Boolen algebra on eräänlainen algebra, joka luodaan käyttämällä binäärijärjestelmää. Vuonna 1854 George Boole, englantilainen matemaatikko, ehdotti tätä algebraa. Tämä on muunnelma Aristoteleen lauselogiikasta, joka käyttää symboleja 0 ja 1 tai tosi ja epätosi. Boolen algebra koskee binäärimuuttujia ja logiikkatoimintoja.

Boolen algebra on perustavanlaatuinen digitaalisten elektroniikkajärjestelmien kehittämisessä, koska ne kaikki käyttävät käsitettä Boolen algebra komentojen suorittamiseen. Digitaalisen elektroniikan lisäksi tätä algebraa voidaan soveltaa myös joukkoteoriassa, tilastotiedoissa ja muilla matematiikan aloilla.

Tässä artikkelissa opimme Boolen perusoperaatioista, Boolen lausekkeista, totuustaulukoista, Boolen laeista ja muista yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Boolen algebran operaatiot
• Boolen Algberan taulukko
• Boolen lauseke ja muuttujat
• Boolen algebran terminologiat
• Totuustaulukot Boolen algebrassa
• Boolen algebran säännöt
• Boolen algebran lait
• Boolen algebran lauseet
• Ratkaistiin esimerkkejä Boolen algebrasta

Boolen algebran operaatiot

Boolen algebrassa käytetään erilaisia ​​operaatioita, mutta perusoperaatiot, jotka muodostavat Boolen algebran perustan, ovat.

• Kielteisyys tai EI toimintaa
• Yhteys tai JA-toiminto
• Disjunktio tai TAI-toiminto

Boolen algebralauseke

Tarkistaa: Boolen algebran perusteet digitaalisessa elektroniikassa

Näillä operaatioilla on omat symbolinsa ja tärkeysjärjestyksensä, ja alla lisätty taulukko näyttää näiden operaattorien symbolin ja tärkeysjärjestyksen.

Voimme helposti määrittää nämä toiminnot käyttämällä kahta loogista muuttujaa.

Otetaan kaksi loogista muuttujaa A ja B, joilla voi olla mikä tahansa kahdesta arvosta 0 tai 1, eli ne voivat olla joko OFF tai ON. Sitten nämä toiminnot selitetään seuraavasti:

Negaatio tai EI -toiminto

Käyttämällä EI operaatio kääntää Boolen muuttujan arvon 0:sta 1:ksi tai päinvastoin. Tämä voidaan ymmärtää näin:

• Jos A = 1, niin EI-operaatiolla meillä on (A)' = 0

• Jos A = 0, niin EI-operaatiolla saamme (A)’ = 1
• Negaatiooperaatio esitetään myös muodossa ~A, eli jos A = 1, ~A = 0

Tarkistaa: Boolen algebran ominaisuudet

Konjunktio tai AND-operaatio

Käyttämällä JA operaatio täyttää ehdon, jos sekä yksittäisten muuttujien arvot ovat tosi että jos jokin arvoista on epätosi, tämä operaatio antaa negatiivisen tuloksen. Tämä voidaan ymmärtää niin,

• Jos A = tosi, B = tosi, niin A . B = Totta

• Jos A = tosi, B = epätosi tai A = epätosi, B = tosi, niin A . B = Väärin

• Jos A = epätosi, B = epätosi, niin A . B = Väärin

Tarkistaa: Boolen algebralliset lauseet

Disjunktion (OR) toiminta

Käyttämällä TAI operaatio täyttää ehdon, jos mikä tahansa yksittäisten muuttujien arvo on tosi, se antaa negatiivisen tuloksen vain, jos molemmat arvot ovat epätosi. Tämä voidaan ymmärtää niin,

• Jos A = tosi, B = tosi, niin A + B = tosi

• Jos A = tosi, B = epätosi tai A = epätosi, B = tosi, niin A + B = tosi

• Jos A = epätosi, B = epätosi, niin A + B = epätosi

Boolen algebran taulukko

Alla on Boolen algebran lauseke

Boolen lauseke ja muuttujat

Boolen lauseke on lauseke, joka tuottaa arvioituna Boolen arvon, eli se tuottaa joko oikean tai väärän arvon. Boolen muuttujat ovat muuttujia, jotka tallentavat Boolen lukuja.

P + Q = R on Boolen lauseke, jossa P, Q ja R ovat Boolen muuttujia, jotka voivat tallentaa vain kaksi arvoa: 0 ja 1. 0 ja 1 ovat synonyymejä arvoille false ja True, ja niitä käytetään joskus Boolen algebrassa. käytämme myös Kyllä sanan Totta ja Ei sanan Epätosi tilalla.

Voidaan siis sanoa, että Boolen muuttujia käyttävät ja Boolen operaatioilla toimivat lausekkeet ovat Boolen lausekkeita. Joitakin esimerkkejä Boolen lausekkeista ovat,

• A + B = tosi
• A.B = Totta
• (A)' = Väärin

Tarkistaa: Boolen algebran aksioomit

Boolen algebran terminologiat

Boolen algebraan liittyy erilaisia ​​termejä, joita käytetään selittämään erilaisia ​​parametreja Boolen algebra . Se sisältää,

• Boolen algebra
• Boolen muuttujat
• Boolen funktio
• Kirjaimellinen
• Täydentää
• Totuustaulukko

Nyt käsittelemme Boolen algebran tärkeitä terminologioita alla olevassa artikkelissa,

Boolen algebra

Algebran haaraa, joka käsittelee binääritoimintoja tai loogisia operaatioita, kutsutaan Boolen algebraksi. Sen esitteli George Boole 1800-luvun puolivälissä. Sitä käytetään binäärimuuttujien loogisten funktioiden analysointiin ja manipulointiin. Sitä käytetään laajasti eri aloilla, kuten digitaalisessa logiikassa, tietojenkäsittelytieteessä ja tietoliikenteessä.

Boolen muuttujat

Boolen algebrassa käytettyjä muuttujia, jotka tallentavat loogiset arvot 0 ja 1, kutsutaan loogisiksi muuttujiksi. Niitä käytetään tallentamaan joko oikeita tai vääriä arvoja. Boolen muuttujat ovat perustavanlaatuisia loogisten tilojen tai väitteiden esittämisessä Boolen lausekkeissa ja funktioissa.

Boolen funktio

Boolen algebran funktiota, joka muodostuu Boolen muuttujien ja Boolen operaattoreiden käytöstä, kutsutaan Boolen funktioksi. Se muodostetaan yhdistämällä Boolen muuttujia ja loogisia lausekkeita, kuten AND, OR ja NOT. Sitä käytetään mallintamaan loogisia suhteita, ehtoja tai toimintoja.

Kirjaimellinen

Muuttujaa tai muuttujan komplementtia Boolen algebrassa kutsutaan Literaaliksi. Literaalit ovat loogisten lausekkeiden ja funktioiden perusrakennuspalikoita. Ne edustavat operandeja loogisissa operaatioissa.

Täydentää

Boolen muuttujan käänteisarvoa kutsutaan muuttujan komplementiksi. 0:n komplementti on 1 ja luvun 1 komplementti on 0. Sitä edustaa muuttujan yläpuolella ' tai (¬). Täydennyksiä käytetään edustamaan loogisia negaatioita Boolen lausekkeissa ja funktioissa.

Totuustaulukko

Taulukkoa, joka sisältää kaikki loogisten muuttujien mahdolliset arvot ja muuttujan yhdistelmän yhdessä annetun toiminnon kanssa, kutsutaan totuustaulukoksi. Totuustaulukon rivien määrä riippuu kyseisessä funktiossa käytettyjen Boolen muuttujien kokonaismäärästä. Se annetaan käyttämällä kaavaa,

Totuustaulukon rivien määrä = 2 ⁿ

missä n on käytettyjen Boolen muuttujien lukumäärä.

Tarkistaa:

• Joukkoteoria
• Tilastot

Totuustaulukot Boolen algebrassa

Totuustaulukko edustaa kaikkia syötearvojen ja tulosten yhdistelmiä taulukkomuodossa. Siinä näkyvät kaikki tulon ja lähdön mahdollisuudet ja tästä syystä nimi totuustaulukko. Logiikkatehtävissä totuustaulukoita käytetään yleisesti esittämään erilaisia ​​tapauksia. T tai 1 tarkoittaa 'tosi' ja F tai 0 tarkoittaa 'epätosi' totuustaulukossa.

Esimerkki: Piirrä ehtojen A + B ja A.B totuustaulukko, joissa A ja b ovat loogisia muuttujia.

Ratkaisu:

Vaadittu totuustaulukko on,

Boolen algebran säännöt

Boolen algebrassa on erilaisia ​​perussääntöjä loogiselle ilmaisulle.

• Binääriesitys: Boolen algebrassa muuttujilla voi olla vain kaksi arvoa joko 0 tai 1, missä 0 edustaa matalaa ja 1 korkeaa. Nämä muuttujat edustavat järjestelmän loogisia tiloja.
• Täydennyksen esitys: Muuttujien komplementti esitetään (¬) tai (‘) muuttujan päällä. Tämä osoittaa muuttujan arvon loogisen negation tai inversion. Joten muuttujan A komplementti voidaan esittääoverline{A}, jos A = 0, sen komplementti on 1.
• TAI Toiminta: TAI-operaatiota edustaa (+) muuttujien välillä. TAI-operaatio palauttaa arvon tosi, jos ainakin yksi operandeista on tosi. Otetaan esimerkkeihin kolme muuttujaa A,B,C, TAI-toiminto voidaan esittää muodossa A+B+C.
• JA toiminta: AND-operaatio on merkitty (.) muuttujien väliin. AND-operaatio palauttaa arvon tosi vain, jos kaikki operandit ovat tosi. Otetaan esimerkiksi kolme muuttujaa A,B,C, JA-toiminto voidaan esittää A.B.C tai ABC.

Boolen algebran lait

Boolen algebran peruslait on lisätty alla olevaan taulukkoon,

Opitaanpa näistä laeista yksityiskohtaisesti.

Identiteettilaki

Boolen algebrassa meillä on identiteettielementit sekä AND(.)- että OR(+)-operaatioille. Identiteettilaki sanoo, että boolen algebrassa on sellaisia ​​muuttujia, että AND- ja OR-operaatioilla operoitaessa saamme saman tuloksen, ts.

• A + 0 = A
• A.1 = A

Kommutatiivinen laki

Boolen algebran binäärimuuttujat noudattavat kommutatiivista lakia. Tämä laki sanoo, että loogisten muuttujien A ja B käyttö on samanlaista kuin loogisten muuttujien B ja A käyttö.

• A. B = B. A
• A + B = B + A

Yhdistyslaki

Assosiatiivisen lain mukaan Boolen operaattorin suoritusjärjestys on epälooginen, koska niiden tulos on aina sama. Tämä voidaan ymmärtää niin,

• ( A. B ) . C = A. ( B. C )
• ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Jakelulaki

Boolen muuttujat noudattavat myös distributiivista lakia ja jakautumislain ilmaisu annetaan seuraavasti:

• A . (B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversion laki

Inversiolaki on Boolen algebran ainutlaatuinen laki, jonka mukaan minkä tahansa luvun komplementin komplementti on itse luku.

• (A')' = A

Näiden lisäksi alla on mainittu muita lakeja:

JA laki

Boolen algebran AND-laki käyttää AND-operaattoria ja AND-laki on,

• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A

TAI laki

Boolen algebran OR-laki käyttää OR-operaattoria ja OR-laki on,

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A

De Morganin lakeja kutsutaan myös Morganin lauseesta . Ne ovat tärkeimmät lait Boolen algebra ja ne on lisätty alle otsikon Boolen algebralause alle

Android-sovelluksen lukitseminen

Boolen algebran lauseet

Boolen algebrassa on kaksi erittäin tärkeää peruslausetta, jotka ovat De Morganin ensimmäinen laki ja De Morganin toinen laki. Näitä kutsutaan myös De Morganin lauseiksi. Otetaan nyt selvää molemmista yksityiskohtaisesti.

De Morganin ensimmäiset lait

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

• Boolen algebran ominaisuudet
• Matemaattisen induktion periaate
• Logiikka portit

Ratkaistiin esimerkkejä Boolen algebrasta

Piirrä totuustaulukko P + P.Q = P

Ratkaisu:

Totuustaulukko P + P.Q = P

P	K	P.Q	P + P.Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

Totuustaulukosta voimme nähdä, että P + P.Q:n totuusarvot ovat täsmälleen samat kuin P.

Piirrä totuustaulukko P.Q + P + Q:lle

Ratkaisu:

Totuustaulukko P.Q + P + Q:lle

P	K	P.Q	P.Q + P + Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

Ratkaista extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Ratkaisu:

De Morganin lain avulla

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Jakelulain käyttö

string.compareto c#

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Joten, yksinkertaistettu lauseke annetulle yhtälölleoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Johtopäätös

Boolen algebra toimii perustana loogisten lausekkeiden esittämiselle ja käsittelemiselle binäärimuuttujien ja loogisten operaattoreiden avulla. Sillä on keskeinen rooli useilla eri aloilla, kuten digitaalisen logiikan suunnittelussa, tietokoneohjelmoinnissa ja piirianalyysissä. Tarjoamalla systemaattisen tavan kuvata ja analysoida loogisia suhteita, Boolen algebra mahdollistaa monimutkaisten järjestelmien ja algoritmien kehittämisen. Sen periaatteet ja toiminnot, mukaan lukien AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR ja XNOR, muodostavat rakennuspalikoita logiikkapiirien suunnittelussa, tehokkaan koodin kirjoittamisessa ja loogisten ongelmien ratkaisemisessa.

Boolen algebra - UKK

Mikä on Boolen algebra?

Boolen algebra kutsutaan myös Looginen algebra on matematiikan haara, joka käsittelee Boolen muuttujia, kuten 0 ja 1.

Mitä ovat Boolen pääoperaattorit?

On kolme pääasiallista Boolen operaattoria, jotka ovat

• JA (liitos)
• TAI (Disjunktio)
• EI (kielto)

Kuinka minimoida Boolen funktio?

Boolen funktioiden minimoimiseen on useita tapoja, mukaan lukien:

• Algebrallinen yksinkertaistus:
• Karnaugh Maps (K-Maps):
• Quine-McCluskey-algoritmi:
• Taulukkomenetelmä:
• Älä välitä -olosuhteet:

Mitä ovat Boolen algebran sovellukset?

Boolen algebra on erilaisia ​​sovelluksia. Sitä käytetään yksinkertaistamaan loogisia piirejä, jotka ovat modernin tekniikan selkäranka.

Mitä 0 edustaa Boolen algebrassa?

0 tuumaa Boolen algebra edustaa väärää ehtoa tai se edustaa sammutustilaa.

Mitä 1 edustaa Boolen algebrassa?

1 tuumaa Boolen algebra edustavat todellista ehtoa tai se edustaa kytkentätilaa.

Mitkä ovat Boolen algebran lait?

Boolen algebran lait ovat sääntöjä binäärimuuttujien loogisten lausekkeiden manipuloimiseksi, varmistaa johdonmukaisuuden ja yksinkertaistamisen toimissa, kuten yhteen-, kertolasku- ja täydennystoiminnoissa, mikä on ratkaisevan tärkeää digitaalisen elektroniikan ja tietojenkäsittelytieteen aloilla.

Mitkä ovat Boolen algebran 5 lakia?

Boolen algebra Sitä hallitsee viisi primaarilakia, jotka toimivat perustana loogisten lausekkeiden manipuloinnille:

1. JA:n henkilöllisyyslaki

2. OR:n henkilöllisyyslaki

3. Täydennä AND-lakia

4. Täydennä OR-lakia

5. Idempotentti laki

Mitkä ovat Boolen logiikan kolme lakia?

Boolen logiikan kolme peruslakia ovat

• Identiteettilaki (nollan lisääminen tai ykkösellä kertominen pitää muuttujan ennallaan)
• Hallituslaki (muuttujan lisääminen komplementtiin saa 1:n ja sen komplementin kertominen 0:lla)
• Kommutatiivinen laki (muuttujien järjestystä voidaan vaihtaa yhteen- tai kertolaskulla tulosta muuttamatta).

Mikä on De Morganin lause?

De Morganin lause sanoo, että t loogisen JA-operaation komplementti vastaa yksittäisten termien komplementtien OR-operaatiota, ja päinvastoin. Se on Boolen algebran perusperiaate, jota käytetään loogisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen ja loogisten piirien optimointiin.