Kohtisuorat viivat Matematiikassa ovat suoraparit, jotka leikkaavat toisensa aina suorassa kulmassa, eli kohtisuorat suorat ovat aina leikkaavia suoria, jotka leikkaavat 90°. Me näemme helposti kohtisuorat viivat, seinien kulmat, pöydän kulmat ja muut edustavat yhdensuuntaista viivaa. Kun kyseessä ovat kohtisuorat viivat, sanomme, että ne leikkaavat toisensa suorassa kulmassa. Lyhin etäisyys kahden suoran välillä on annettu käyttämällä niiden välistä kohtisuoraa etäisyyttä, eli kahden pisteen välinen kohtisuora viiva antaa lyhimmän etäisyyden niiden välillä.

Tässä artikkelissa opimme kohtisuorasta viivasta, niiden ominaisuuksista ja muista yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Mitä ovat kohtisuorat viivat?
• Kohtisuorien viivojen ominaisuudet
• Pystysuorien viivojen kaltevuus
• Perpendicular Lines Kaava
• Kuinka piirtää kohtisuorat viivat?
• Perpendicular Line Equation

Mikä on Perpendicular?

Perpendicular määritellään suoraksi, joka tekee a oikea kulma toisella rivillä. Toisin sanoen kohtisuoralla viivalla tarkoitetaan viivoja, jotka muodostavat 90 asteen kulman. Lyhin etäisyys pisteen ja suoran välillä on niiden välinen kohtisuora viiva. Pystysuora on 90 astetta toisen suoran kanssa. Alla olevassa kuvassa näkyvät suorat AB ja PQ ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, koska ne leikkaavat toisensa 90 astetta.

Alla olevaan kuvaan lisätty viiva AB ja CD näyttää kaksi kohtisuoraa viivaa.

Mitä ovat kohtisuorat viivat?

Perpendicular Lines tarkoittaa suoria, jotka leikkaavat toisensa 90 asteen kulmassa eli jos kaksi suoraa kohtaavat suorassa kulmassa, niitä kutsutaan kohtisuoraksi. Otetaan tähän alla lisätty kuva, jossa suora l ja suora m leikkaavat toisensa pisteessä O ja niiden muodostama kulma on 90 astetta.

Siten voidaan sanoa, että l on suora, joka on kohtisuorassa m suoraa vastaan ​​tai suora m on kohtisuorassa suoraa l vastaan. Esitämme tämän ehdon muodossa, l ⊥ m. Nyt mikä tahansa suora, joka on yhdensuuntainen suoran l kanssa, on kohtisuorassa suoraa m vastaan. Lyhin etäisyys pisteen ja suoran välillä on aina niiden välinen kohtisuora etäisyys.

Huomautus: Kaikki leikkaavat suorat eivät ole kohtisuoraa, mutta kaikki kohtisuorat suorat ovat leikkaavia viivoja.

Pystysuora merkki

Kohtisuorat viivat esitetään symbolilla '⊥'. Jos suorat l ja m ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, eli ne leikkaavat toisensa 90 astetta, niin niitä kutsutaan kohtisuoraksi ja ne esitetään muodossa, l ⊥ m. Leikkauspistettä kutsutaan kohtisuoran jalkaksi.

Kohtisuorat muodot

Esisuorat muodot näkyvät ympärillämme jokapäiväisessä elämässämme. Kohtisuorassa muodossa ovat muodot, joissa vähintään yksi kulma on 90°. Erilaiset muodot, joilla on kohtisuorat viivat (pystysuorat muodot), ovat,

• Neliö
• Suorakulmio
• Suorakulmainen kolmio

Kohtisuorien viivojen ominaisuudet

Mitä tahansa kahta leikkaavaa suoraa, jotka leikkaavat 90 asteen kulmassa, kutsutaan kohtisuoraksi. Kohtisuoralla viivalla on erilaiset ominaisuudet kuin leikkaavilla viivoilla ja leikkausviivojen yleiset ominaisuudet ovat

• Kohtisuorat viivat ovat viivoja, jotka leikkaavat toisensa aina oikeassa kulmassa.
• Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa samaa suoraa vastaan, nämä kaksi suoraa ovat aina yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Pystysuorien viivojen kaltevuus

Minkä tahansa viivan kaltevuus on positiivisen x-akselin kanssa varustetun suoran muodostaman kulman tan, ja kohtisuorien viivojen kulmakertoimella on erityinen suhde niiden välillä.

Oletetaan, että meillä on kaksi suoraa PQ ja RS, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Nyt suoran PQ kaltevuus on sanotaan m₁ja suoran RS kaltevuus on sanotaan m₂, niin kaltevuuden tulo on yhtä suuri kuin -1. Sama väite on,

Lausunto: Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, jos niiden kulmakertoimen tulo on -1.

Tämä voidaan esittää mm.

m ₁ .m ₂ = -1

Perpendicular Lines Kaava

Kahta perussuoraviivakaavaa käsitellään alla,

Lausuma 1: Kohtisuoran suoran kaltevuuden tulo alkuperäisen viivan kaltevuuden kanssa on aina -1 .

Todiste:

Antaa alkuperäisen suoran muodostaa θ:n kulman X-akselin kanssa.

Sitten viivaan nähden kohtisuorassa oleva viiva muodostaa kulman θ + 90° tai θ – 90° X-akselin kanssa.

Nyt alkuperäisen suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin tan θ

merkki.vertaa javaa

Pystysuoran linjan kaltevuus on yhtä suuri kuin jompikumpi tan (θ + 90^O) tai rusketus (θ – 90^O)

rusketus (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -sänky i

Siten kohtisuoran linjan kaltevuus on -cot θ

Nyt,

Laskujen tulo = tan θ × (-cot θ) = -1

Siksi todistettu

Lausuma 2: Jos suoran yhtälö on ax + by + c = 0

Sitten annettua suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran yhtälö on,

– bx + ay + d = 0

missä, c ja d ovat vakioarvoja

Todiste:

Suoran yhtälö on ax + x + c = 0

Viivan kaltevuus on -a/b

Olkoon kohtisuoran suoran kaltevuus m

Tiedämme, että kahden kohtisuoran suoran kaltevuuden tulo on -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Nyt, jos kohtisuora viiva kulkee pisteen (x₁, ja₁), niin kohtisuoran suoran yhtälö on,

(ja ja₁) / (x – x₁) = b / a

ja ja₁= (b / a) × (x – x₁)

on – on₁= bx – bx₁

– bx + on + (bx₁- On₁) = 0 {olkoon bx₁- On₁= d}

Siten suoran vaadittu yhtälö on,

– bx + ay + d = 0

Kuinka piirtää kohtisuorat viivat?

Pystysuoran parin muodostaminen on helppoa astemittarin ja kompassin avulla.

Pystysuorien viivojen piirtäminen astelevyllä

Piirrä pari kohtisuoraa viivaa noudattamalla alla kuvattuja vaiheita,

Vaihe 1: Piirrä ensin paperille vaakaviiva AB viivaimella.

Vaihe 2: Merkitse mikä tahansa piste P suoralle AB, josta meidän on piirrettävä kohtisuora viiva.

Vaihe 3: Aseta suojus viivalle ja sovita suojuksen keskipiste viivan pisteen P kanssa.

Vaihe 4: Merkitse 90 asteen kulma suojuksella.

Vaihe 5: Yhdistä viiva millä tahansa viivaimella 90 asteen kulmassa saadaksesi pari kohtisuoraa viivaa.

Pystysuoran viivan piirtäminen kompassin avulla

Seuraavassa on vaiheet kohtisuorien viivojen tekemiseksi kompassin avulla

Vaihe 1: Piirrä viiva paperille viivaimella

Vaihe 2: Ota piste viivalta ja aseta kompassin neula sen päälle.

Vaihe 3: Piirrä kaari (puoliympyrä) viivan toiselle puolelle.

Vaihe 4: Muuttamatta kompassin sädettä aseta nyt neula puoliympyrän halkaisijan toiseen päähän.

Vaihe 5: Leikkaa puoliympyrän kaari kolmeksi leikkaamalla se kaksi kertaa. Ensimmäinen leikkaus 60° ja toinen leikkaus 120°

Vaihe 6: Ensimmäisen ja toisen leikkauksen välinen ero on 60°. Puolita tämä rako kompassin avulla muuttamatta sen sädettä.

Vaihe 7: Liitä nyt 60:n ja 120:n puolittamispisteet pisteeseen, jonka oletetaan aluksi piirtävän puoliympyrän kaaren.

Vaihe 8: Näin piirretty viiva on kohtisuorassa alkuviivaan nähden.

Esimerkkejä kohtisuorasta viivasta

Pystysuorat viivat ovat viivoja, jotka kohtaavat aina toisensa 90 asteen kulmassa. Näemme erilaisia ​​esimerkkejä rinnakkaisista viivoista tosielämässä, jotkut niistä ovat

• Huoneiden kulmat ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.
• Kellon osoittimet edustavat kohtisuoraa viivaa kello 3′.
• Pöydän ja pöydän kulmat edustavat kohtisuoraa viivaa.

Pystysuorat ja yhdensuuntaiset suorat

Pystysuorat viivat ovat suoria, jotka muodostavat 90° kulman keskenään, missä yhdensuuntaisina viivoina ovat suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa, eli ne ovat yhtä kaukana toisistaan ​​eivätkä koskaan leikkaa toisiaan.

Huomautus: Rinnakkaislinjat kohtaavat Infinityssä .

Yhdensuuntaisten ja kohtisuorien viivojen kaltevuus

Yhdensuuntaisten viivojen kaltevuus on yhtä suuri, kun taas kohtisuorien viivojen kaltevuuden tulo on -1.

Yhdensuuntaisten ja kohtisuorien viivojen yhtälöt

Jos kaksi suoraa ovat samansuuntaisia, niiden yhtälö on

• ax + by + c = 0 ja ax + by + d = 0

Kun taas kahden kohtisuoran yhtälö on,

• ax + by + c = 0 ja -bx + ax + d = 0

Mitä ovat rinnakkaislinjat?

Geometriassa rinnakkaiset suorat määritellään suoriksi, jotka eivät kohtaa toisiaan 2-D-tasossa, ts. ne eivät koskaan leikkaa toisiaan 2-D-tasossa. Kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys on aina vakio. Alla lisätty kuva näyttää kaksi paria yhdensuuntaisia ​​viivoja.

Suorat a, b ja x ja y ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Ero rinnakkaisten ja kohtisuorien viivojen välillä

Yhdensuuntaiset suorat Vs kohtisuorat suorat niitä käsitellään alla olevassa taulukossa.

Perpendicular Line Equation

Standardi suoran yhtälö On ax + by + c = 0 ja annettua suoraa vastaan ​​kohtisuorassa oleva suora on annettu käyttämällä

-bx + ay + d = 0

missä, d on vakioarvo ja sen arvo saadaan käyttämällä toista annettua ehtoa.

Pystysuora linjan kaltevuus

Oletetaan, että meille annetaan suora, jonka yhtälö on muotoa y = mx + c ja sen kaltevuus on m, niin annettua suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran kaltevuus on

Pystysuoran linjan kaltevuus = -1/m

Nyt jos kahden suoran kaltevuus on m₁ja m₂sitten näiden kahden rinteen välinen suhde on, m ₁ m ₂ = -1

Lue lisää,

• Yhdensuuntaiset viivat
• Poikittaislinjat
• Rinnakkaislinjojen ominaisuudet

Esimerkkejä kohtisuorasta viivasta

Esimerkki 1: Ovatko suorat 3x + 2y + 5 = 0 ja 2x – 3y + 8 = 0 kohtisuorassa?

Ratkaisu:

Suoran ax + kaltevuus + c = 0 on -a/b

• Suoran 3x + 2y + 5 = 0 kaltevuus on m₁= – 3/2.
• Suoran 2x – 3y + 8 = 0 kaltevuus on m₂= -2 / (-3) = 2/3

Tiedämme, että viivat ovat kohtisuorassa, jos niiden kaltevuus on ehto.

m₁× m₂= -1

Nyt yllä olevasta tilanteesta,

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Kaltevuuden tulo on -1 ja siten suorat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki 2: Etsi suora, joka on kohtisuorassa x + 2y + 5 = 0, ja kulje pisteen (2, 5) läpi.

Ratkaisu:

Tiedämme, että yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa ax + vastaan ​​+ c = 0, on – bx + ay + d = 0.

Annettu suora yhtälö on x + 2y + 5 = 0

Vertaamalla riviä x + 2y + 5 = 0 ax +:lla + c = 0:lla saadaan,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Siten minkä tahansa tätä suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran yhtälö on – 2x + y + d = 0…(i)

Tämä viiva kulkee (2, 5),

Siten laitetaan (2, 5) tähän kohtisuoran suoran yhtälöön

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Korvaamalla d:n arvon yhtälössä (i), saamme

-2x + y + (-1) = 0

Siten kohtisuoran suoran yhtälö on -2x + y - 1 = 0

Esimerkki 3: Etsi suoraa 3x + 9y + 7 = 0 vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran kaltevuus.

Ratkaisu:

Annettu,

Suoran yhtälö on 3x + 9y + 7 = 0

Tämän suoran kaltevuus = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Olkoon inen kaltevuus kohtisuorassa yläviivaan nähden m

Nyt käytetään kohtisuoran viivakaavaa

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Siten annettua suoraa vastaan ​​kohtisuoran suoran kaltevuus on 3.

Esimerkki 4: Etsi suoraa x + y + 3 = 0 vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran kulma.

Ratkaisu:

Annettu linja,

x + y + 3 = 0

Annetun suoran kaltevuus = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Olkoon, yllä olevaan suoraan nähden kohtisuorassa olevan viivan kaltevuus on m

kohtisuorassa viivakaavasta,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Annettua suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran kulma on siis θ

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = ruskea^-1(1) = 45°

Siten X-akselin kanssa kohtisuoran suoran muodostama kulma on 45°.

Perpendikulaariset harjoitusongelmat

Q1. Etsi suoraa kohtisuorassa olevan suoran kulma 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Jos suora kulkee pisteiden (11, –4) ja (–1, 8) kautta ja toinen suora kulkee pisteiden (8, 3) ja (–1, -3) kautta. Tarkista, ovatko nämä viivat yhdensuuntaisia ​​vai kohtisuorassa.

Q3. Etsi yhtälö suoralle, joka on kohtisuorassa 5x − 7y = 5 ja kulkee pisteen (-1, 8) kautta.

Q4. Etsi yhtälö viivan (2, 3) läpi ja kohtisuorassa x-akselia vastaan.

Perpendicular Lines – FAQ

Mitä ovat kohtisuorat viivat?

Jos kaksi leikkaavaa suoraa leikkaavat toisensa suorassa kulmassa eli 90 asteen kulmassa, niin näitä kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi.

Mitä ovat rinnakkaiset ja kohtisuorat viivat?

Rinnakkaiset viivat ovat suoria, jotka eivät kohtaa toisiaan 2-D-tasossa. Kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys on aina vakio. Jos taas kaksi viivaa kohtaavat toisensa 90 asteen kulmassa, näitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi.

Ovatko leikkaavat viivat aina kohtisuorassa?

Ei, kaikki leikkaavat suorat eivät aina ole kohtisuorassa, ne voivat olla tai olla kohtisuorassa. Leikkaavat viivat voivat kohdata eri kulmissa.

Mikä on kohtisuorien viivojen kaltevuuden ehto?

Oletetaan, että kahden suoran kaltevuus on m₁ja m₂silloin kahden kohtisuoran suoran kaltevuuden ehto on, m ₁ .m ₂ = -1

Kuinka monta kohtisuoraa viivaa viivaan voidaan vetää?

Voimme piirtää minkä tahansa määrän kohtisuoraa viivaa viivaan, eli meillä voi olla äärettömät kohtisuorat viivat mihin tahansa suoraan.

Milloin kaksi viivaa ovat kohtisuorassa?

Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos ne leikkaavat 90°, eli kohtisuorat suorat leikkaavat aina oikeassa kulmassa.

Mikä on kohtisuora kolmio?

Kolmiota, jonka kulma on 90°, kutsutaan kohtisuoraksi kolmioksi. Sitä kutsutaan myös suorakulmaiseksi kolmioksi.

Mitä ovat kohtisuorat muodot?

Jotkut muodot, joita kutsutaan kohtisuoraksi, ovat muotoja, joissa on vähintään yksi kohtisuora. Erilaisia ​​esimerkkejä kohtisuorasta muodosta ovat neliö, suorakulmio, suorakulmainen kolmio

Mitä ovat kohtisuorat kulmat?

Kulmia, jotka ovat yhtä suuria kuin 90°, kutsutaan kohtisuoraksi kulmiksi. Pystysuorien kulmien toinen nimi on Suorakulmat.

Mikä on kohtisuora symboli?

Symboli tai merkki, joka edustaa kohtisuoraa, on ⟂. Käytämme tätä symbolia osoittamaan, ovatko kaksi viivaa kohtisuorassa. Esimerkiksi jos kirjoitetaan A⟂B, jossa A ja B ovat kaksi suoraa, niin suora A on kohtisuorassa B:tä vastaan ​​ja päinvastoin.

Kuinka tunnistat, mitkä viivat ovat kohtisuorassa?

Jos kahden viivan välinen kulma on 90°. Sitten voidaan sanoa, että nämä kaksi suoraa ovat kohtisuorassa. Jos kahden suoran kaltevuus on annettu muodossa, m₁, m₂sitten käytämme kohtisuoraa viivakaavaa selvittääksemme, ovatko ne kohtisuorassa vai eivät. Pystysuoran suoran kaava on, m₁.m₂= -1

Kuinka löytää kohtisuorien viivojen kaltevuus?

Pystysuorien viivojen kaltevuus voidaan helposti laskea kaltevuuskaavalla. Oletetaan, että meille annetaan suora, sitten muunnamme sen ensin vakiomuotoon ja käytämme sitten kaltevuuskaavaa kaltevuuden löytämiseen. Kaltevuuskaava on, m = -b/a, missä a on x:n kerroin ja b on y:n kerroin.