Arctan määritellään tangenttifunktion käänteisarvona. Arctan(x) on ruskea^-1(x). Trigonometrisiä funktioita on kuusi ja kaikkien kuuden funktion käänteisarvo repressoidaan siniksi^-1x, cos^-1x, niin^-1x, kosek^-1x, sek^-1x ja pinnasänky^-1x.

Arctan (ruskea^-1x) ei ole samanlainen kuin 1 / tan x. rusketus^-1x on tan x:n käänteisarvo, kun taas 1/tan x on tan x:n käänteisluku. rusketus^-1x:ää käytetään erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä artikkelissa tutkimme arctan-funktion kaavaa, kuvaajaa, ominaisuuksia ja muita yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Mikä on Arctan?
• Mikä on Arctan Formula?
• Arctan Identities
• Arctan Domain ja Range
• Arctan (x) Ominaisuudet
• Arctan pöytä

Mikä on Arctan?

Arcatan on käänteinen trigonometrinen funktio rusketus x. Suorakulmaisen kolmion kohtisuoran ja kannan suhdetta kutsutaan trigonometriseksi funktioksi ja sen käänteisfunktio antaa arktaanifunktion. Tämä selitetään näin,

tan (π/4) = 1

⇒ π/4 = ruskea^-1(1)… (tämä on Arctan Function)

Jos meillä on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on θ, niin tan θ on kohtisuorassa/kanta, niin arctan-funktio on,

θ = tan ^-1 (pystysuora/pohja)

Lisätietoja, Käänteinen trigonometrinen funktio

Mikä on Arctan Formula?

Tangentti on trigonometrinen funktio, ja suorakulmaisessa kolmiossa tangenttifunktio on yhtä suuri kuin kohtisuoran ja kannan suhde (pystysuora/kanta).

Arctan on viittaus tangentin käänteisfunktioon. Symbolisesti arctaania edustaa rusketus^-1x trigonometrisissa yhtälöissä.

Arctan-kaavan määritelmä

Kuten edellä on käsitelty, peruskaava arctaanille saadaan kaavalla arctan (Perpendicular/Base) = θ, missä θ on hypotenuusan ja suorakulmaisen kolmion kannan välinen kulma. Käytämme tätä kaavaa arktaanille löytääksemme kulman θ arvon asteina tai radiaaneina.

Oletetaan, että kulman θ tangentti on x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

Otetaan suorakulmainen kolmio ABC, jonka kulma BCA on θ. Sivu AB on kohtisuora (p) ja sivu BC kanta (b). Nyt kun olemme tutkineet, että tangentti on kohtisuorassa kannan suhteen.

eli tan θ = kohtisuora/kanta = p/b

java-koodaus if else-lauseessa

Ja käyttämällä yllä olevaa lauseketta,

θ = tan ^-1 (p/b)

Arctan Identities

On olemassa erilaisia ​​Arctan-identiteettejä, joita käytetään ratkaisemaan erilaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä. Joitakin tärkeitä arktaani-identiteettejä on annettu alla,

• arctan(-x) = -arctan(x), kaikille x ∈ R
• tan(arktaani x) = x, kaikille reaaliluvuille x
• arctan (ruskeanruskea x) = x, kun x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = kaari(x), jos x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, jos x <0
• sin(arktaani x) = x/ √(1+x²)
• cos(arktaani x) = 1/ √(1+x²)
• arctaani(x) = 2arktaani {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^x1/√(1+z²)dz

Kuinka käyttää Arctan Formulaa?

Arctan Formulaa käytetään erilaisten trigonometristen ongelmien ratkaisemiseen ja sama selitetään alla lisätyssä esimerkissä.

Esimerkki: Suorakulmaisessa kolmiossa PQR, jos kolmion korkeus on √3 yksikköä ja kolmion kanta on 1 yksikkö. Etsi kulma.

Kulman (θ) löytäminen

θ = arktaani (pystysuora/korkeus)

θ = arctaani (√3/1)

θ = 60°

Arctan Domain ja Range

Kaikilla trigonometrisilla funktioilla, mukaan lukien tan (x), on monta yhteen -suhde. Kuitenkin funktion käänteisarvo voi olla olemassa vain, jos sillä on yksi yhteen ja päälle -suhde. Tästä syystä tan x:n aluetta on rajoitettava, muuten käänteistä ei voi olla olemassa. Toisin sanoen trigonometrinen funktio on rajoitettava sen päähaaraan, koska haluamme vain yhden arvon.

• Arctan x:n toimialue on Oikea numero
• Arktaanin alue (x) on (-p/2, p/2)

Tiedämme, että trigonometrisen funktion alue ja alue muunnetaan vastaavasti käänteisen trigonometrisen funktion alueeksi ja alueeksi. Näin ollen voimme sanoa, että verkkotunnuksen tan^-1x on kaikki reaaliluvut ja alue on (-π/2, π/2).

Mielenkiintoinen tosiasia on se, että voimme laajentaa arctan-funktiota kompleksilukuihin. Tässä tapauksessa arctanin alue on kaikki kompleksiluvut.

Arctan (x) Ominaisuudet

Arctan x -ominaisuuksia käytetään erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. On olemassa erilaisia ​​trigonometrisiä ominaisuuksia, joita on tutkittava trigonometrian tutkimiseksi. Tässä artikkelissa on joitain tärkeitä arctan-funktion ominaisuuksia:

• niin niin^-1x) = x
• niin^-1(-x) = -rusketus^-1x
• niin^-1(1/x) = pinnasänky^-1x, kun x> 0
• niin^-1x + niin^-1y = niin^-1[(x + y)/(1 – xy)], kun xy <1
• niin^-1x - niin^-1y = niin^-1[(x – y)/(1 + xy)], kun xy> -1
• niin^-1x + pinnasänky^-1x = π/2
• niin^-1(rusketus x) = x [kun x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), missä n ∈ Z}]
• niin^-1(tan x) = x [kun x EI ole π/2:n pariton kerrannainen. muuten, rusketus^-1(rusketus x) on määrittelemätön.]
• 2 niin^-1x = synti^-1(2x / (1+x²)), kun |x| ≤ 1
• 2 niin^-1x = cos^-1((1-x²) / (1+x²)), kun x ≥ 0
• 2 niin^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), kun -1

Arctan pöytä

Mikä tahansa kulma, joka ilmaistaan ​​asteina, voidaan myös muuntaa radiaaneiksi. Tätä varten kerromme astearvon kertoimella π/180°. Lisäksi arctan-funktio ottaa reaaliluvun syötteenä ja tulostaa vastaavan yksilöllisen kulma-arvon. Alla olevassa taulukossa esitetään joidenkin reaalilukujen arktaanikulma-arvot. Näitä voidaan käyttää myös Arktan-kaavion piirtämisessä.

Kuten edellä tutkimme, arktaanin arvo voidaan johtaa asteina tai radiaaneina. Joten alla oleva taulukko havainnollistaa arktaanin arvioituja arvoja.

Arctan Graph

Arctan-funktion kuvaaja on ääretön graafi. Arktaanin alue on R (reaaliluvut) ja Arctan-funktion alue on (-π/2, π/2). Arctan-funktion kaaviota käsitellään alla alla olevassa kuvassa:

Kaavio tehdään käyttämällä tunnettujen pisteiden arvoa funktiolle y = tan^-1(x)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x johdannainen

Arktaanin johdannainen on erittäin tärkeä matematiikan opiskelussa. Arctan-funktion derivaatta lasketaan seuraavalla konseptilla:

y = arctan x (let)…(1)

Rusketus molemmin puolin

tan y = tan (arctan x) [tiedämme, että tan (arctan x) = x]

ruskea y = x

Molempien puolten erottaminen (ketjusääntöä käyttämällä)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/s²ja

dy/dx = 1 / (1 + rusketus²y) {käyttäen, sek²y = 1 + rusketus²ja}

d / dx (arktaani x) = 1 / (1 + x ² )

Arctan Integral

Arktanin integraali määritellään käänteisen tangentin funktion antiderivaataksi. Arctan x:n integrointi johdetaan alla olevalla konseptilla,

Otetaan f(x) = tan^-1x ja g(x) = 1

Tiedämme, että ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

laittamalla f(x)- ja g(x)-arvot yllä olevaan yhtälöön saadaan,

∫rusketus ^-1 x dx = x rusketus ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

missä C on integraation vakio

Arctan 0

Arktaani 0 on 0. Voimme myös sanoa, että tan^-1(x) = 0. Siten Arctan(0) = 0

Arctan 2

2:n arctaani on 63,435. Voimme myös sanoa, että tan^-1(2) = 63,435. Siten Arctan(2) = 63,435.

Arctan Infinity

Arktaanin ääretön on annettu lim_x→∞niin^-1x = π/2.

Myös Tarkista

• Trigonometrinen taulukko
• Trigonometriset suhteet
• Trigonometriset identiteetit

Arctan esimerkkejä

Esimerkki 1: Arvioi itsesi ^-1 (1).

Ratkaisu:

niin^-1(1)

Arvo 1 voidaan kirjoittaa myös muodossa

1 = ruskea (45°)

Nyt,

niin^-1(1) = niin^-1(rusketus 45°) = 45°

Esimerkki 2: Arvioi itsesi ^-1 (1 732).

Ratkaisu:

niin^-1(1 732)

Arvo 1,732 voidaan kirjoittaa myös muodossa

1,732 = tan (60°)

Nyt,

chr-funktio python

niin^-1(1,732) = niin^-1(rusketus 60°) = 60°

Esimerkki 3: Ratkaise niin ^-1 x + niin ^-1 1/x

Ratkaisu:

• Tiedämme sen, tan^-1x + niin^-1y = niin^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= niin^-1x + niin^-11/x

= niin^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= niin^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= niin^-1[(x + 1/x)/(1 - 1)]

= niin^-1[(x + 1/x)/(0)]

= niin^-1[∞]

= π/2

Esimerkki 4: Etsi tan derivaatta ^-1 √x

Ratkaisu:

Tiedämme sen, d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (niin^-1√x)

Käyttämällä Ketjun sääntö

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Siten d/dx:n derivaatta (tan^-1√x) on √x/{2x(x+1)}

Arctan käytännön kysymyksiä

Q1. Etsi rusketuksen johdannainen ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Etsi rusketuksen integraali ^-1 √x

Q3. Arvioi itsesi niin ^-1 (10)

Q4. Ratkaise niin ^-1 (x) + rusketus ^-1 (x ² )

Arctan-FAQ

1. Mikä on Arctan?

Tangenttifunktion käänteisfunktio on nimeltään Arctan. Se on merkitty nimellä arctan x tai tan^-1x. Arktaanin arvon määrittämiseen käytetty kaava on θ = tan ^-1 (x)

2. Etsi Arctanin johdannainen.

Arktaanin johdannainen on d/dx (arktaani x) = 1 / (1 + x ² )

3. Onko Arctan-funktio tan käänteisfunktio?

Kyllä, arctan-funktio on käänteisrusketusfunktio. Jos tan x = y kuin x = tan^-1ja

4. Onko Arctan samanlainen kuin Cot?

Ei, arctan ei ole samanlainen kuin pinnasänky. Pinnasänky on rusketusfunktion vastavuoroisuus. eli tan x = 1/cot x, kun taas Arctan on käänteinen tan funktiolle arctan x = tan^-1x

5. Mikä on Arctan of Infinity?

Kuten tiedämme jo, että tan arvo (π/2) = ∞. Arctan on tan käänteisfunktio, jolloin voidaan sanoa, että arctan(∞) = π/2.

6. Onko Arctan ja tan^-1sama?

Kyllä, Arctan ja tan^-1on sama kuin Arctan on rusketuksen toinen nimi^-1(x)

7. Miksi Arctan (1) pi on yli 4?

Synnin arvo^-1(π/4) on 1/√2 ja cos^-1(π/4) on 1/√2 ja tiedämme sen, tan^-1(π/4) on sin-¹(π/4)/cos^-1(π/4) ja arcsinin ja arccosin arvo on yhtä suuri, silloin arctanin (1) arvo on π/4.