Matriisi on suorakaiteen muotoinen joukko numeroita, symboleja, pisteitä tai merkkejä, jotka kukin kuuluvat tiettyyn riviin ja sarakkeeseen. Matriisi tunnistetaan sen järjestyksen perusteella, joka on annettu rivien ⨯ ja sarakkeiden muodossa. Matriisin sisällä olevia numeroita, symboleja, pisteitä tai merkkejä kutsutaan matriisin elementeiksi. Kunkin elementin sijainti määräytyy sen rivin ja sarakkeen mukaan, johon se kuuluu.

Matriisit ovat tärkeitä 12. luokan opiskelijoille ja niillä on suuri merkitys myös tekniikan matematiikassa. Tässä johdannossa matriiseja käsittelevässä artikkelissa opimme matriisien tyypeistä, matriisien transponoinnista, matriisien järjestyksestä, matriisien adjointista ja käänteisarvosta, matriisien determinanteista ja monista muista yksityiskohtaisemmin.

Sisällysluettelo

• Mitä matriisit ovat?
• Matrixin järjestys
• Esimerkkejä matriisista
• Operaatio matriiseilla
• Matriisien lisääminen
• Matriisien skalaarinen kertolasku
• Matriisien kertolasku
• Matriisilisäyksen ja kertolaskujen ominaisuudet
• Matrixin transponointi
• Matrixin jälki
• Matriisityypit
• Matriisin determinantti
• Matriisin käänteinen
• Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen matriisien avulla
• Matriisin arvo
• Matriisien ominaisarvo ja ominaisvektorit

Mitä matriisit ovat?

Matriisit ovat suorakaiteen muotoisia numeroiden, symbolien tai merkkien taulukoita, joissa kaikki nämä elementit on järjestetty jokaiselle riville ja sarakkeelle. Joukko on kokoelma kohteita, jotka on järjestetty eri paikkoihin.

Oletetaan, että pisteet on järjestetty avaruuteen, joista jokainen kuuluu tiettyyn paikkaan, jolloin muodostuu pisteiden joukko. Tätä pistejoukkoa kutsutaan matriisiksi. Matriisin sisältämiä kohteita kutsutaan matriisin elementeiksi. Jokaisessa matriisissa on rajallinen määrä rivejä ja sarakkeita ja jokainen elementti kuuluu vain näihin riveihin ja sarakkeisiin. Matriisissa olevien rivien ja sarakkeiden määrä määrittää matriisin järjestyksen. Oletetaan, että matriisissa on 3 riviä ja 2 saraketta, jolloin matriisin järjestys on 3⨯2.

Matriisien määritelmä

Suorakaiteen muotoista numeroiden, symbolien tai merkkien taulukkoa kutsutaan matriisiksi. Matriisit tunnistetaan niiden järjestyksen mukaan. Matriisien järjestys on annettu muodossa rivien lukumäärä ⨯ sarakkeiden lukumäärä. Matriisi esitetään muodossa [P]_m⨯njossa P on matriisi, m on rivien lukumäärä ja n on sarakkeiden lukumäärä. Matematiikassa matriisit ovat hyödyllisiä lukuisten lineaaristen yhtälöiden ja monien muiden ongelmien ratkaisemisessa.

Matrixin järjestys

Matriisin järjestys kertoo matriisissa olevien rivien ja sarakkeiden lukumäärästä. Matriisin järjestys esitetään rivien lukumääränä kertaa sarakkeiden lukumäärä. Oletetaan, että jos matriisissa on 4 riviä ja 5 saraketta, matriisin järjestys on 4⨯5. Muista aina, että järjestyksen ensimmäinen numero tarkoittaa matriisissa olevien rivien määrää ja toinen numero matriisin sarakkeiden lukumäärää.

Esimerkkejä matriisista

Esimerkkejä matriiseista on mainittu alla:

Esimerkki: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operaatio matriiseilla

Matriiseille tehdään erilaisia ​​matemaattisia operaatioita, kuten yhteenlasku, vähennyslasku, skalaari- ja kertolasku. Nämä operaatiot suoritetaan kahden matriisin elementtien välillä, jotta saadaan ekvivalentti matriisi, joka sisältää elementit, jotka saadaan kahden matriisin elementtien välisen operaation tuloksena. Opitaanpa matriisien toiminta .

Matriisien lisääminen

Sisään matriisien lisääminen , kahden matriisin elementit lisätään, jolloin saadaan matriisi, joka sisältää kahden matriisin summana saadut elementit. Matriisien summaus suoritetaan kahden saman järjestyksen matriisin välillä.

Esimerkki: Etsi summa old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} ja old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Ratkaisu:

robotin komponentit

Tässä meillä on A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}ja B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Matriisien vähentäminen

Matriisien vähentäminen on kahden samaa kertaluokkaa olevan matriisin alkioiden välinen ero, jolloin saadaan saman kertaluvun ekvivalenttimatriisi, jonka alkiot ovat yhtä suuret kuin kahden matriisin alkioiden erotus. Kahden matriisin vähennys voidaan esittää kahden matriisin yhteenlaskemisena. Oletetaan, että meidän on vähennettävä matriisi B matriisista A, jolloin voimme kirjoittaa A – B. Voimme myös kirjoittaa sen uudelleen muotoon A + (-B). Ratkaistaan ​​esimerkki

Esimerkki: Vähennä old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} alkaen old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Oletetaan A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}ja B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Matriisien skalaarinen kertolasku

Matriisien skalaarinen kertolasku tarkoittaa matriisin jokaisen termin kertomista skalaaritermillä. Jos skalaari kerrotaan 'k' matriisilla, ekvivalenttimatriisi sisältää elementtejä, jotka ovat yhtä suuret kuin skalaarin ja alkuperäisen matriisin elementin tulo. Katsotaanpa esimerkkiä:

Esimerkki: Kerro 3:lla old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Matriisien kertolasku

Vuonna matriisien kertolasku , kaksi matriisia kerrotaan, jolloin saadaan yksi ekvivalentti matriisi. Kertominen suoritetaan siten, että ensimmäisen matriisin rivin elementit kertovat toisen matriisin sarakkeiden alkioiden kanssa ja elementtien tulo lisätään, jolloin saadaan yksi ekvivalenttimatriisin elementti. Jos matriisi [A]_i⨯jkerrotaan matriisilla [B]_j⨯ksitten tuote annetaan muodossa [AB]_i⨯k.

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki: Etsi tuote old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} ja old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Ratkaisu:

Olkoon A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}ja B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Matriisilisäyksen ja kertolaskujen ominaisuudet

Ominaisuudet, joita seuraa matriisien kertolasku ja yhteenlasku, on lueteltu alla:

• A + B = B + A (kommutatiivinen)
• (A + B) + C = A + (B + C) (assosiatiivinen)
• AB ≠ BA (ei kommutatiivinen)
• (AB) C = A (BC) (assosiatiivinen)
• A (B+C) = AB + AC (jako)

Matrixin transponointi

Matrixin transponointi on periaatteessa rivielementtien uudelleenjärjestely sarakkeessa ja sarakeelementtien uudelleenjärjestely rivissä vastaavan matriisin saamiseksi. Matriisia, jossa alkuperäisen matriisin rivin elementit on järjestetty sarakkeiksi tai päinvastoin, kutsutaan transponointimatriisiksi. Transponointimatriisi esitetään muodossa A^T. jos A = [a_ij]_mxn, sitten eräs^T= [b_ij]_nxmmissä b_ij= a_alkaen.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Esimerkki: Etsi transponointi egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Ratkaisu:

Olkoon A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Matriisin transponoinnin ominaisuudet

Matriisin transponoinnin ominaisuudet on mainittu alla:

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Matrixin jälki

Matriisin jälki on neliömatriisin diagonaalien pääelementtien summa. Matriisin jälki löytyy vain neliömatriisin tapauksessa, koska diagonaaliset elementit ovat olemassa vain neliömatriiseissa. Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki: Etsi matriisin jälki egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Ratkaisu:

Oletetaan A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Jälki(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Matriisityypit

Rivien ja sarakkeiden lukumäärän ja esitettyjen erityisominaisuuksien perusteella matriisit luokitellaan eri tyyppeihin.

• Rivi Matriisi : Matriisia, jossa on vain yksi rivi eikä saraketta, kutsutaan rivimatriisiksi.
• Sarakematriisi : Matriisia, jossa on vain yksi sarake ja nyt rivi, kutsutaan sarakematriisiksi.
• Vaakamatriisi: Matriisia, jossa rivien lukumäärä on pienempi kuin sarakkeiden lukumäärä, kutsutaan vaakamatriisiksi.
• Pystymatriisi: Matriisia, jossa sarakkeiden lukumäärä on pienempi kuin rivien lukumäärä, kutsutaan pystymatriisiksi.
• Suorakulmainen matriisi : Matriisia, jossa rivien ja sarakkeiden määrä on erisuuruinen, kutsutaan suorakaiteen matriisiksi.
• Neliömatriisi : Matriisia, jossa rivien ja sarakkeiden määrä on sama, kutsutaan neliömatriisiksi.
• Diagonaalinen matriisi : Neliömatriisia, jossa diagonaaliset alkiot ovat nollia, kutsutaan diagonaalimatriisiksi.
• Nolla tai nollamatriisi : Matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi. Nollamatriisia kutsutaan myös nollamatriiksi.
• Yksikkö tai identiteettimatriisi : Diagonaalimatriisia, jonka kaikki diagonaaliset alkiot ovat 1, kutsutaan yksikkömatriisiksi. Yksikkömatriisia kutsutaan myös identiteettimatriisiksi. Identiteettimatriisia edustaa I.
• Symmetrinen matriisi : Neliömatriisin sanotaan olevan symmetrinen, jos alkuperäisen matriisin transponointi on yhtä suuri kuin sen alkuperäinen matriisi. eli (A^T) = A.
• Vino-symmetrinen matriisi : Vinosymmetrinen (tai antisymmetrinen tai antimetrinen[1]) matriisi on neliömatriisi, jonka transponointi on yhtä suuri kuin sen negatiivinen eli (A^T) = -A.
• Ortogonaalinen matriisi: Matriisin sanotaan olevan ortogonaalinen, jos AA^T= A^TA = I
• Idempotentti matriisi: Matriisin sanotaan olevan idempotentti, jos A²= A
• Tahaton matriisi: Matriisin sanotaan olevan tahaton, jos A²= minä.
• Ylempi kolmiomatriisi : Neliömatriisi, jossa kaikki diagonaalin alapuolella olevat elementit ovat nollia, tunnetaan ylemmäksi kolmiomatriisina
• Alempi kolmiomatriisi : Neliömatriisi, jossa kaikki diagonaalin yläpuolella olevat alkiot ovat nollia, tunnetaan alempana kolmionmatriisina
• Yksittäinen matriisi : Neliömatriisin sanotaan olevan singulaarimatriisi, jos sen determinantti on nolla eli |A|=0
• Ei-yksikkömatriisi: Neliömatriisin sanotaan olevan ei-singulaarinen matriisi, jos sen determinantti on nollasta poikkeava.

Huomautus: Jokainen neliömatriisi voidaan yksilöllisesti ilmaista symmetrisen matriisin ja vinosymmetrisen matriisin summana. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Lisätietoja, Matriisityypit

java ohjelmointikielen opetusohjelma

Matriisin determinantti

Matriisin determinantti on tähän neliömatriisiin liittyvä luku. Matriisin determinantti voidaan laskea vain neliömatriisille. Sitä edustaa |A|. Matriisin determinantti lasketaan lisäämällä matriisin alkioiden tulo kofaktoreineen.

Matriisin determinantti

Katsotaan kuinka löytää neliömatriisin determinantti.

Esimerkki 1: Kuinka löytää 2⨯2 neliömatriisin determinantti?

Oletetaan, että meillä on matriisi A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Sitten determinantti on A on |A| = mainos – eKr

Esimerkki 2: Kuinka löytää 3⨯3 neliömatriisin determinantti?

Oletetaan, että meillä on 3⨯3 matriisi A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Sitten |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Matrixin alaikäinen

Elementin matriisin minoriarvo saadaan matriisin determinantilla, joka saadaan sen rivin ja sarakkeen poistamisen jälkeen, johon kyseinen elementti kuuluu. Matrixin Minoria edustaa Mij. Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki: Etsi matriisin molliegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}elementille 'a'.

Elementin 'a' minori annetaan muodossa M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Matrixin kofaktori

Matriisin kofaktori löydetään kertomalla matriisin molli tietylle elementille (-1)i+j:lla. Matrixin kofaktori on esitetty nimellä Cij. Tästä syystä matriisin mollin ja kofaktorin välinen suhde on annettu muodossa Mij = (-1)^i+jMij. Jos järjestämme kaikki elementille saadut kofaktorit, saadaan kofaktorimatriisi, joka annetaan muodossa C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Lisätietoja , Alaikäiset ja kofaktorit

Matrixin liitos

Adjoint lasketaan neliömatriisille. Matriisin liitos on matriisin kofaktorin transponointi. Matriisin adjoint ilmaistaan ​​siten muodossa adj(A) = C_Tjossa C on kofaktorimatriisi.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on matriisi
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
sitten
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
missä,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}on Matrix A:n kofaktori.

Matrixin Adjointin ominaisuudet

Matriisin adjointin ominaisuudet mainitaan alla:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| minä_n
• Adj(AB) = (Adj B) . (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Adj(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× A
• Jos A = [L,M,N], niin adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {missä I on Identiteettimatriisi}

Missä n = rivien lukumäärä = sarakkeiden lukumäärä

Matriisin käänteinen

Matriisin sanotaan olevan an matriisin käänteis 'A', jos matriisi nostetaan potenssiin -1 eli A-1. Käänteisarvo lasketaan vain neliömatriisille, jonka determinantti on nollasta poikkeava. Matriisin käänteiskaava annetaan seuraavasti:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), missä |A| ei saa olla yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että matriisin A tulee olla ei-singulaarinen.

Matriisin käänteisominaisuudet

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• vain ei-singulaarisella neliömatriisilla voi olla käänteisarvo.

Perusoperaatio matriiseilla

Matriisien perusoperaatiot suoritetaan lineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi ja matriisin käänteisarvon löytämiseksi. Perustoiminnot ovat rivien ja sarakkeiden välillä. Riveille ja sarakkeille suoritetaan kolmenlaisia ​​perustoimintoja. Nämä toiminnot on mainittu alla:

Rivien perustoiminnot sisältävät:

• Kahden rivin vaihto
• Rivin kertominen nollasta poikkeavalla luvulla
• Lisätään kaksi riviä

Perusoperaatioita sarakkeilla ovat:

• Kahden sarakkeen vaihto
• Sarakkeen kertominen nollasta poikkeavalla luvulla
• Lisätään kaksi saraketta

Lisätty matriisi

Matriisia, joka muodostuu yhdistämällä kahden matriisin sarakkeita, kutsutaan Lisätty matriisi . Lisättyä matriisia käytetään perusrivioperaatioiden suorittamiseen, lineaarisen yhtälön ratkaisemiseen ja matriisin käänteisarvon löytämiseen. Ymmärrämme esimerkin kautta.

Oletetaan, että meillä on matriisi A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}ja B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}sitten lisätty matriisi muodostetaan A:n ja B:n välille. Lisätty matriisi A:lle ja B:lle annetaan muodossa

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen matriisien avulla

Matriiseja käytetään lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi meidän on tehtävä kolme matriisia. Ensimmäinen matriisi on kertoimia, toinen matriisi on muuttujia ja kolmas matriisi on vakioita. Ymmärretään se esimerkin kautta.

Oletetaan, että meillä on kaksi yhtälöä muodossa a₁x + b₁y = c₁ja a₂x + b₂y = c₂. Tässä tapauksessa muodostamme kertoimen ensimmäisen matriisin, oletetaan A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, toinen matriisi on muuttujia, oletetaan X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}ja kolmas matriisi on kertoimella B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}sitten matriisiyhtälö annetaan muodossa

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

missä,

• A on kerroinmatriisi
• X on muuttuva matriisi
• B on vakiomatriisi

Näin ollen voimme nähdä, että muuttujan X arvo voidaan laskea kertomalla matriisin A käänteisarvo B:llä ja tasaamalla sitten kahden matriisin ekvivalenttitulo matriisilla X.

Matriisin arvo

Matriisin sijoitus on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden enimmäismäärä. Matriisin sijoitus on aina pienempi tai yhtä suuri kuin matriisissa olevien rivien tai sarakkeiden kokonaismäärä. Neliömatriisissa on lineaarisesti riippumattomia rivejä tai sarakkeita, jos matriisi on ei-singulaarinen eli determinantti ei ole nolla. Koska nollamatriisissa ei ole lineaarisesti riippumattomia rivejä tai sarakkeita, sen sijoitus on nolla.

Matriisin sijoitus voidaan laskea muuntamalla matriisi rivi-echelon-muotoon. Rivi-echelon-muodossa yritämme muuntaa kaikki riviin kuuluvat elementit nolliksi käyttämällä Elementary Operation on Row -toimintoa. Toimenpiteen jälkeen niiden rivien kokonaismäärä, joissa on vähintään yksi nollasta poikkeava elementti, on matriisin järjestys. Matriisin A järjestystä edustaa ρ(A).

Matriisien ominaisarvo ja ominaisvektorit

Ominaisarvot ovat joukko skalaareja, jotka liittyvät lineaariseen yhtälöön matriisimuodossa. Ominaisarvoja kutsutaan myös matriisien tunnusomaisiksi juuriksi. Vektoreita, jotka muodostetaan käyttämällä ominaisarvoa kertomaan suunnan näissä pisteissä, kutsutaan ominaisvektoreiksi. Ominaisarvot muuttavat ominaisvektorien suuruutta. Kuten mikä tahansa vektori, ominaisvektori ei muutu lineaarisella muunnolla.

Neliömatriisille A, joiden kertaluku on 'n', muodostetaan toinen neliömatriisi A – λI, jossa I on identiteettimatriisi ja λ on ominaisarvo. Ominaisuusarvo λ täyttää yhtälön Av = λv, jossa v on nollasta poikkeava vektori.

Lisätietoja: Ominaisarvot ja ominaisvektorit verkkosivuillamme.

Matriisikaavat

Matriisien peruskaavaa on käsitelty alla:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, missä I on identiteettimatriisi
• |adj A| = |A|n-1 missä n on matriisin A järjestys
• adj(adj A) = |A|n-2A missä n on matriisin järjestys
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^s) = (adj A)^s
• adj(kA) = kn-1(adj A) missä k on mikä tahansa reaaliluku
• adj(I) = I
• adj 0 = 0
• Jos A on symmetrinen, niin adj(A) on myös symmetrinen
• Jos A on diagonaalimatriisi, niin adj(A) on myös diagonaalimatriisi
• Jos A on kolmiomatriisi, niin adj(A) on myös kolmiomatriisi
• Jos A on singulaarimatriisi, niin |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Lue lisää,

• Joukkoteoria
• Calculus
• Trigonometria

Matriisit JEE:n pääkysymykset

Q1. Niiden neliömatriisien määrä, jotka ovat luokkaa 5 ja joissa on syötteitä joukosta {0, 1} siten, että jokaisen rivin kaikkien elementtien summa on 1 ja jokaisen sarakkeen kaikkien elementtien summa on myös 1, on

tiedostopääte java

Q2. Olkoon A 3 × 3 matriisi siten, että |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Sitten |A ^-1 adj A| on yhtä suuri kuin,

Q3. Olkoon α ja β reaaliluku. Tarkastellaan 3 × 3 matriisia A siten, että A ² = 3A + aI. Jos ⁴ = 21A + βI, etsi sitten α:n ja β:n arvot.

Q4. Olkoon A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Sellaisen matriisin A määrä, jossa kaikkien syötteiden summa on alkuluku p ϵ (2, 13) on

Q5. Olkoon A sellainen n × n matriisi, että |A| = 2. Jos matriisin Adj determinantti (2. Adj(2A ^-1 )) on 2 ⁸⁴ silloin n on yhtä suuri kuin

Matriisit – UKK

Mikä on Matrix matematiikassa?

Matriisit matematiikassa ovat suorakaiteen muotoisia lukujen tai muuttujien matriisijärjestelyjä, jotka sijaitsevat tietyillä riveillä ja sarakkeilla ja joille tehdään erilaisia ​​operaatioita.

Kuinka ratkaista matriisit?

Ratkaisemme matriiseja erilaisille operaatioille, kuten yhteen-, vähennys-, kerto-, transponointi- jne. Näitä menetelmiä käsitellään otsikon Operaatiot matriisien alla.

Mitkä ovat eri matriisityypit?

Erilaisia ​​matriisityyppejä ovat rivimatriisi, sarakematriisi, vaakamatriisi, pystymatriisi, neliömatriisi, diagonaalimatriisi, nollamatriisi, identiteettimatriisi, kolmiomatriisit, symmetriset ja vinosymmetriset matriisit, hermiittiset ja vinohermiittiset matriisit jne. on keskusteltu otsikolla 'Matriisityypit'

Mikä on matriisin sijoitus?

Matriisin järjestys on matriisissa olevien lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärä.

Mikä on matriisin transponointi?

Matriisin transponointi on rivien elementtien uudelleenjärjestely sarakkeiksi ja päinvastoin.

Mikä on kaava matriisin käänteisarvon löytämiseksi?

Matriisin käänteisarvo voidaan selvittää kaavalla A^-1= (1/|A|)(adj A)

Mikä on ehto kahden matriisin kertomiselle?

Kaksi matriisia voidaan kertoa vain, jos ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien lukumäärä.

Kuinka löytää 2⨯2-matriisin determinantti?

2⨯2-matriisin determinantti voidaan löytää vähentämällä matriisin diagonaalielementtien tulo.

Mikä on matriisin päädiagonaali?

Neliömatriisin diagonaali, joka kulkee vasemman yläkulman entiteetistä oikeaan alaosaan, on matriisin päädiagonaali.