen kerrointa.ⁿ. Esimerkiksi Pascalin kolmion toinen rivi on 1 2 1 ja (x+y) laajennus²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Tässä kunkin termin kerroin on 1 2 1, joka muistuttaa Pascalin kolmion toista riviä.

Mitä erilaisia ​​​​malleja Pascalin kolmiosta löytyy?

Useita kuvioita, jotka löysimme helposti Pascalin kolmiosta, ovat:

• Kolmion muotoinen kuvio
• Pariton ja parillinen kuvio
• Fibonacci kuvio
• Symmetrinen kuvio

Mikä on 5^thPascalin kolmion rivi?

Pascalin kolmion viides rivi on esitetty alla,

1 5 10 10 5 1

Tiedämme, että minkä tahansa rivin kaikkien elementtien summa annetaan käyttämällä 2ⁿjossa n edustaa rivien määrää. Siten viidennen rivin kaikkien termien summa on,

2⁵= 32

Mikä on Pascalin kolmion jokaisen rivin ensimmäinen elementti?

Pascalin kolmion jokaisen rivin ensimmäinen elementti on 1. Kutsumme tätä termiä rivin 0:nneksi termiksi.