Propositiologiikka on matematiikan haara, joka tutkii lauseiden (tai väitteiden, lauseiden, väitteiden) välisiä loogisia suhteita kokonaisuutena tarkasteltuna ja loogisten konnektiivien kautta yhdistettynä.

Tässä artikkelissa olemme käsitelleet yksityiskohtaisesti ehdotuslogiikkaa ja siihen liittyviä aiheita.

Sisällysluettelo

• Mikä on logiikka?
• Propositiologiikka
• Totuustaulukko
• 1. Negaatio
• 2. Konjunktio
• 3. Disjunktio
• 4. Yksinomainen Or
• 5. Implisaatio
• 6. Kaksiehtoinen tai kaksoisimplikaatio

Mikä on logiikka?

Logiikka on kaiken matemaattisen päättelyn ja kaiken automaattisen päättelyn perusta. Logiikan säännöt määrittelevät matemaattisten lauseiden merkityksen. Nämä säännöt auttavat meitä ymmärtämään ja perustelemaan väitteitä, kuten -

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Mikä yksinkertaisella englannin kielellä tarkoittaa On olemassa kokonaisluku, joka ei ole kahden neliön summa .

Matemaattisen logiikan merkitys

Logiikan säännöt antavat matemaattisille väitteille tarkan merkityksen. Näitä sääntöjä käytetään erottamaan kelvolliset ja virheelliset matemaattiset argumentit. Sen lisäksi, että logiikalla on merkitys matemaattisen päättelyn ymmärtämisessä, sillä on lukuisia sovelluksia tietojenkäsittelytieteessä, jotka vaihtelevat digitaalisten piirien suunnittelusta tietokoneohjelmien rakentamiseen ja ohjelmien oikeellisuuden tarkistamiseen.

Propositiologiikka

Mikä on ehdotus? Ehdotus on logiikan perusrakennuspalikka. Se määritellään deklaratiiviseksi lauseeksi, joka on joko tosi tai epätosi, mutta ei molempia. The Totuuden arvo lause on Tosi (merkitty T), jos se on tosi, ja False (merkitty F), jos se on väärä väite. Esimerkiksi,

1. Aurinko nousee idässä ja laskee lännessä.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' on vokaali.

Kaikki yllä olevat lauseet ovat lauseita, joista kaksi ensimmäistä ovat kelvollisia (tosi) ja kolmas on Invalid (False). Jotkut lauseet, joilla ei ole totuusarvoa tai joilla voi olla useampi kuin yksi totuusarvo, eivät ole väitteitä. Esimerkiksi,

1. Paljonko kello on?
2. Mene ulos leikkimään
3. x + 1 = 2

Yllä olevat lauseet eivät ole väitteitä, koska kahdella ensimmäisellä ei ole totuusarvoa, ja kolmas voi olla tosi tai epätosi. Edustaakseen ehdotuksia, propositionaaliset muuttujat käytetään. Sopimuksen mukaan näitä muuttujia edustavat pienet aakkoset, kutenp,:q,:r,:s . Logiikka-aluetta, joka käsittelee väitteitä, kutsutaan propositiolaskenta tai propositionaalinen logiikka . Se sisältää myös uusien ehdotusten tekemisen olemassa olevien ehdotusten avulla. Propositiot, jotka on rakennettu käyttämällä yhtä tai useampaa lausetta, kutsutaan yhdistetyt ehdotukset . Ehdotukset yhdistetään käyttämällä Loogiset liitännät tai Loogiset operaattorit .

Propositiologiikka

jfx java opetusohjelma

Totuustaulukko

Koska meidän on tiedettävä lauseen totuusarvo kaikissa mahdollisissa skenaarioissa, harkitsemme kaikkia mahdollisia lauseiden yhdistelmiä, jotka liitetään yhteen loogisilla konnektiiveilla muodostamaan tietyn yhdistetyn lauseen. Tätä kaikkien mahdollisten skenaarioiden kokoelmaa taulukkomuodossa kutsutaan a totuustaulukko . Yleisimmät loogiset liitännät -

1. Negaatio

Josp on ehdotus, sitten negatiivinenp on merkitty eg p , joka yksinkertaiseksi englanniksi käännettynä tarkoittaa- Se ei pidä paikkaansa s tai yksinkertaisesti ei s . Totuusarvo -s on totuusarvon vastakohta s . Totuustaulukko -s On:

Esimerkki, Kielto: Tänään sataa, on Ei ole niin, että tänään sataa tai yksinkertaisesti Ei sataa tänään.

2. Konjunktio

Kaikille kahdelle ehdotuksellep jaq , niiden yhtymä on merkittypwedge q , joka tarkoittaap jaq . Yhteyspwedge q on totta, kun molemmatp jaq ovat totta, muuten vääriä. Totuustaulukkopwedge q On:

Esimerkki, Ehdotusten konjunktiop – Tänään on perjantai jaq - Tänään sataa,pwedge q on Tänään on perjantai ja tänään sataa vettä. Tämä väite pätee vain sateisina perjantaisin ja on väärä muina sateisina päivinä tai perjantaisin, jolloin ei sataa.

3. Disjunktio

Kaikille kahdelle ehdotuksellep jaq , niiden disjunktio on merkittypvee q , joka tarkoittaap taiq . Disjunktiopvee q on totta, kun jompikumpip taiq on totta, muuten epätosi. Totuustaulukkopvee q On:

Esimerkki, Ehdotusten disjunktiop – Tänään on perjantai jaq - Tänään sataa,pvee q on Tänään on perjantai tai tänään sataa. Tämä väite pätee kaikkina päivinä, jotka ovat perjantai tai sadepäivä (mukaan lukien sateiset perjantait), ja se on virheellinen kaikkina muina päivinä kuin perjantaina, jolloin ei myöskään sataa.

4. Yksinomainen Or

Kaikille kahdelle ehdotuksellep jaq , niiden poissulkeva tai on merkittypoplus q , mikä tarkoittaa jokop taiq mutta ei molempia. Yksinomainen taipoplus q on totta, kun jompikumpip taiq on tosi ja epätosi, kun molemmat ovat tosia tai molemmat ovat epätosi. Totuustaulukkopoplus q On:

Esimerkki, Yksinomainen tai ehdotuksistap – Tänään on perjantai jaq - Tänään sataa,poplus q on Joko tänään on perjantai tai tänään sataa, mutta ei molempia. Tämä väite pätee kaikkina päivinä, jotka ovat perjantai tai sadepäivä (ei lukien sateiset perjantait), ja se on virheellinen kaikkina muina päivinä kuin perjantaina, jolloin ei sataa, tai sateisina perjantaisin.

5. Implisaatio

Kaikille kahdelle ehdotuksellep jaq , lausunto josp sittenq kutsutaan implikaatioksi ja sitä merkitäänp ightarrow q . implikaatiossap ightarrow q ,p kutsutaan nimellä hypoteesi tai edeltäjä tai lähtökohta jaq kutsutaan nimellä johtopäätös tai seurauksena . Seurauksena onp ightarrow q kutsutaan myös a ehdollinen lausunto . Viittaus on väärä, kunp on totta jaq on väärä, muuten se on totta. Totuustaulukkop ightarrow q On:

Joku voi ihmetellä, että miksi onp ightarrow q totta kunp on väärä. Tämä johtuu siitä, että implikaatio takaa, että milloinp jaq ovat totta, niin implikaatio on totta. Mutta vaikutus ei takaa mitään, kun lähtökohtap on väärä. Ei ole mitään keinoa tietää, onko implikaatio väärä vai eip ei tapahtunut. Tämä tilanne on samanlainen kuin Viaton kunnes todistettu syyllinen -asenne, mikä tarkoittaa, että implikaatiop ightarrow q katsotaan todeksi, kunnes todistetaan vääräksi. Koska emme voi kutsua implikaatiotap ightarrow q väärä milloinp on väärä, ainoa vaihtoehtomme on kutsua sitä todeksi.

Tämä seuraa siitä Räjähdysperiaate jossa sanotaan: Väärä väite tarkoittaa mitä tahansa Ehdollisilla väitteillä on erittäin tärkeä rooli matemaattisessa päättelyssä, joten ilmaisussa käytetään monenlaista terminologiaa.p ightarrow q , joista osa on lueteltu alla.

Jos p, niin qp riittää qq:lle, kun pa:n välttämätön ehto p on qp vain jos qq ellei ≠pq seuraa p:stä

java-luokan esimerkki

Esimerkki, Jos on perjantai, niin tänään sataa, on ehdotus, joka on muotoap ightarrow q . Yllä oleva väite on totta, jos ei ole perjantai (oletus on väärä) tai jos on perjantai ja sataa, ja se on väärä, kun on perjantai, mutta ei sata.

6. Kaksiehtoinen tai kaksoisimplikaatio

Kaikille kahdelle ehdotuksellep jaq , lausuntop jos ja vain jos (jos)q kutsutaan kaksiehtoiseksi ja sitä merkitäänpleftrightarrow q . Lausuntopleftrightarrow q kutsutaan myös a bi-implikaatio .pleftrightarrow q on sama totuusarvo kuin(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Merkitys on totta, kunp jaq on samat totuusarvot, ja se on muuten väärä. Totuustaulukkopleftrightarrow q On:

Muutamia muita yleisiä ilmaisutapojapleftrightarrow q ovat:

p on välttämätön ja riittävä arvolle qif p sitten q, ja päinvastoin p, jos q

Esimerkki: Tänään sataa, jos ja vain, jos tänään on perjantai. on ehdotus, joka on muotoapleftrightarrow q . Yllä oleva väite on totta, jos ei ole perjantai eikä sataa tai jos on perjantai ja sataa, ja se on väärä, kun ei ole perjantai tai ei sataa. Harjoittele:

javascript monirivinen merkkijono

1) Harkitse seuraavia väitteitä:

• P: Hyvät matkapuhelimet eivät ole halpoja.
• K: Halvat matkapuhelimet eivät ole hyviä.
• L: P tarkoittaa Q:ta
• M: Q tarkoittaa P:tä
• N: P vastaa Q:ta

Mikä seuraavista L:n, M:n ja N:n kohdista on OIKEA? (Portti 2014)

(A) Vain L on TOSI.

(B) Vain M on TOSI.

(C) Vain N on TOSI.

(D) L, M ja N ovat TOSI.

Ratkaisu, katso PORTTI | GATE-CS-2014-(Set-3) | Kysymys 11

2) Mikä seuraavista ei vastaa p?q:ta (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Ratkaisu, katso PORTTI | GATE-CS-2015 (sarja 1) | Kysymys 65