Keskipisteen kaava on ((x ₁ + x ₂ )/2 ja ₁ + ja ₂ )/2). Kahden pisteen koordinaatit ovat (x₁, ja₁) ja (x₂, ja₂) ja keskipiste on piste, joka on näiden kahden pisteen puolivälissä.

Keskipiste on koordinaattigeometrian peruskäsite. Sillä on ratkaiseva rooli janan keskipisteen löytämisessä. Koordinaattigeometriassa on tapauksia, joissa meidän on tiedettävä kahden tietyn pisteen keskipiste tai janan keskipiste. Tässä tapauksessa käytämme keskipistekaavaa, koska se on yksinkertainen ja tehokas tapa laskea minkä tahansa janan keskipiste riippumatta sen pituudesta tai sijainnista koordinaattitasolla.

Olemme käsitelleet Mid Point -kaavaa yksityiskohtaisesti sen johdosta käyttämällä kolmioiden samankaltaisuutta. Sen ohella olemme kuratoineet ratkaistuja esimerkkejä Mid Point Formulaan.

Keskipisteen määritelmä

Piste, joka jakaa suoran tarkalleen kahteen yhtä suureen puolikkaaseen, on suoran keskipiste. Toisin sanoen, linjan molempien puoliskojen suhde, jossa keskipiste jakaa sen, on 1:1.

Keskiviivan kohta

Keskiviivan pisteen kaava

Suoraosalle AB suorakulmaisessa koordinaatissa, jossa pisteen A x-akselin koordinaatti on x₁ja pisteen A y-akselin koordinaatti on y₁ja vastaavasti pisteen B x-akselin koordinaatti on x₂ja pisteen B y-akselin koordinaatti on y_2,viivan keskipisteen antaa (x_m, ja_m).

Keskipisteen kaava (x_m, ja_m) On:

Keskipisteen kaava

Keskipisteen kaavan johtaminen

Olkoon P(x₁,ja₁) ja Q(x₂,ja₂) on tietyn suoran kaksi päätä koordinaattitasossa ja R(x,y) on piste sillä viivalla, joka jakaa PQ:n suhteessa m₁:m₂sellasta

PR/RQ = m₁/m₂. . .(1)

Keskipisteen kaavan johtaminen

Viivojen PM, QN ja RL piirtäminen kohtisuorassa x-akselilla ja R:n kautta piirrä x-akselin suuntainen suora viiva saavuttaakseen MP kohdassa S ja NQ kohdassa T.

Näin ollen kuviosta voimme sanoa:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

topologiat

RT = LN = PÄÄLLÄ – Ol = x₂– x. . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- ja. . . (5)

Nyt kolmio ∆ SPR on samanlainen kuin kolmio ∆TQR .

Siksi,

SR/RT = PR/RQ

Käyttämällä yhtälöitä 2, 3 ja 1 tiedämme:

x – x₁/ x₂– x = m₁/ m₂

⇒ m₂x – m₂x₁= m₁x₂– m₁x

⇒ m₁x + m₂x = m₁x₂+ m₂x₁

⇒ (m₁+ m₂)x = m₁x₂+ m₂x₁

java swing

⇒ x = (m₁x₂+ m₂x₁) / (m₁+ m₂)

Nyt kolmio ∆ SPR on samanlainen kuin kolmio ∆ TQR,

Siksi,

PS/TQ = PR/RQ

Käyttämällä yhtälöitä 4, 5 ja 1 tiedämme:

ja ja₁/ ja₂– y = m₁/ m₂

⇒ m₂y – m₂ja₁= m₁ja₂– m₁ja

⇒ m₁y + m₂y = m₁ja₂+ m₂ja₁

⇒ (m₁+ m₂)y = m₁ja₂+ m₂ja₁

⇒ y = (m₁ja₂+ m₂ja₁) / (m₁+ m₂)

Siksi R(x,y):n koordinaatit ovat:

R(x, y) = (m ₁ x ₂ + m ₂ x ₁ ) / (m ₁ + m ₂ ), (m ₁ ja ₂ + m ₂ ja ₁ ) / (m ₁ + m ₂ )

Koska jouduimme laskemaan keskipisteen, pidämme molempien m:n arvot₁ja m₂kuin sama ts.

Keskipisteelle tunnemme keskipisteen määritelmällä m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.v₂+ 1.v₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ + x ₁ ) / 2 ja ₂ + ja ₁ ) / 2

Kuinka löytää keskipiste?

Minkä tahansa janan keskipisteen koordinaatit löytämiseksi voimme käyttää keskipistekaavaa, jos janan päätepisteet on annettu. Harkitse samaa seuraavaa esimerkkiä.

Esimerkki: Etsi sellaisen janan keskipisteen koordinaatit, jonka päätepisteet ovat (5, 6) ja (-3, 4).

Ratkaisu:

Kuten tiedämme, janan keskipiste saadaan kaavasta:

Keskipiste = ((x₁+x₂)/2 ja₁+y₂)/2)

missä (x₁, ja₁) ja (x₂, ja₂) ovat janan päätepisteiden koordinaatit.

Keskipiste = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Keskipiste = (2/2, 10/2)

⇒ Keskipiste = (1, 5)

Siksi janan keskipisteen koordinaatit ovat (1, 5).

Liittyvä kaava

Keskipistekaavalla on samanlaisia ​​kaavoja, jotka ovat seuraavat:

• Osion kaava
• Centroid-kaava

Osion kaava

Osion kaava käytetään etsimään sen pisteen koordinaatti, joka jakaa tietyn janan halutussa suhteessa. Oletetaan, että janan päätepisteet ovat A ja B koordinaattein (x ₁ , ja ₁ ) ja (x ₂ , ja ₂ ) , ja P on piste, joka jakaa suoraa AB yhdistävän janan m:n:ssä. Sitten P:n koordinaatti saadaan seuraavasti:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (minun ₂ + ₁ )/(m+n)]

Centroid-kaava

Centroid-kaavaa käytetään monikulmion keskipisteen löytämiseen ja matemaattisesti kolmioille ja nelikulmioille annetaan seuraava:

Kolmion kaavan keskipiste

Kolmion keskipisteen koordinaatit, jonka kärjet ovat (x₁, ja₁), (x₂, ja₂), ja (x₃, ja₃) ovat:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ )/3, (ja ₁ + ja ₂ + ja ₃ )/3)

Kolmion keskus

Nelisivukaavan keskipiste

Nelikulmion keskipisteen koordinaatit, jossa on kärkipisteet (x₁, ja₁), (x₂, ja₂), (x₃, ja₃), ja (x₄, ja₄) ovat:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ )/4, (ja ₁ + ja ₂ + ja ₃ + ja ₄ )/4)

Nelikulmaisen keskipiste

Ratkaistiin kysymyksiä Mid-Point Formulasta

Kysymys 1: Mikä on janan AB keskipiste, jossa piste A on kohdassa (6,8) ja piste B on (3,1)?

nukkua javascriptissä

Ratkaisu:

Olkoon keskipiste M(x_m, ja_m),

x_m= (x₁+ x₂) / 2

x₁= 6, x₂= 3

Siten x_m= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

ja_m= (ja₁+ ja₂) / 2

ja₁= 8 ja₂= 1

Siten y_m= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Siten suoran AB keskipiste on (4.5, 4.5).

Kysymys 2: Mikä on janan AB keskipiste, jossa piste A on kohdassa (-6,4) ja piste B on (4,2)?

Ratkaisu:

hashtable java

Olkoon keskipiste M(x_m, ja_m),

x₁= -6, x₂= 4 ja₁= 4 ja₂= 2

(x_m, ja_m) = ((x₁+ x₂) / 2 ja₁+ ja₂) / 2)

(x_m, ja_m) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(x_m, ja_m) = ((-2)/2, (6)/2)

(x_m, ja_m) = (-1, 3)

Siten suoran AB keskipiste on (-1, 3).

Kysymys 3: Etsi p:n arvo siten, että (–2, 2.5) on keskipiste arvojen (p, 2) ja (–1, 3) välillä.

Ratkaisu:

Olkoon keskipiste M(x_m, ja_m) = (-2, 2,5) missä,

x₁= -1, x_m= -2

loppupisteen y-koordinaatti tunnetaan jo nimellä 2, joten meidän on löydettävä vain x-koordinaatti

x_m= (x₁+ x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Tästä syystä viivan toinen päätepiste on (-3, 2).

Kysymys 4: Jos janan päätepisteiden koordinaatit ovat (3, 4) ja (7, 8), selvitä janan keskipisteen ja pisteen (3, 4) välinen etäisyys.

Ratkaisu:

tostring javassa

Olkoot A(3, 4) ja B(7, 8) tietyn janan päätepisteet ja C janan AB keskipiste.

Käytä sitten keskipistekaavaa,

C:n koordinaatti = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Etäisyyskaavan käyttö

Etäisyys = √{(x₂– x₁)²+ (ja₂- ja₁)²}

⇒ Etäisyys = √{(3–5)²+ (4–6)²}

⇒ Etäisyys =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Etäisyys =√8 = 2√2

Siksi janan keskipisteen ja pisteen (3, 4) välinen etäisyys on 2√2.

Mid Point Formula – UKK

Mikä on keskipistekaava?

Matemaattisesti keskipistekaava annetaan seuraavasti:

Keskipiste = ((x ₁ + x ₂ )/2 ja ₁ + ja ₂ )/2)

Mikä on keskipistekaavan merkitys?

Keskipistekaava on tärkeä, koska sen avulla voimme löytää minkä tahansa suorasegmentin keskipisteen suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Mitä ovat keskipistekaavan sovellukset?

Keskipistekaavalla on monia käyttötapauksia, koska geometriassa sitä voidaan käyttää kolmioiden, monikulmioiden ja muiden muotojen ratkaisuihin ja ominaisuuksiin, fysiikassa sillä on käyttöä myös massakeskipisteen löytämisessä.

Voidaanko keskipistekaavaa käyttää kolmelle tai useammalle pisteelle?

Ei, keskipistekaavaa ei voi käyttää kolmelle pisteelle, koska keskipiste on määritelty vain kahdelle pisteelle. Kolmelle pisteelle voimme käyttää sentroidikaavaa, jos haluamme löytää sentroidin koordinaatin annetuista kolmesta pisteestä muodostamalle kolmiolle.

Kuinka monta keskipistettä janolla on?

Janolla on vain yksi keskipiste.