Matemaattinen induktio on matematiikan käsite, jota käytetään todistamaan erilaisia ​​matemaattisia väitteitä ja lauseita. Matemaattisen induktion periaatetta kutsutaan joskus PMI:ksi. Se on tekniikka, jota käytetään todistamaan matematiikan peruslauseet, jotka sisältävät ratkaisun n äärelliseen luonnolliseen termiin asti.

Matemaattisen induktion periaatetta käytetään laajalti erilaisten väitteiden, kuten ensimmäisen summan, todistamiseen n luonnolliset luvut annetaan kaavalla n(n+1)/2. Tämä voidaan helposti todistaa käyttämällä matemaattisen induktion periaatetta.

Tässä artikkelissa opimme matemaattisen induktion periaatteesta, sen lausumasta, esimerkistä ja muista yksityiskohtaisesti.

Sisällysluettelo

• Mikä on matemaattinen induktio?
• Matemaattisen induktion periaate
• Matemaattisen induktion vaiheet
• Esimerkki matemaattisesta induktiosta

Mikä on matemaattinen induktio?

Matemaattinen induktio on yksi perusmenetelmistä todisteiden kirjoittamisessa ja sitä käytetään todistamaan tietty väite mistä tahansa hyvin organisoidusta joukosta. Yleensä sitä käytetään osoittamaan tuloksia tai laatimaan lausuntoja, jotka on muotoiltu termeillä n , jossa n on luonnollinen luku.

Oletetaan, että P(n) on lause n luonnolliselle luvulle, niin se voidaan todistaa käyttämällä matemaattisen induktion periaatetta. Ensin todistetaan P(1):lle, sitten olkoon P(k) tosi ja sitten P(k+1) . Jos P(k+1) pätee, sanomme, että P(n) on tosi matemaattisen induktion periaatteella.

Voimme verrata matemaattista induktiota putoaviin dominoihin. Kun domino kaatuu, se kaataa seuraavan dominon peräkkäin. Ensimmäinen domino kaataa toisen, toinen kaataa kolmannen ja niin edelleen. Lopulta kaikki dominot keilataan. Mutta joitain ehtoja on täytettävä:

• Perusaskel on, että aloitusdominon on pudottava, jotta koputusprosessi käynnistyy.
• Dominon välisen etäisyyden on oltava sama kahdella vierekkäisellä dominolla. Muuten tietty domino voi pudota alas ilman keilailua seuraavaan. Sitten reaktiosarja pysähtyy. Tasaisen dominoiden välisen etäisyyden säilyttäminen varmistaa, että P(k) ⇒ P(k + 1) jokaiselle kokonaisluvulle k ≥ a. Tämä on induktiivinen vaihe.

Matemaattisen induktion periaate

Mikä tahansa lause P(n), joka on n luonnolliselle luvulle, voidaan todistaa käyttämällä matemaattisen induktion periaatetta seuraamalla alla olevia vaiheita:

Vaihe 1: Varmista, että väite pitää paikkansa triviaalisissa tapauksissa ( n = 1) eli tarkista onko P(1) tosi.

Vaihe 2: Oletetaan, että väite on tosi, kun n = k jollekin k ≥ 1, eli P(k) on tosi.

Vaihe 3: Jos P(k):n totuus merkitsee P(k + 1:n totuutta), niin väite P(n) on totta kaikille n ≥ 1 .

Alla lisätty kuva sisältää kaikki matemaattisen induktion vaiheet

Ensimmäinen väite on tosiasia ja jos ei ole mahdollista, että kaikki P(n) pidetä paikkansa n = 1, niin nämä väitteet ovat tosia joillekin muille n:n arvoille, esimerkiksi n = 2, n = 3 ja muille.

Jos väite on tosi P(k):lle, niin jos P(k+1) todistetaan todeksi, niin sanotaan, että P(n) on tosi kaikille luonnollisiin lukuihin (N) kuuluville n:lle.

Matemaattisen induktion vaiheet

Matemaattisessa induktiossa käytetyt eri vaiheet on nimetty vastaavasti. Matemaattisen induktion periaatteessa käytettyjen eri vaiheiden nimet ovat

• Perusvaihe: Todista, että P(k) on tosi kun k =1
• Oletusvaihe: Olkoon P(k) totta kaikille k:lle N:ssä ja k> 1
• Induktiovaihe: Todista P(k+1) on tosi matemaattisten perusominaisuuksien avulla.

Jos edellä mainitut kolme vaihetta todistetaan, voidaan sanoa, että matemaattisen induktion periaatteella P(n) on totta kaikille n:ään kuuluville n:lle.

Esimerkki matemaattisesta induktiosta

Matemaattista induktiota käytetään todistamaan erilaisia ​​väitteitä, voimme oppia tämän seuraavan esimerkin avulla.

Todista mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle n, että n³+ 2n on aina jaollinen kolmella

Ratkaisu:

Olkoon P(n): n³+ 2n on jaollinen 3:lla annettuna lauseena.

Vaihe 1: Perusvaihe

Ensin todistetaan, että P(1) on tosi. Olkoon n = 1 n:ssä³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Koska 3 on jaollinen kolmella. Näin ollen P(1) on tosi.

Vaihe 2: Oletusvaihe

Oletetaan, että P(k) on tosi

Sitten, k³+ 2k on jaollinen 3:lla

Näin ollen voimme kirjoittaa sen muodossa k³+ 2k = 3n, (missä n on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku)….(i)

siivu java

Vaihe 3: Induktiovaiheet

Nyt meidän on todistettava, että algebrallinen lauseke (k + 1)³+ 2(k + 1) on jaollinen 3:lla

= (k + 1)³+ 2 (k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3 k²+ 3k + 3)

eq(i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Koska se on 3:n kerrannainen, voimme sanoa, että se on jaollinen kolmella.

Siten P(k+1) on tosi, eli (k + 1)³+ 2(k + 1) on jaollinen 3:lla. Nyt matemaattisen induktion periaatteella voimme sanoa, että P(n): n³+ 2n on jaollinen 3:lla on totta.

Lue lisää,

• Aritmeettinen progressio
• Geometrinen eteneminen

Ratkaistiin esimerkkejä matemaattisesta induktiosta

Esimerkki 1: Todista kaikille n ≥ 1, että 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Ratkaisu:

Olkoon annettu lause P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Otetaan nyt positiivinen kokonaisluku k ja oletetaan, että P(k) on tosi, eli

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Osoitamme nyt, että P(k + 1) on myös totta, joten nyt meillä on

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Siten P(k + 1) on tosi, aina kun P(k) on tosi kaikille luonnollisille luvuille. Näin ollen matemaattisen induktion prosessilla annettu tulos on totta kaikille luonnollisille luvuille.

Esimerkki 2: Todista kaikille n ≥ 1, että 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Ratkaisu:

Olkoon annettu lause S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Otetaan nyt positiivinen kokonaisluku k ja oletetaan, että S(k) on tosi, eli

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Osoitamme nyt, että myös S(k + 1) on totta, joten nyt meillä on

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Siten S(k + 1) on tosi, aina kun S(k) on tosi kaikille luonnollisille luvuille. Ja alun perin osoitimme, että S(1) on tosi, joten S(n) on tosi kaikille luonnollisille luvuille.

Esimerkki 3: Todista kaikille n ≥ 1, että 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Ratkaisu:

Olkoon annettu lause S(n),

ja S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Jos n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Siten S(1) on tosi.

Otetaan nyt positiivinen kokonaisluku k ja oletetaan, että S(k) on tosi, eli

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Osoitamme nyt, että myös S(k + 1) on totta, joten nyt meillä on

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1) + 2k + 2–1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Siten S(k + 1) on tosi, aina kun S(k) on tosi kaikille luonnollisille luvuille. Ja alun perin osoitimme, että S(1) on tosi, joten S(n) on tosi kaikille luonnollisille luvuille.

Esimerkki 4: Todista kaikille n ≥ 1, että 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Ratkaisu:

Olkoon annettu lause S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Otetaan nyt positiivinen kokonaisluku k ja oletetaan, että S(k) on tosi, eli

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Osoitamme nyt, että myös S(k + 1) on totta, joten nyt meillä on

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Siten S(k + 1) on tosi, aina kun S(k) on tosi kaikille luonnollisille luvuille. Ja alun perin osoitimme, että S(1) on tosi, joten S(n) on tosi kaikille luonnollisille luvuille.

Esimerkki 5: Todista a _n = a ₁ + (n – 1) d, on minkä tahansa aritmeettisen sekvenssin yleinen termi.

Ratkaisu:

Kun n = 1, meillä on a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, joten kaava on tosi n = 1,

Oletetaan, että kaava a_k= a₁+ (k – 1) on totta kaikille luonnollisille luvuille.

Osoitamme nyt, että kaava on totta myös k+1:lle, joten nyt meillä on

a_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

java versio linux

Oletimme, että a_k= a₁+ (k – 1) d, ja aritmeettisen sekvenssin määritelmän mukaan a_k+1– a_k= d,

Sitten eräs_{k + 1}– a_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– a₁+ kd – kd + d
= d

Siten kaava on tosi k + 1:lle, aina kun se on tosi k:lle. Ja alun perin osoitimme, että kaava on tosi, kun n = 1. Siten kaava on tosi kaikille luonnollisille luvuille.

Usein kysytyt kysymykset matemaattisesta induktiosta

Mikä on matemaattisen induktion periaate?

Matemaattisen induktion periaate on periaate, joka sanoo, että jokaiselle lauseelle P(n), jos se on totta mille tahansa mielivaltaiselle arvolle 'a', jos P(a) on tosi ja jos oletetaan P(k):n todeksi, niin todistamalla P( k+1) olevan tosi, voimme todistaa, että P(n) on tosi kaikille n ≥ a ja n, jotka kuuluvat luonnollisiin lukuihin.

Mikä on matemaattisen induktion käyttö?

Matemaattinen induktio on perusperiaate, jota käytetään matematiikassa todistamaan matematiikan perusväitteitä, joita ei voida helposti todistaa muilla keinoin.

Mikä on matemaattisen induktion periaate matriiseissa?

Matriisien matemaattisen induktion periaate on perusperiaate, jota käytetään todistamaan matriisien perusväitteet, joita ei ole helppo todistaa muilla keinoin.

Kuinka soveltaa matemaattisen induktion periaatetta?

Matemaattisen induktion periaatetta käytetään todistamaan matemaattisia väitteitä, jos meidän on todistettava lause P(n), jolloin sovelletut vaiheet ovat:

Vaihe 1: Todista, että P(k) on tosi kun k =1

Vaihe 2: Olkoon P(k) totta kaikille k:lle N:ssä ja k> 1

Vaihe 3: Todista P(k+1) on tosi matemaattisten perusominaisuuksien avulla.

Siten, jos P(k+1) on tosi, sanomme, että P(n) on tosi.

Mitkä ovat vaiheet ongelman ratkaisemiseksi matemaattisen induktion avulla?

Kolme matemaattisessa induktiossa käytettyä perusvaihetta ovat

• Perusvaihe
• Oletusvaihe
• Induktiovaihe