logo

TechCodeview

Vastaavuusluokka

Vastaavuusluokka ovat joukon elementtejä, jotka perustuvat tiettyyn ekvivalenssisuhteen määrittelemään ekvivalenssikäsitteeseen. Ekvivalenssirelaatio on relaatio, joka täyttää kolme ominaisuutta: refleksiivisyys, symmetria ja transitiivisuus. Ekvivalenssiluokat jakavat joukon S epäyhtenäisiksi osajouksiksi. Jokainen osajoukko koostuu elementeistä, jotka liittyvät toisiinsa annetun ekvivalenssirelaation puitteissa.

Tässä artikkelissa käsittelemme ekvivalenssiluokan käsitettä riittävän yksityiskohtaisesti, mukaan lukien sen määritelmä, esimerkki, ominaisuudet sekä ratkaistut esimerkit.



Sisällysluettelo

Mitä ovat ekvivalenssiluokat?

Ekvivalenssiluokka on nimi, jonka annamme S:n osajoukolle, joka sisältää kaikki toisiaan vastaavat elementit. Ekvivalentti on riippuvainen määritetystä suhteesta, jota kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi. Jos minkä tahansa kahden elementin välillä on ekvivalenssisuhde, niitä kutsutaan ekvivalenteiksi.



Vastaavuusluokan määritelmä

Kun otetaan huomioon joukon S ekvivalenssirelaatio, ekvivalenssiluokka suhteessa S:n alkioon a on joukko S:ssä olevia elementtejä, jotka liittyvät a:een, eli

[a] TAI x liittyy a:han

Tarkastellaan esimerkiksi kokonaislukujen joukkoa ℤ ja kongruenssimoduulin n määrittelemää ekvivalenssisuhdetta. Kahta kokonaislukua a ja b pidetään ekvivalenttina (merkitty muodossa (a ≡ b mod(n), jos niillä on sama jäännös n:llä jaettuna. Tässä tapauksessa kokonaisluvun a ekvivalenssiluokka on joukko kokonaislukuja, joilla on sama jäännös kuin a jaettuna n:llä.



java tuples

Mikä on ekvivalenssisuhde?

Mitä tahansa relaatiota R sanotaan ekvivalenssitodellisuudeksi, jos ja vain jos se täyttää seuraavat kolme ehtoa:

  • Heijastuskyky: Minkä tahansa elementin a osalta a liittyy itseensä.
  • Symmetria: Jos a liittyy b:hen, niin b liittyy a:han.
  • Transitiivisuus: Jos a liittyy b:hen ja b liittyy c:hen, niin a liittyy c:hen.

Lue lisää aiheesta Ekvivalenssisuhde .

Joitakin esimerkkejä vastaavuussuhteesta ovat:

Tasa-arvo sarjassa: Olkoon X mikä tahansa joukko ja määrittele relaatio R X:lle siten, että a R b jos ja vain jos a = b a:lle, b ϵ X.

  • Heijastuskyky: Jokaiselle a ϵ X, a = a (triviaalisti tosi).
  • Symmetria: Jos a = b, niin b = a (triviaalisti tosi).
  • Transitiivisuus: Jos a = b ja b = c, niin a = c (triviaalisti tosi).

Congruence modulo n: Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja määritä relaatio R kokonaisluvuille ℤ siten, että a R b jos ja vain jos a – b on jaollinen luvulla n.

  • Heijastuskyky: Jokaiselle a ϵ ℤ, a – a = 0 on jaollinen n:llä.
  • Symmetria: Jos a – b on jaollinen n:llä, niin -(a – b) = b – a on myös jaollinen n:llä.
  • Transitiivisuus: Jos a – b on jaollinen n:llä ja b – c on jaollinen n:llä, niin a – c on myös jaollinen n:llä.

Esimerkkejä ekvivalenssiluokista

Tunnettu esimerkki ekvivalenssirelaatiosta on yhtäläinen (=) -relaatio. Toisin sanoen annetun joukon kaksi elementtiä ovat keskenään ekvivalentteja, jos ne kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan. Vastaavuussuhteet voidaan selittää seuraavilla esimerkeillä:

Ekvivalenssirelaatio kokonaislukuihin

Vastaavuussuhde: Congruence modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

  • Vastaavuusluokka 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
  • Vastaavuusluokka 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
  • Vastaavuusluokka 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
  • Vastaavuusluokka 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
  • Vastaavuusluokka 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ekvivalenssisuhde reaalilukuihin

Vastaavuussuhde: Absoluuttinen ero (a ~ b jos |a – b| <1)

  • Vastaavuusluokka 0: [0] = (-0,5, 0,5)
  • Vastaavuusluokka 1: [1] = (0,5, 1,5)
  • Vastaavuusluokka 2: [2] = (1,5, 2,5)
  • Vastaavuusluokka 3: [3] = (2,5, 3,5)

Lue lisää,

Ekvivalenssiluokkien ominaisuudet

Ekvivalenssiluokkien ominaisuudet ovat:

  • Jokainen elementti kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan.
  • Ekvivalenssiluokat ovat epäyhtenäisiä eli minkä tahansa kahden ekvivalenssiluokan leikkauspiste on nolla.
  • Kaikkien ekvivalenssiluokkien liitto on alkuperäinen joukko.
  • Kaksi elementtiä ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos niiden ekvivalenssiluokat ovat yhtä suuret.

Lue lisää,

  • Sarjojen liitto
  • Joukkojen risteys
  • Erilliset sarjat

Vastaavuusluokat ja osio

Ekvivalenssirelaatiolla toisiinsa liittyviä joukon elementtiryhmiä, kun taas näiden ekvivalenssiluokkien kokoelmaa, joka kattaa koko joukon ilman päällekkäisyyksiä, kutsutaan osioksi.

Ero vastaavuusluokkien ja osion välillä

Keskeinen ero vastaavuusluokkien ja osion välillä on annettu seuraavassa taulukossa:

Ominaisuus Vastaavuusluokat Väliseinät
Määritelmä Elementtien joukot, joita pidetään samanarvoisina suhteessa. Joukko ei-tyhjiä, pareittain hajallaan olevia osajoukkoja siten, että niiden liitto on koko joukko.
Merkintä Jos A on ekvivalenssiluokka, sitä merkitään usein [ a ] tai [a] R , missä a on edustava elementti ja R on ekvivalenssisuhde. Sarjan osio X on merkitty { B 1, B 2,…, B n ​}, missä B i ovat osion erillisiä osajoukkoja.
Suhde Ekvivalenssiluokat muodostavat osion taustalla olevasta joukosta. Osio voi syntyä ekvivalenssisuhteesta tai ei.
Kardinaalisuus Ekvivalenssiluokilla voi olla eri kardinaliteetti. Kaikilla osion osajoukoilla on sama kardinaliteetti.
Esimerkki

Tarkastellaan kokonaislukujen joukkoa ja ekvivalenssirelaatiota, joilla on sama jäännös, kun se jaetaan viidellä.

Ekvivalenssiluokat ovat {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} ja {…,−4,1 ,6,…} jne.

Tarkastellaan parillisiin ja parittoihin osioitujen kokonaislukujen joukkoa:

{…,−4,−2,0,2,4,…} ja {…,−3,−1,1,3,5,…}.
Luokkien risteys Ekvivalenssiluokat ovat joko disjunkteja tai identtisiä. Osiot koostuvat epäyhtenäisistä osajoukoista.

Ratkaistiin esimerkkejä vastaavuusluokasta

Esimerkki 1: Osoita, että relaatio R on ekvivalenssityyppi joukossa P= { 3, 4, 5,6 }, jonka antaa relaatio R = (p, q):.

Ratkaisu:

Annettu: R = (p, q):. Missä p, q kuuluu P:hen.

Heijastava ominaisuus

Annetusta suhteesta |p – p| = | 0 |=0.

  • Ja 0 on aina parillinen.
  • Siksi |p – p| on tasan.
  • Näin ollen (p, p) liittyy R:ään

Joten R on refleksiivinen.

Symmetrinen ominaisuus

Annetusta suhteesta |p – q| = |q – p|.

  • Tiedämme, että |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
  • Tästä syystä |p – q| on tasan.
  • Seuraava |q – p| on myös tasainen.
  • Vastaavasti, jos (p, q) ∈ R, niin (q, p) kuuluu myös R:lle.

Siksi R on symmetrinen.

json-muotoinen esimerkki

Transitiivinen omaisuus

  • Jos |p – q| on parillinen, silloin (p-q) on parillinen.
  • Vastaavasti, jos |q-r| on parillinen, silloin (q-r) on myös parillinen.
  • Parillisten lukujen summa on liian parillinen.
  • Joten voimme käsitellä sitä p – q+ q-r on parillinen.
  • Seuraavaksi p – r on parillisempi.

Asianmukaisesti,

  • |p – q| ja |q-r| on parillinen, silloin |p – r| on tasan.
  • Näin ollen, jos (p, q) ∈ R ja (q, r) ∈ R, niin (p, r) viittaa myös R:ään.

Siksi R on transitiivinen.

Esimerkki 2: Otetaan A = {2, 3, 4, 5} ja R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Ratkaisu:

Annettu: A = {2, 3, 4, 5} ja

Relaatio R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

Jotta R olisi ekvivalenssirelaatio, R:n on täytettävä kolme ominaisuutta eli refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

1 / 1000,00

Refleksiivinen : Relaatio R on refleksiivinen, koska (5, 5), (2, 2), (3, 3) ja (4, 4) ∈ R.

Symmetrinen : Relaatio R on symmetrinen aina kun (a, b) ∈ R, (b, a) liittyy myös R:ään eli (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitiivinen : Relaatio R on transitiivinen kuten aina kun (a, b) ja (b, c) liittyvät R:ään, (a, c) koskee myös R:tä eli (3, 5) ∈ R ja (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Vastaavasti R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

Joten R on ekvivalenssirelaatio.

Harjoittele ongelmia vastaavuusluokassa

Ongelma 1: aRb, jos a+b on parillinen. Selvitä, onko se ekvivalenssirelaatio ja sen ominaisuudet.

Ongelma 2: xSy, jos x:llä ja y:llä on sama syntymäkuukausi. Analysoi, onko se ekvivalenssisuhde.

Ongelma 3: Oletetaan, että A = {2, 3, 4, 5} ja R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Varmista, että R on ekvivalenssityyppinen relaatio.

Ongelma 4: Osoita, että relaatio R on ekvivalenssityyppi joukossa P= { 3, 4, 5,6 }, jonka relaatio R = on parillinen .

Vastaavuusluokka: UKK

1. Mikä on ekvivalenssiluokka?

Ekvivalenssiluokka on joukon sisällä oleva osajoukko, joka muodostetaan ryhmittelemällä kaikki toisiaan vastaavat elementit tietyssä ekvivalenssisuhteessa. Se edustaa kaikkia jäseniä, joita tämä suhde pitää tasa-arvoisina.

2. Mikä on vastaavuusluokan symboli?

Ekvivalenssiluokan symboli kirjoitetaan tyypillisesti muodossa [a], jossa a on luokkaa edustava elementti. Tämä merkintä tarkoittaa kaikkien elementtien joukkoa, jotka vastaavat a:ta tietyssä ekvivalenssisuhteessa.

3. Kuinka löydät joukon vastaavuusluokan?

Voit selvittää joukon vastaavuusluokan seuraavasti:

Vaihe 1: Määrittele ekvivalenssisuhde.

Vaihe 2: Valitse elementti joukosta.

Vaihe 3: Tunnista valittuja elementtejä vastaavat elementit.

Vaihe 4: Muodosta Ekvivalenssiluokka, joka sisältää kaikki valittua elementtiä vastaavat elementit.

4. Mitä eroa vastaavuusluokan ja osion välillä on?

Ekvivalenssiluokat ovat ekvivalenssirelaation muodostamia osajoukkoja, kun taas osiot ovat ei-päällekkäisiä osajoukkoja, jotka kattavat koko joukon. Jokainen ekvivalenssiluokka on osion osajoukko, mutta jokainen osio ei synny ekvivalenssisuhteesta.

5. Mikä on ekvivalenssirelaatio?

Relaatio, joka on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen ja joka jakaa joukon epäyhtenäisiksi osajouksiksi.