Algebra on yksi matematiikan perusaiheista. Polynomit ovat olennainen osa algebraa. Vietan kaavaa käytetään polynomeissa. Tämä artikkeli käsittelee Vietan kaavaa, joka yhdistää juurien summan ja tulon polynomin kertoimeen. Tätä kaavaa käytetään erityisesti algebrassa.
Vietan kaava
Vietan kaavat ovat niitä kaavoja, jotka tarjoavat suhteen polynomin juurien summan ja tulon välillä polynomien kertoimilla. Vietan kaava kuvaa polynomin kertoimet sen juuren summan ja tulon muodossa.
Vietan kaava
Vietan kaava käsittelee juurien summaa ja tuloa sekä polynomin kerrointa. Sitä käytetään, kun meidän on löydettävä polynomi, kun juuret on annettu, tai meidän on löydettävä juurien summa tai tulo.
Vietan kaava toisen asteen yhtälölle
- Jos f(x) = ax 2 + bx + c on toisen asteen yhtälö, jossa on juuret a ja b sitten,
- Juurien summa = α + β = -b/a
- Juurien tulo = αβ = c/a
- Jos juurien summa ja tulo on annettu, saadaan toisen asteen yhtälö:
- x 2 – (juurien summa)x + (juurten tulo) = 0
Vietan kaava kuutioyhtälölle
- Jos f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d on toisen asteen yhtälö, jossa on juuret a, b ja c sitten,
- Juurien summa = α + β + γ = -b/a
- Kahden juuren tulon summa = αβ + αγ + βγ = c/a
- Juurien tulo = αβγ = -d/a
- Jos sitten annetaan juurten summa ja tulo, saadaan kuutioyhtälö:
- x 3 – (juurien summa)x 2 + (kahden juuren tulon summa)x – (juurten tulo) = 0
Vietan kaava yleistetylle yhtälölle
Jos f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ……… + a 2 x 2 + a 1 x +a 0 on toisen asteen yhtälö, jossa on juuret r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n sitten,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Esimerkkiongelmat
Tehtävä 1: Jos α , β ovat yhtälön juuret: x 2 – 10x + 5 = 0, etsi sitten (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
Ratkaisu:
Annettu Yhtälö:
- x2– 10x + 5 = 0
Vitan kaavan mukaan
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Kuten (a2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100-10
(a2+b2) = 90
Nyt arvo (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Tehtävä 2: Jos α , β ovat yhtälön juuret: x 2 + 7x + 2 = 0 , niin etsi arvo 14÷(1/α + 1/ β).
Ratkaisu:
Annettu yhtälö:
- x2+ 7x + 2 = 0
Vitan kaavan mukaan
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Nyt (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Nyt arvo 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Tehtävä 3: Jos α , β ovat yhtälön juuret: x 2 + 10x + 2 = 0, etsi sitten (α/β + β/α) arvo.
Ratkaisu:
Annettu yhtälö:
- x2+ 10x + 2 = 0
Vitan kaavan mukaan
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Kuten (a2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100-4
= 96
Nyt arvo (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Tehtävä 4: Jos α ja β ovat yhtälön juuret ja koska α + β = -100 ja αβ = -20, niin etsi toisen asteen yhtälö.
Ratkaisu:
Annettu,
- Juurien summa = α + β = -100
- Juurien tulo = αβ = -20
Neliöyhtälö saadaan kaavalla:
x2– (juurien summa)x + (juurten tulo) = 0
x2– (-100)x + (-20) = 0
x 2 + 100x – 20 = 0
Tehtävä 5: Jos α , β ja γ ovat yhtälön juuret ja koska α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 ja αβ γ = -6 niin etsi kuutioyhtälö.
Ratkaisu:
Annettu,
- Juurien summa = α + β + γ = 10,
- Kahden juuren tulon summa = αβ + αγ + βγ = -1
- Juurien tulo = keskiarvo = -6
Kuutioyhtälö saadaan seuraavasti:
x3– (juurien summa)x2+ (kahden juuren tulon summa)x – (juurten tulo) = 0
x3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
x 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Tehtävä 6: Jos α , β ja γ ovat yhtälön x juuret 3 + 1569x 2 – 3 = 0, niin etsi arvo [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Ratkaisu:
Annettu,
- Juurien summa = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Kahden juuren tulon summa = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Juurien tulo = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Siitä lähtien (s3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(s2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Olkoon, p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Yhtälöstä (1):
(s3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
s3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/keskiarvo = -3/3
= -1
Tehtävä 7: Jos α ja β ovat yhtälön x juuret 2 – 3x +2 =0 ja etsi sitten α:n arvo 2 – b 2 .
Ratkaisu:
Annettu,
- Juurien summa = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Juurien tulo = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Kuten (a - b)2= (a + b)2-4ab
luokka vs objekti java(a-b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Siitä asti kun,
a2– b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 – b 2 = 3