Determinantti on lineaarisen algebran peruskäsite, jota käytetään yksittäisen skalaariarvon löytämiseen annetulle matriisille. Tässä artikkelissa selitetään, mikä on 3 × 3 -matriisi ja kuinka lasketaan 3 × 3 -matriisin determinantti vaihe vaiheelta sekä sen sovellukset. Olitpa lineaarista algebraa oppiva opiskelija tai harrastaja, joka haluaa ymmärtää syvempää matriisioperaatioita, 3 × 3 -matriisin determinantin ymmärtäminen on arvokas taito hankkia.

Mikä on matriisin determinantti?

Matriisin determinantti on yksittäinen luku, joka lasketaan neliömatriisista. Lineaarialgebran alalla determinantit löydetään käyttämällä neliömatriisin sisällä olevia arvoja. Tämä luku toimii skaalaustekijänä, joka vaikuttaa matriisin muuntumiseen. Determinantit ovat arvokkaita lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa, matriisin käänteisarvon löytämisessä ja erilaisissa laskentaoperaatioissa.

Mikä on 3 × 3 Matrix?

3 × 3 -matriisi on a matriisi jossa rivien ja sarakkeiden määrä on molemmat yhtä suuri kuin 3. Koska rivien ja sarakkeiden määrä on yhtä suuri, 3 × 3 on neliömatriisi, jonka kertaluku on 3 × 3. Matriisi on kuin taulukko, joka koostuu numeroista, jotka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Sitä käytetään matematiikan ja muiden alojen tietojen tallentamiseen ja käsittelemiseen. 3 × 3 -matriisi on tietyntyyppinen matriisi, joka koostuu kolmesta rivistä ja kolmesta sarakkeesta. Se voidaan esittää seuraavasti:

3 × 3 matriisi

3 × 3 -matriisin ominaisuudet

Kuten muillakin matriiseilla, 3 × 3 -matriiseilla on myös joitain tärkeitä ominaisuuksia.

• Neliömatriisi : 3 × 3 -matriisissa on kolme riviä ja kolme saraketta, mikä tekee siitä neliömatriisin.

• Determinantti: 3 × 3 -matriisilla on determinantti, numeerinen arvo, joka on ratkaiseva yhtälöiden ratkaisemisessa ja käänteisarvojen löytämisessä.

• Matriisin kertolasku: Voit kertoa 3 × 3 -matriisin toisella matriisilla, jos ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä vastaa toisen matriisin rivien lukumäärää.

• Käänteinen: 3 × 3 -matriisilla voi olla käänteisarvo, jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Käänteismatriisi, kun se kerrotaan alkuperäisellä matriisilla, tuottaa identiteettimatriisin.

3 × 3 -matriisikaavan determinantti

Matriisin determinantin laskemiseen on olemassa useita menetelmiä. Yleisin tapa on jakaa annettu 3 × 3 matriisi pienemmiksi 2 × 2 -determinanteiksi. Tämä yksinkertaistaa determinantin löytämisprosessia ja sitä käytetään laajalti lineaarisessa algebrassa.

Otetaan 3 × 3 neliömatriisi, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Laskemaan matriisin A determinantti, eli |A|.

Laajenna matriisia ensimmäisen rivin elementtejä pitkin.

Siksi,

Kuinka löydät 3 × 3 -matriisin determinantin?

Ymmärretään 3 × 3 -matriisin laskenta esimerkin avulla. Annetulle 3 × 3 -matriisille alla.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Vaihe 1: Valitse viiterivi tai -sarake

Aloita valitsemalla rivi ja sarake. Oletetaan, että tässä esimerkissä otamme ensimmäisen elementin (2) viitteenä laskettaessa 3 × 3 -matriisin determinanttia.

Laajenna siis riviä R pitkin₁

Vaihe 2: Yliviivaa rivi ja sarake

Poista valittu rivi ja sarake yksinkertaistaaksesi sitä 2 × 2 -matriisissa.

2×2 matriisi

Vaihe 3: Etsi 2 × 2 -matriisin determinantti

Etsi 2 × 2 -matriisin determinantti kaavan avulla

Determinantti = (a × d) – (b × c)

Cross Multiple

Tässä a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

laittamalla nämä arvot yllä olevaan determinantin kaavaan, saamme

Determinantti = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinantti = 0- (-1)

Determinantti = 0+1

∴ 2 × 2 -matriisin determinantti = 1

Vaihe 4: Kerro valitulla elementillä

Kerro 2 × 2 -matriisin determinantti vertailuriviltä valitulla elementillä (joka on tässä tapauksessa 2,1 ja 3):

ensimmäinen elementti = 2 × 1 = 2

Vaihe 5: Toista tämä prosessi valitun vertailurivin toiselle elementille

Toiselle elementille

Etsi determinantti toiselle elementille 1 asettamalla 2×2 matriisin arvot kaavaan

Determinantti = (a × d) – (b × c)

Tässä a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinantti = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinantti = 8-2

Determinantti = 6

Kerro nyt 2 × 2 -matriisin determinantti vertailuriviltä valitulla elementillä (joka on tässä tapauksessa 1):

toinen elementti = 1 × 6 = 6

Vaihe 6: Toista tämä prosessi valitun viiterivin kolmannelle elementille

Kolmannelle elementille

Etsi determinantti kolmannelle alkiolle 3 asettamalla 2×2 matriisin arvot kaavaan

Determinantti = (a × d) – (b × c)

Tässä a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinantti = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinantti = -4 – 0

Determinantti = -4

Kerro nyt 2×2-matriisin determinantti valitulla viiteriviltä elementillä (joka on tässä tapauksessa 3):

toinen elementti = 3 × (-4) = -12

Vaihe 7: Kaavan käyttäminen

Laske yhteen kaikki vaiheiden 4, 5 ja 6 tulokset

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 on 3 × 3 -matriisin determinantti.

3 × 3 -matriisin determinantin soveltaminen

Matriisin determinanttia voidaan käyttää käänteisen löytämiseen ja lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen. Tästä syystä opimme löytämään 3 × 3 matriisin käänteisarvon ja myös ratkaisemaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän Cramerin säännön avulla, joka sisältää 3 × 3 matriisin determinantin käytön.

3 × 3 -matriisin käänteisarvo

Kaava neliömatriisin A käänteisarvon löytämiseksi on:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Missä,

• A-1 on matriisin A käänteis .
• Det(A) edustaa matriisin A determinanttia.
• adj(A) tarkoittaa matriisin A adjugaattia

Yksinkertaisesti sanottuna voit seurata näitä vaiheita löytääksesi matriisin käänteisen:

Vaihe 1. Laske matriisin A determinantti.

Vaihe 2. Etsi matriisin A adjugaatti.

Vaihe 3. Kerro jokainen adjugaatin elementti luvulla 1/det(A).

Tätä kaavaa käytetään neliömatriiseille (matriiseille, joissa on sama määrä rivejä ja sarakkeita), ja siinä oletetaan, että determinantti on nollasta poikkeava, mikä on välttämätön ehto, jotta matriisilla on käänteisarvo.

Cramerin sääntö

Cramerin sääntö tarjoaa kaavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi determinantteja käyttäen. Lineaarisille yhtälöille, joissa on n muuttujaa, annetaan muodossa

AX=B

Missä,

• A = Neliömatriisin kerroin
• X = Sarakematriisi, jossa on muuttujia
• B = Sarakematriisi, jolla on vakioita

Tarkastellaan seuraavaa lineaarista yhtälöjärjestelmää

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Muuttujat x, y, z, … määritetään seuraavilla kaavoilla:

• x = D_x/D
• y = D_ja/D
• z = D_Kanssa/D

Missä:

• D on kerroinmatriisin determinantti.
• D_xon matriisin determinantti, joka saadaan korvaamalla x:n kertoimet oikeanpuoleisilla vakioilla.
• D_jaon matriisin determinantti, joka saadaan korvaamalla y:n kertoimet
• D_Kanssaon matriisin determinantti, joka saadaan korvaamalla z:n kertoimet

Cramerin sääntöä voidaan soveltaa, kun kerroinmatriisin D determinantti on nollasta poikkeava. Jos D = 0, ei voida soveltaa sääntöä, joka osoittaa joko ei ratkaisua tai äärettömän monta ratkaisua tapauksesta riippuen.

Myös Tarkista

• Matriisityypit
• Kolmen muuttujan lineaariyhtälöjärjestelmä
• Matrix Operations

3 × 3 matriisiratkaistujen esimerkkien determinantti

Esimerkki 1: Etsi matriisin A determinantti egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

A:n determinantti = 2 (4×2 – 5×6) – 3 (0×2 – 5×1) + 1 (0×6 – 4×1)

⇒ A:n determinantti = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ A =2(-22) – 3(-5) +1(-4) determinantti

⇒ A:n determinantti = (-44) +15 – 4

⇒ A:n determinantti =-44+11

∴ A:n determinantti eli |A| = (-33)

Esimerkki 2: Etsi matriisin B = determinantti egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

B:n determinantti = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1 (0×1 – 3×4)

⇒ B:n determinantti = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ B:n determinantti = 1(6) – 0 – 12

⇒ B:n determinantti =6-12

⇒ B:n determinantti = (-6)

∴ B:n determinantti eli |B| = 6

Esimerkki 3: Etsi matriisin C determinantti egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Matriisin C determinantti = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ C:n determinantti = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ C:n determinantti =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ C:n determinantti = 24 + 10 -8

pete davidsonin kansalaisuus

⇒ C:n determinantti = 26

∴ C:n determinantti eli |C| = 26

Esimerkki 4: Ratkaise annettu yhtälöjärjestelmä Cramerin säännön avulla

2x + 3y – z = 7
4x – 2v + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Ratkaisu:

Vaihe 1: Etsi ensin Determinantti D kerroinmatriisista.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Tämän determinantin ratkaisemisessa D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Vaihe2: Etsi nyt D:n määräävät tekijät_x, D_jaja D_Kanssa

D:lle_x, korvaamme x:n kertoimet oikeanpuoleisilla vakioilla:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

D:lle_ja, korvaamme y:n kertoimet vakioilla:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

D:lle_Kanssa, korvaamme z:n kertoimet vakioilla:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Determinantin D ratkaisemisessa_x

D_x= 7 (-2×2 – 3×1) – 3 (8×2 – 3×10) – (-1) (8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7 (-4 – 3) – 3 (16 – 30) – (-1) (8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Näin ollen D_x= 21

Determinantin D ratkaisemisessa_ja

D_ja= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1) (4×1 – (-2×10)

⇒ D_ja= 2 (-4 – 30) – 7 (8 – 10) – (-1) (4 + 20)

⇒ D_ja= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_ja= -68 + 14 + 24

⇒ D_ja= -30

Determinantin D ratkaisemisessa_Kanssa

D_Kanssa= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Kanssa= 2 (4 + 6) – 3 (-8 + 10) – 7 (12 + 2)

⇒ D_Kanssa= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Kanssa= 20 – 6 – 98

⇒ D_Kanssa= -84

Vaihe 3: Laitetaan nyt D:n, D:n arvot_x, D_jaja D_KanssaCarmerin sääntökaavassa löytääksesi x,y:n ja z:n arvot.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_ja/D = (-30)/(-19)

z = D_Kanssa/D = (-84)/(-19)

Harjoittele kysymyksiä 3 × 3 -matriisin determinantista

Q1. Laske identiteettimatriisin determinantti:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Etsi matriisin determinantti:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Määritä matriisin determinantti:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Laske matriisin determinantti:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Etsi matriisin determinantti:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Määritä matriisin determinantti:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

3 × 3 -matriisin determinantti – UKK

1. Mikä on Matrix?

Matriisi on suorakaiteen muotoinen järjestely numeroista tai elementeistä, jotka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Sitä käytetään useilla aloilla matemaattisten, tieteellisten ja teknisten ongelmien esittämiseen ja ratkaisemiseen.

2. Mikä on 3 × 3 -matriisin determinantin merkitys?

3 × 3 -matriisin determinantti on merkittävä, koska se antaa tietoa matriisin ominaisuuksista. Se auttaa määrittämään, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ainutlaatuinen ratkaisu muiden sovellusten joukossa.

3. Mikä on matriisin determinantin määritelmä?

Matriisin determinantti on matriisin elementeistä laskettu skalaariarvo, joka antaa tietoa sen ominaisuuksista. Sitä käytetään ratkaisemaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, etsimään käänteisiä ja paljon muuta.

4. Entä jos 3 × 3 -matriisin determinantti on nolla?

Jos 3 × 3 matriisin determinantti on nolla, se tarkoittaa, että matriisi on singulaarinen eikä sillä ole käänteisarvoa. Geometrisesti se osoittaa, että matriisin edustama muunnos kutistaa alueen tai tilavuuden nollaan. determinantti on aina nolla. Tämä koskee kaikenkokoisia matriiseja.

5. Voiko 3 × 3 -matriisin determinantti olla negatiivinen?

Kyllä, determinantti voi olla negatiivinen. Determinantin etumerkki riippuu matriisielementtien sijoittelusta ja siitä, saavatko ne laskentamenetelmän mukaan positiivisen vai negatiivisen arvon.

6. Mitkä ovat käytännön sovellukset 3 × 3 -matriisin determinantin löytämiseen?

Determinantteja käytetään eri aloilla, mukaan lukien fysiikka, tekniikka, tietokonegrafiikka ja taloustiede. Ne auttavat ratkaisemaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, analysoimaan geometrisia muunnoksia ja määrittämään dynaamisten järjestelmien vakauden.