Aritmeettinen progressio, joka tunnetaan myös nimellä A.P., on matematiikan sekvenssi, jossa kahden peräkkäisen termin välinen ero on vakio. Vakio tunnetaan yhteisenä erona. Aritmeettinen progressio on järjestyksessä olevien numeroiden sarja, jossa minkä tahansa kahden peräkkäisen luvun välinen ero on vakioarvo.

Tässä artikkelissa opimme aritmeettisen etenemisen määritelmästä, aritmeettisista etenemiskaavoista, niihin liittyvistä esimerkeistä ja muista yksityiskohtaisesti.

set vs kartta

Sisällysluettelo

• Mikä on aritmeettinen progressio?
• Merkinnät aritmeettisessa progressiossa
• Aritmeettisen progression yleinen ero
• Aritmeettisen progression ensimmäinen termi
• Aritmeettisen progression N:s termi
• Aritmeettisen edistyksen summa
• Aritmeettinen etenemiskaava (AP-kaavat)

Mikä on aritmeettinen progressio?

Aritmeettinen progressio (AP) on numerosarja, jossa kahden peräkkäisen luvun välinen ero on vakioarvo. Toisin sanoen aritmeettinen eteneminen voidaan määritellä seuraavasti Matemaattinen sarja, jossa kahden peräkkäisen termin välinen ero on aina vakio.

Esimerkiksi lukusarjat: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… ovat aritmeettisessa progressiossa, jolla on yhteinen ero (d) kahden peräkkäisen termin (kuten 1 ja 2) välillä, joka on yhtä suuri kuin 1 (2 – 1). Yhteinen ero kahden peräkkäisen termin välillä voidaan nähdä, parittomilla ja parillisilla luvuilla, joita 2 on yhtä suuri. AP:ssä kolme päätermiä ovat yhteinen ero (d), nth term (a_n), ja ensimmäisen n ehdon summa (S_n); kaikki kolme termiä edustavat AP:n ominaisuuksia. Katsotaanpa yksityiskohtaisesti, mikä yhteinen ero on,

AP:ssa törmäämme erilaisiin sanoihin, kuten sekvenssi, sarja ja eteneminen; Katsotaan nyt, mitä kukin sana määrittelee,

• Järjestys on äärellinen tai ääretön lukuluettelo, joka noudattaa tiettyä kaavaa. Esimerkiksi 0, 1, 2, 3, 4, 5… on sarja, joka on kokonaislukujen loputon sarja.

• Sarja on niiden elementtien summa, joita sarja vastaa. Esimerkiksi 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. on luonnollisten lukujen sarja. Jokaista sekvenssin tai sarjan numeroa kutsutaan termiksi. Tässä 1 on termi, 2 on termi, 3 on termi jne.

• Edistyminen on sekvenssi, jossa yleinen termi voidaan ilmaista käyttämällä matemaattista kaavaa tai sekvenssiä, joka käyttää matemaattista kaavaa, joka voidaan määritellä progressioksi.

Huomautus: Etenemistä on pääasiassa kolmea tyyppiä:

1. Aritmeettinen progressio (AP)
2. Geometrinen eteneminen (GP)
3. Harmoninen eteneminen (HP)

Merkinnät aritmeettisessa progressiossa

Tulemme kohtaamaan seuraavat merkinnät aritmeettisessa etenemisessä:

• Ensimmäinen lukukausi ⇢ a
• Yhteinen ero ⇢ d
• N. termi ⇢ a _n
• Ensimmäisen n ehdon summa ⇢ S _n

Aritmeettisen progression yleinen muoto on a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Tässä muutamia esimerkkejä AP:sta:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Aritmeettisen progression yleinen ero

Yhteinen ero on merkitty d:llä aritmeettisessa progressiossa. Se on ero seuraavan ja sitä edeltävän termin välillä. Aritmeettisessa progressiossa se on aina vakio tai sama. Sanalla sanoen, jos yhteinen ero on vakio tietyssä sekvenssissä, voimme sanoa, että tämä on A.P. Jos sekvenssi on_1,a₂, a₃, a₄, ja niin edelleen.

Toisin sanoen aritmeettisen etenemisen yhteinen ero on merkitty d:llä. Peräkkäisen ja sitä edeltävän termin välinen ero. Se on aina vakio tai sama aritmeettiselle progressiolle. Toisin sanoen voimme sanoa, että tietyssä sekvenssissä, jos yhteinen ero on vakio tai sama, voimme sanoa, että annettu sekvenssi on Aritmeettinen progressio (AP).

Kaava yhteisen eron löytämiseksi on,

d = (a _{n + 1} – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Jos yhteinen ero on positiivinen, niin AP kasvaa . Esimerkiksi 4, 8, 12, 16… näissä sarjoissa AP kasvaa

• Jos yhteinen ero on negatiivinen, niin AP pienenee . Esimerkiksi -4, -6, -8…, tässä AP pienenee.

• Jos yhteinen ero on nolla AP on vakio . Esimerkiksi 1, 2, 3, 4, 5…, tässä AP on vakio.

Aritmeettisen etenemisen sekvenssi on kuin a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Yhteinen ero (d) = a ₂ – a ₁ = d

a ₃ – a ₂ = d

a ₄ – a ₃ = d ja niin edelleen.

Aritmeettisen progression ensimmäinen termi

Aritmeettinen progressio voidaan kirjoittaa yhteisen eron (d) avulla seuraavasti:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n - 1)d

missä,

• a on AP:n ensimmäinen termi
• d on AP:n yhteinen ero

Aritmeettisen progression N:s termi

N:s termi voidaan löytää käyttämällä alla mainittua kaavaa,

T _n = a + (n − 1)d

missä,

binääripuu postimyynnin läpikulku

• a on AP:n ensimmäinen termi
• d on yhteinen ero
• n on termien lukumäärä
• T_non n:s termi

Aritmeettisen progression N:s termi

Huomautus: Aritmeettisen sekvenssin käyttäytyminen perustuu yhteisen eron arvoon.

• Jos d on positiivinen, termit kasvavat positiiviseen äärettömyyteen.
• Jos d on negatiivinen, jäsenten ehdot kasvavat negatiiviseen äärettömyyteen

Aritmeettisen progression summa

Aritmeettisen progression summakaava selitetään alla; Tarkastellaan AP:ta, joka koostuu n termistä.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Aritmeettisen progression summa, kun ensimmäinen ja viimeinen termi on annettu,

S = n/2 (AP:n ensimmäinen termi + AP:n viimeinen termi)

S = N/2[a+ a _n ]

Aritmeettinen etenemiskaava (AP-kaavat)

AP:lle, jossa on ensimmäinen termi 'a' ja yhteinen ero 'd', sen eri kaavat ovat:

• Yhteinen ero AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• AP:n n. termi: a _n = a + (n - 1)d

• AP:n ehtojen summa: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , jossa l on aritmeettisen progression viimeinen termi.

Aritmeettisen progression yhteenveto

• Aritmeettinen progressio (AP) on lukujono, jossa minkä tahansa kahden peräkkäisen luvun välinen ero on vakioarvo. Esimerkiksi numerosarja: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Aritmeettisen progression yleinen muoto on a, a + d, a + 2d, a + 3d…

• Aritmeettisen etenemisen n:nnen termin kaava on a _n = a + (n - 1)d

• Ensimmäisen n ehdon summa tai aritmeettinen summakaava on S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Aritmeettiseen progressioon liittyvä artikkeli:

• Summauskaava
• Luonnollisten lukujen summa
• Aritmeettinen ja geometrinen eteneminen

Esimerkkejä aritmeettisesta edistymisestä

Esimerkki 1: Etsi AP, jos ensimmäinen termi on 15 ja yhteinen ero on 4.

Ratkaisu:

Kuten tiedämme,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Tässä a = 15 ja d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …ja niin edelleen.

Eli AP on 15, 19, 23, 27, 31…

Esimerkki 2: Etsi annetulle AP:lle 20. termi: 3, 5, 7, 9, …

Ratkaisu:

Annettu, 3, 5, 7, 9, 11……

dfa-esimerkkejä

Tässä,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a_n= a + (n − 1)d

a_{kaksikymmentä}= 3 + (20−1)2

a_{kaksikymmentä}= 3 + 38

a_{kaksikymmentä}= 41

Tässä 20. lukukausi on a_{kaksikymmentä}= 41

Esimerkki 3: Etsi 5:n 20 ensimmäisen kerrannaissumma.

Ratkaisu:

5:n ensimmäiset 20 kerrannaista ovat 5, 10, 15, … 100.

Tässä on selvää, että muodostettu sekvenssi on aritmeettinen sarja, jossa

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20–1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Käytännön kysymyksiä aritmeettisesta edistymisestä

Q1. Aritmeettisen progression ensimmäisen nn termin summan antaa S _n = 3n ² + 2n. Etsi yhteinen ero ja ensimmäinen termi.

muuntaa merkkijonon int

Q2. Aritmeettisen progression ensimmäinen termi on 7 ja 11. termi on 31. Laske 11 ensimmäisen termin summa.

Q3. Aritmeettisessa progressiossa 10 ensimmäisen termin summa on 150 ja seuraavan 10 termin summa on 550. Etsi ensimmäinen termi ja yhteinen ero.

Q4. Jos aritmeettisen progression 4. termi on 10 ja 9. termi on 25, etsi 15. termi.

Q5. Aritmeettisen progression yhteinen ero on 5. Jos kuudes termi on 22, etsi ensimmäinen termi ja 12 ensimmäisen termin summa.

Aritmeettisen progression usein kysytyt kysymykset

Mitä on aritmeettinen progressio esimerkin avulla?

Aritmeettinen progressio on lukujono, jossa kahdella peräkkäisellä termillä on yhteinen ero. Esimerkiksi: 3, 6, 9, 12, 15,…

Kuinka löydät aritmeettisen progression summan?

Aritmeettisen progression summan löytämiseksi voidaan käyttää seuraavia kaavoja annettujen tietojen perusteella:

S = n/2 (AP:n ensimmäinen termi + AP:n viimeinen termi) = n/2[a+ a _n ]

Mitä eroa on aritmeettisella progressiolla ja aritmeettisella sarjalla?

Aritmeettinen progressio on sekvenssien lukumäärä millä tahansa alueella, joka tarjoaa yhteisen eron. Sitä vastoin aritmeettinen sarja/sekvenssi on kaikkien aritmeettisessa etenemisessä olevien termien summa.

Mikä on AP:n ja GP:n kaava?

AP:n ja GP:n kaava on:

• AP: a _n = a + (n - 1).d
• GP: a _n = a.r

Mitä aritmeettista progressiota käytetään?

Aritmeettinen progressio on sarja, joka antaa yhteisen eron kahden peräkkäisen termin välillä. Sitä käytetään jokapäiväisessä elämässä yleistämään kuvioita. Esimerkiksi bussia odotellessa oletetaan, että linja-autot liikkuvat tasaisella nopeudella, AP:n avulla voit kertoa milloin bussi saapuu. AP:tä voidaan käyttää myös pyramidin kaltaisten rakenteiden tekemiseen jne.