Suoran yhtälö tasossa annetaan muodossa y = mx + C missä x ja y ovat tason koordinaatit, m on suoran kaltevuus ja C on leikkauspiste. Linjan rakentaminen ei kuitenkaan rajoitu vain tasoon.

Tiedämme, että suora on polku kahden pisteen välillä. Nämä kaksi pistettä voivat sijaita missä tahansa, voivatko ne olla yhdessä tasossa tai avaruudessa. Tason tapauksessa suoran sijaintia kuvaa kaksi koordinaattia, jotka on järjestetty järjestetyksi pariksi, joka on annettu muodossa (x, y), kun taas avaruuden tapauksessa pisteen sijaintia kuvaa kolme koordinaattia ilmaistuna (x) , y, z).

Tässä artikkelissa opimme eri linjojen yhtälöiden muotoja 3D-avaruudessa.

Sisällysluettelo

• Mikä on suoran yhtälö?
• Suoran yhtälö 3D:ssä
• Suoran yhtälön karteesinen muoto 3D:ssä
• Suorayhtälön vektorimuoto 3D:ssä
• 3D Lines kaavat
• Ratkaistiin esimerkkejä suoran yhtälöstä 3D:ssä

Mikä on suoran yhtälö?

Suoran yhtälö on algebrallinen tapa ilmaista viiva niiden pisteiden koordinaatteina, joihin se liittyy. Suoran yhtälö on aina a lineaarinen yhtälö .

csma ja csma cd

Jos yritämme piirtää lineaarisesta yhtälöstä saadut pisteet, se on a suora viiva . Suoran standardiyhtälö annetaan seuraavasti:

ax + by + c = 0

missä,

• a ja b ovat x:n ja y:n kertoimet
• c on vakiotermi

Muut linjayhtälön muodot on mainittu alla:

Nyt opimme suoran yhtälön 3D:ssä.

Suoran yhtälö 3D:ssä

Suoran yhtälö 3D:ssä vaatii kaksi pistettä, jotka sijaitsevat avaruudessa. Kunkin pisteen sijainti annetaan kolmella koordinaatilla ilmaistuna (x, y, z).

Suoran 3D-yhtälö on annettu kahdessa muodossa, karteesinen muoto ja vektorimuoto . Tässä artikkelissa opimme suoran yhtälön 3D-muodossa sekä suorakulmaisessa että vektorimuodossa ja opimme myös johtamaan yhtälön. Alla on lueteltu eri yhtälön tapaukset:

• Suoraviivainen muoto
  • Kahden pisteen läpi kulkeva viiva
  • Viiva Tietyn pisteen läpi kulkeva ja yhdensuuntainen tietyn vektorin kanssa
• Viivan vektorimuoto
  • Kahden pisteen läpi kulkeva viiva
  • Viiva Tietyn pisteen läpi kulkeva ja yhdensuuntainen tietyn vektorin kanssa

Suoran yhtälön karteesinen muoto 3D:ssä

Suoran suorakulmainen muoto saadaan käyttämällä kahden pisteen koordinaatteja, jotka sijaitsevat avaruudessa, josta suora kulkee. Tässä käsitellään kahta tapausta, jolloin suora kulkee kahden pisteen läpi ja kun suora kulkee pisteiden läpi ja on yhdensuuntainen vektorin kanssa.

Tapaus 1: 3D suorayhtälö suorakulmaisessa muodossa, joka kulkee kahden pisteen läpi

Oletetaan, että meillä on kaksi pistettä A ja B, joiden koordinaatit annetaan muodossa A(x₁, ja₁, Kanssa₁) ja B(x₂, ja₂, Kanssa₂).

Sitten suoran suoran 3D-yhtälö suorakulmaisessa muodossa annetaan muodossa

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

missä x, y ja z ovat suorakaiteen muotoisia koordinaatteja.

Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön johtaminen

Voimme johtaa suoraviivaisen 3D-yhtälön karteesisen muodon seuraavien mainittujen vaiheiden avulla:

• Vaihe 1: Etsi DR:t (Direction Ratios) ottamalla kahden annetun pisteen vastaavien sijaintikoordinaattien ero. l = (x₂– x₁), m = (ja₂- ja₁), n = (z₂- Kanssa₁); Tässä l, m, n ovat DR:t.
• Vaihe 2: Valitse jompikumpi kahdesta annetusta pisteestä eli valitsemme (x₁, ja₁, Kanssa₁).
• Vaihe 3: Kirjoita tarvittava yhtälö pisteiden läpi kulkevalle suoralle (x₁, ja₁, Kanssa₁) ja (x₂, ja₂, Kanssa₂).
• Vaihe 4: Suoran suoran kolmiulotteinen yhtälö karteesisessa muodossa on L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(ja₂- ja₁) = (z – z₁)/(Kanssa₂- Kanssa₁)

Missä (X ja Z) ovat minkä tahansa muuttuvan pisteen sijaintikoordinaatit, jotka sijaitsevat suoralla.

Esimerkki: Jos suora kulkee 3-ulotteisen kahden kiinteän pisteen läpi, joiden sijaintikoordinaatit ovat P (2, 3, 5) ja Q (4, 6, 12), sen suorakulmainen yhtälö kahden pisteen muotoa käyttäen saadaan

Ratkaisu:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Pisteen P valinta (2, 3, 5)

Suoran vaadittu yhtälö

L: (x - 2) / 2 = (y - 3) / 3 = (z - 5) / 7

Tapaus 2: Suorakulmainen kolmiulotteinen yhtälö, joka kulkee pisteen läpi ja on yhdensuuntainen tietyn vektorin kanssa

Oletetaan, että suora kulkee pisteen P(x) kautta₁, ja₁, Kanssa₁) ja on samansuuntainen vektorin kanssa, joka on annettu muodossavec n = ahat i + bhat j + chat k .

Sitten suoran yhtälö annetaan muodossa

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

missä x, y, z ovat suorakaiteen muotoisia koordinaatteja ja a, b, c suuntakosineja.

Suoran pisteen läpi kulkevan suoran 3D-yhtälön johtaminen yhdensuuntaisesti tiettyyn vektoriin

Oletetaan, että meillä on piste P, jonka sijaintivektori on annettu muodossavec palkuperästä. Olkoon P:n kautta kulkeva suora yhdensuuntainen toisen vektorin kanssavec n. Otetaan piste R suoralta, joka kulkee P:n kautta, jolloin R:n paikkavektori annetaan muodossavec r .

Koska PR on rinnakkainenvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Jos nyt siirrymme viivalla PR, minkä tahansa suoralla olevan pisteen koordinaatilla on koordinaatti muodossa (x₁+ λa), (ja₁+ λb), (z₁+ λc), jossa λ on parametri, jonka arvo vaihtelee välillä -∞ - +∞ riippuen suunnasta P:stä, johon liikumme.

Näin ollen uuden pisteen koordinaatit ovat

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

mitä ravel tekee pythonissa

Vertaamalla yllä olevia kolmea yhtälöä meillä on yhtälö linja as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Esimerkki: Etsi yhtälö suorasta, joka kulkee pisteen (2, 1, 3) läpi ja on yhdensuuntainen vektorin 3i – 2j + k kanssa

Ratkaisu:

Pisteen läpi kulkevan ja vektorin suuntaisen suoran yhtälö annetaan muodossa

(x-x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

Kysymyksemme perusteella x₁= 2 ja₁= 1, z₁= 3 ja a = 3, b = -2 ja c = k. Siten suoran vaadittu yhtälö on

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1)/-2 = (z – 3)/1

Suorayhtälön vektorimuoto 3D:ssä

Viivayhtälön vektorimuoto 3D:ssä on annettu käyttämällä vektoriyhtälöä, joka sisältää pisteiden sijaintivektorin. Tässä otsikossa saamme suoran 3D-yhtälön vektorimuodossa kahdelle tapaukselle.

Tapaus 1: Kahden pisteen läpi kulkevan suoran 3D-yhtälö vektorimuodossa

Oletetaan, että meillä on kaksi pistettä A ja B, joiden sijaintivektori on annettu muodossavec ajavec b.

Sitten suoran L vektoriyhtälö annetaan muodossa

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

missä(vec b – vec a)on kahden pisteen välinen etäisyys ja λ on parametri, joka sijaitsee linjalla.

Kahden pisteen läpi kulkevan suoran 3D-yhtälön johtaminen vektorimuodossa

Oletetaan, että meillä on kaksi pistettä A ja B, joiden sijaintivektori on annettu muodossavec ajavec b. Nyt tiedämme, että suora on minkä tahansa kahden pisteen välinen etäisyys. Siksi meidän on vähennettävä kaksi sijaintivektoria saadaksemme etäisyyden.

⇒vec d = vec b – vec a

Nyt tiedämme, että mikä tahansa piste tällä viivalla annetaan paikkavektorin summanavec a space or space vec b parametrin λ ja kahden pisteen välisen etäisyyden paikkavektorin tulolla, ts.vec d

Siten vektorimuodossa olevan suoran yhtälö onvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)taivec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Esimerkki: Etsi vektoriyhtälö 3D:ssä suoralle, joka kulkee kahden pisteen kautta, joiden sijaintivektorit ovat 2i + j – k ja 3i + 4j + k

Ratkaisu:

Ottaen huomioon, että kaksi paikkavektoria ovat 2i + j – k ja 3i + 4j + k

Etäisyys d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Tiedämme, että suoran yhtälö on annettu muodossavec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Siten suoran yhtälö tulee olemaanvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Tapaus 2: pisteen läpi kulkevan ja vektorin kanssa yhdensuuntaisen suoran 3D-yhtälön vektorimuoto

Oletetaan, että meillä on piste P, jonka sijaintivektori on annettu muodossavec p. Olkoon tämä suora yhdensuuntainen toisen suoran kanssa, jonka sijaintivektori on annettu muodossavec d .

Sitten suoran 'l' vektoriyhtälö annetaan muodossa

vec l = vec p + lambda vec d

missä λ on rivillä oleva parametri.

listaus java

Pisteen läpi kulkevan ja vektorin kanssa yhdensuuntaisen suoran 3D-yhtälön vektorimuodon johtaminen

Tarkastellaan pistettä P, jonka sijaintivektori on annettu muodossavec p. Oletetaan nyt, että tämä suora on yhdensuuntainen vektorin kanssavec dsilloin suoran yhtälö onvec l = lambda vec d. Nyt kun suora kulkee myös pisteen P kautta, niin kun siirrymme pois pisteestä P jompaankumpaan suuntaan viivalla, pisteen sijaintivektori on muodossavec p + lambda vec d . Siten suoran yhtälö tulee olemaanvec l = vec p + lambda vec dmissä λ on rivillä oleva parametri.

Esimerkki: Etsi pisteen (-1, 3, 2) kautta kulkevan ja vektorin 5i + 7j – 3k suuntaisen suoran yhtälön vektorimuoto.

Ratkaisu:

Tiedämme, että pisteen läpi kulkevan ja vektorin suuntaisen suoran yhtälön vektorimuoto on annettuvec l = vec p + lambda vec d

Koska piste on (-1, 3, 2), pisteen paikkavektori on -i + 3j + 2k ja annettu vektori on 5i + 7j – 3k.

Siksi suoran vaadittu yhtälö onvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j - 3k).

3D Lines kaavat

Samanlaisia ​​lukemia

• Suoran viivan yhtälö
• Tangentti ja normaali
• Viivan kaltevuus

Ratkaistiin esimerkkejä suoran yhtälöstä 3D:ssä

Harjoittele suorayhtälöitä 3D:ssä näiden ratkaistujen käytännön kysymysten avulla.

Esimerkki 1: Jos suora kulkee 3-ulotteisen kahden kiinteän pisteen läpi, joiden sijaintivektorit ovat (2 i + 3 j + 5 k) ja (4 i + 6 j + 12 k), niin sen vektoriyhtälö käyttää kaksipistettä muodon antaa

Ratkaisu:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ) ; Tässä{vec {p}}on suoran suuntainen vektori

Paikkavektorin valinta (2 i + 3 j + 5 k )

Vaadittu suoran yhtälö

L :{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Esimerkki 2: Jos suora kulkee 3-ulotteisen avaruuden kahden kiinteän pisteen läpi, joiden sijaintikoordinaatit ovat (3, 4, -7) ja (1, -1, 6), sen vektoriyhtälö käyttää kaksipistettä muodon antaa

Ratkaisu:

Annettujen pisteiden sijaintivektorit ovat (3 i + 4 j – 7 k) ja (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

konekieli

{vec {p}}= (2 i + 5 j - 13 k); Tässä{vec {p}}on suoran suuntainen vektori

Paikkavektorin valinta (i – j + 6 k)

Vaadittu suoran yhtälö

L :{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Esimerkki 3: Jos suora kulkee 3-ulotteisen kahden kiinteän pisteen läpi, joiden sijaintivektorit ovat (5 i + 3 j + 7 k) ja (2 i + j - 3 k), niin sen vektoriyhtälö kahden pisteen muodossa on antanut

Ratkaisu:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j - 3 k)

{vec {p}}= (3i + 2j + 10 k); Tässä{vec {p}}on suoran suuntainen vektori

Paikkavektorin valinta (2 i + j – 3 k)

Vaadittu suoran yhtälö

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10 k)

Esimerkki 4: Jos suora kulkee 3-ulotteisen kahden kiinteän pisteen läpi, joiden sijaintikoordinaatit ovat A (2, -1, 3) ja B (4, 2, 1), niin sen suorakulmainen yhtälö käyttäen kaksipistettä muodon antaa

Ratkaisu:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Pisteen A valitseminen (2, -1, 3)

Suoran vaadittu yhtälö

L : (x - 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z - 3) / -2 tai

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 - z) / 2

Esimerkki 5: Jos suora kulkee 3-ulotteisen kahden kiinteän pisteen kautta, jonka sijaintikoordinaatit ovat X (2, 3, 4) ja Y (5, 3, 10), sen suorakulmainen yhtälö kahden pisteen muotoa käyttäen saadaan

Ratkaisu:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Pisteen X valitseminen (2, 3, 4)

Suoran vaadittu yhtälö

java-palvelinsivut

L : (x - 2) / 3 = (y - 3) / 0 = (z - 4) / 6 tai

L: (x - 2) / 1 = (y - 3) / 0 = (z - 4) / 2

Suoran yhtälö 3D:ssä – UKK

Mikä on suoran yhtälö 3D:ssä?

Suoran yhtälö 3D:ssä annetaan muodossa (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(ja₂- ja₁) = (z – z₁)/(Kanssa₂- Kanssa₁)

Mikä on suoran yhtälön karteesinen muoto 3D:ssä?

Suoran yhtälön karteesinen muoto 3D:ssä on annettu kahdelle tapaukselle

Tapaus 1: Kun viiva kulkee kahden pisteen läpi:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Tapaus 2: Kun suora kulkee yhden pisteen läpi ja on yhdensuuntainen vektorin kanssa:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Mikä on suoran yhtälön vektorimuoto 3D:ssä?

Suoran yhtälön vektorimuoto 3D:ssä on annettu kahdelle tapaukselle:

Tapaus 1: Kahden pisteen kautta kulkeva viiva:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Tapaus 2: Viivan kulku pisteen läpi ja yhdensuuntainen vektorin kanssa:vec l = vec p + lambda vec d

Mikä on suoran kaltevuuspisteen yhtälö?

Kaltevuuspiste Suoran yhtälö on annettu muodossa y = mx + C missä m on kaltevuus

Mikä on suoran standardiyhtälö?

Suoran standardiyhtälö on ax + x + c = 0