Suuruutta, jolle ei ole tunnusomaista vain suuruus vaan myös suunta, kutsutaan vektoriksi. Nopeus, voima, kiihtyvyys, liikemäärä jne. ovat vektoreita.

Vektorit voidaan kertoa kahdella tavalla:

• Skalaarituote tai pistetuote
• Vektorituote tai Cross-tuote

Sisällysluettelo

• Vektorien skalaaritulo/pistetulo
• Yhden vektorin projektio toiseen vektoriin
• Skalaarituotteen ominaisuudet
• Pistetuloon perustuvat epätasa-arvot
• Vektorien ristitulo/vektoritulo
• Ristituotteen ominaisuudet
• Ristituote determinanttimuodossa
• Piste- ja ristituote
• Usein kysytyt kysymykset piste- ja ristituotteista vektoreissa

Vektorien skalaaritulo/pistetulo

Kahden vektorin tuloksena saatu skalaaritulo/pistetulo on aina skalaarisuure. Tarkastellaan kahta vektoria a ja b . Skalaaritulo lasketaan a:n, b:n ja näiden vektorien välisen kulman kosinin tulona.

Skalaaritulo = |a||b| cos α

Tässä,

• |a| = vektorin suuruus a,
• |b| = vektorin suuruus b , ja
• α = vektorien välinen kulma.

Vektorit a ja b, joiden välinen kulma on α

Yhden vektorin projektio toiseen vektoriin

Vektori a voidaan projisoida linjalle l alla olevan kuvan mukaisesti:

CD = vektorin a projektio vektorille b

Yllä olevasta kuvasta on selvää, että voimme projisoida yhden vektorin toisen vektorin päälle. AC on vektorin A suuruus. Yllä olevassa kuvassa AD on piirretty kohtisuoraan suoraa l vastaan. CD edustaa vektorin projektiota a vektorissa b .

Kolmio ACD on siis suorakulmainen kolmio, ja voimme soveltaa trigonometrisiä kaavoja.

Jos α on kulman ACD mitta, niin

cos α = CD/AC

Tai, CD = AC cos a

Kuvasta on selvää, että CD on vektorin a projektio vektorille b

kevään alustus

Joten voimme päätellä, että yksi vektori voidaan projisoida toisen vektorin päälle niiden välisen kulman kosinin avulla.

Skalaarituotteen ominaisuudet

• Kahden vektorin skalaaritulo on aina reaaliluku (skalaari).
• Skalaaritulo on kommutatiivinen eli a.b =b.a= |a||b| cos α
• Jos α on 90°, niin skalaaritulo on nolla, koska cos(90) = 0. Yksikkövektoreiden skalaaritulo x, y suunnassa on siis 0.
• Jos α on 0°, skalaaritulo on magnitudien tulo a ja b |a||b|.
• Yksikkövektorin skalaaritulo itsensä kanssa on 1.
• Vektorin a skalaaritulo itsensä kanssa on |a|²
• Jos α on 180⁰, vektorien a ja b skalaaritulo on -|a||b|
• Skalaaritulo jakaa summauksen

a. ( b + c ) = a.b + a.c

• Minkä tahansa skalaarin k ja m kohdalla,

l a. (m b ) = km a.b

• Jos vektorien komponenttimuoto annetaan seuraavasti:

a = a₁x + a₂ja + a₃Kanssa

b = b₁x + b₂y + b₃Kanssa

sitten skalaaritulo annetaan muodossa

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Skalaaritulo on nolla seuraavissa tapauksissa:
  • Vektorin a suuruus on nolla
  • Vektorin b suuruus on nolla
  • Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden

Pistetuloon perustuvat epätasa-arvot

On olemassa erilaisia ​​vektoreiden pistetuloon perustuvia epäyhtälöitä, kuten:

• Cauchy – Schwartzin epätasa-arvo
• Kolmion epätasa-arvo

Keskustellaan näistä yksityiskohtaisesti seuraavasti:

Cauchy – Schwartzin epätasa-arvo

Tämän periaatteen mukaan mille tahansa kahdelle vektorille a ja b , pistetulon suuruus on aina pienempi tai yhtä suuri kuin vektorin a ja vektorin b suuruusluokkien tulo

|a.b| ≤ |a| |b|

Todiste:

Koska a.b = |a| |b| cos α

Tiedämme, että 0

Joten päätämme, että |a.b| ≤ |a| |b|

Kolmion epätasa-arvo

Mille tahansa kahdelle vektorille a ja b , meillä on aina ollut

| a + b | ≤ | a | + | b |

Kolmion epätasa-arvo

Todiste:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(pistetulo on kommutiivinen)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Tämä todistaa, että | a + b | ≤ | a | + | b|

mitä ravel tekee pythonissa

Esimerkkejä vektorien pistetulosta

Esimerkki 1. Tarkastellaan kahta vektoria siten, että |a|=6 ja |b|=3 ja α = 60°. Löydä heidän pistetuotteensa.

Ratkaisu:

a.b = |a| |b| cos α

Niin, a.b = 6.3.cos (60°)

=18(1/2)

algoritmin syvyys ensimmäinen haku

a.b = 9

Esimerkki 2. Osoita, että vektorit a = 3i+j-4k ja vektorit b = 8i-8j+4k ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu :

Tiedämme, että vektorit ovat kohtisuorassa, jos niiden pistetulo on nolla

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3) (8) + (1) (-8) + (-4) (4)

=24-8-16 =0

Koska skalaaritulo on nolla, voimme päätellä, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Vektorien ristitulo/vektoritulo

Kolmiulotteinen oikeakätinen suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä on lukijalle jo tuttu. Tässä järjestelmässä x-akselin kierto vastapäivään positiiviselle y-akselille osoittaa, että oikeakätinen (vakio) ruuvi etenee positiivisen z-akselin suuntaan kuvan osoittamalla tavalla.

3D Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

The kahden vektorin vektoritulo tai ristitulo a ja b joiden välinen kulma α lasketaan matemaattisesti seuraavasti

a × b = |a| |b| ilman α:ta

On huomattava, että ristitulo on vektori, jolla on määrätty suunta. Resultantti on aina kohtisuorassa sekä a:ta että b:tä vastaan.

Lisäksi, jos annetaan kaksi vektoria,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)jamathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), niiden ristitulo, jota merkitään a × b, lasketaan seuraavasti:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Jos a ja b ovat rinnakkaisia ​​vektoreita, resultantin on oltava nolla, koska sin(0) = 0

Ristituotteen ominaisuudet

• Ristituote luo vektorisuureen. Resultantti on aina kohtisuorassa sekä a:ta että b:tä vastaan.
• Rinnakkaisten vektorien/kollineaaristen vektorien ristitulo on nolla, koska sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Kahden keskenään kohtisuoran vektorin ristitulo, joiden kumpikin on yksikkösuuruus, on yksikkö. (Koska sin(0)=1)
• Ristituote ei ole kommutoiva.

a × b ei ole yhtä suuri kuin b × a

• Ristituote on jakautuva lisäyksen yli

a × ( b + c ) = a × b + a × c

• Jos k on skalaari,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Liikkuessa myötäpäivään ja ottamalla minkä tahansa kahden yksikkövektoriparin ristitulo, saadaan kolmas ja vastapäivään negatiivinen resultantti.

Risti tuote myötä- ja vastapäivään

Seuraavat tulokset voidaan määrittää:

Ristituote determinanttimuodossa

Jos vektori a on edustettuna nimellä a = a1x + a2y + a3z ja vektori b on edustettuna nimellä b = b1x + b2y + b3z

Sitten ristituote a × b voidaan laskea käyttämällä determinanttimuotoa

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Sitten, a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Jos a ja b ovat suunnikkaan OXYZ vierekkäiset sivut ja α on vektorien a ja b välinen kulma.

Sitten suunnikkaan pinta-ala saadaan | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektorit a ja b suuntaviivan vierekkäisinä sivuina

Esimerkkejä C Vectorsin ross-tuote

Esimerkki 1. Etsi kahden vektorin a ja b ristitulo, jos niiden suuruudet ovat 5 ja 10. Ottaen huomioon, että näiden välinen kulma on 30°.

Ratkaisu:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 kohtisuorassa a ja b

Esimerkki 2. Etsi suunnikkaan pinta-ala, jonka vierekkäiset sivut ovat

a = 4i+2j -3k

b = 2i +j-4k

Ratkaisu :

Pinta-ala lasketaan etsimällä vierekkäisten sivujen ristitulo

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

rakentajat javassa

= -5i +10j

Siksi alueen suuruus onsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Piste- ja ristituote

Joitakin yleisiä eroja vektorien piste- ja ristitulon välillä ovat:

Lue lisää,

• Vektorialgebra
• Skalaari ja vektori
• Kahden vektorin skalaaritulo
• Vektorien tuote

Usein kysytyt kysymykset piste- ja ristituotteista vektoreissa

Mitä pistetulo edustaa geometrisesti?

Kahden vektorin pistetulo edustaa yhden vektorin projektiota toiseen skaalattuna niiden suuruuden ja niiden välisen kulman kosinin mukaan.

Miten pistetuloa käytetään geometriassa?

Sitä käytetään vektorien välisten kulmien etsimiseen, ortogonaalisten vektorien määrittämiseen, projektioiden laskemiseen ja vektorien samankaltaisuuden mittaamiseen.

Mitä tapahtuu, jos kahden vektorin pistetulo on nolla?

Jos pistetulo on nolla, se tarkoittaa, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Mitä ristitulo edustaa geometrisesti?

Kahden vektorin ristitulo edustaa vektoria, joka on kohtisuorassa alkuperäiset vektorit sisältävään tasoon nähden. Sen suuruus on yhtä suuri kuin vektorien muodostaman suuntaviivan pinta-ala.

Miten löydät ristituotteen suunnan?

Käytä oikean käden sääntöä: Osoita oikealla peukalollasi ensimmäisen vektorin suuntaan, etusormesi toisen vektorin suuntaan ja keskisormesi osoittaa ristitulon suuntaan.