EULERIN TOTIENT FUNCTION - TECHCODEVIEW.COM

Eulerin Totient-funktio Φ(n) syötteelle n on niiden lukujen määrä yksiköissä {1, 2, 3, …, n-1}, jotka ovat suhteellisesti alkulukuja n:ään nähden, eli luvut, joiden GCD (Greatest Common Divisor) on n:llä on 1.

Esimerkkejä:

Φ(1) = 1
gcd(1, 1) on 1

Φ(2) = 1
gcd(1, 2) on 1, mutta gcd(2, 2) on 2.

Φ(3) = 2
gcd(1, 3) on 1 ja gcd(2, 3) on 1

Φ(4) = 2
gcd(1, 4) on 1 ja gcd(3, 4) on 1

Φ(5) = 4
gcd(1, 5) on 1, gcd(2, 5) on 1,
gcd(3, 5) on 1 ja gcd(4, 5) on 1

Φ(6) = 2
gcd(1, 6) on 1 ja gcd(5, 6) on 1,

Suositeltu käytäntö Euler Totient -toiminto Kokeile sitä!

Miten lasketaan Φ(n) syötteelle n?
A yksinkertainen ratkaisu on iteroida kaikki luvut 1:stä n-1:een ja laskea luvut gcd:llä, jossa n on 1. Alla on toteutettu yksinkertainen menetelmä Eulerin Totient-funktion laskemiseksi syötetylle kokonaisluvulle n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python 3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript

 >>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>>C++ // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<  
  Lähtö  phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4
 
 

   
Yllä oleva koodi kutsuu gcd-funktiota O(n) kertaa. Gcd-funktion aikamonimutkaisuus on O(h), jossa h on numeroiden lukumäärä pienemmässä määrässä annettua kahta numeroa. Siksi yläraja      aika monimutkaisuus      yllä olevasta ratkaisusta on O(N^2 log N) [Kuinka Φ voi olla enintään Log₁₀n numeroa kaikissa numeroissa 1 - n]
       Aputila:      O(log N)
   
Alla on a    Parempi Ratkaisu    . Idea perustuu Eulerin tuotekaavaan, jossa todetaan, että kokonaisfunktioiden arvo on alle tuotteen kokonaisalkutekijät p n:stä.
 
 

 
 Kaava sanoo periaatteessa, että Φ(n):n arvo on yhtä suuri kuin n kerrottuna (1 – 1/p):n sivutuote kaikille n:n alkutekijöille p. Esimerkiksi Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 - 1/3) = 2.  
Voimme löytää kaikki alkutekijät käyttämällä ideaa, jota käytetään Tämä lähettää.
 1) Alusta : tulos = n  
2) Suorita silmukka arvosta 'p' = 2 arvoon sqrt(n), tee seuraava jokaiselle 'p':lle.  
a) Jos p jakaa n:n, niin  
Joukko: tulos = tulos * (1,0 - (1,0 / (float) p));  
Jaa kaikki p:n esiintymät n:llä.  
3) Palautustulos
merkkijono int-muunnin
  
Alla on Eulerin tuotekaavan toteutus.
C++ // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku palauttaa (int)tulos; } // Ohjainkoodi int main() { int n;    for(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <C // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku palauttaa (int)tulos; } // Ohjainohjelma yllä olevan funktion testaamiseen int main() { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>Java // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku palauttaa (int)tulos;  } // Ohjainohjelma yllä olevan toiminnon testaamiseen public static void main(String args[]) { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>Python 3 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : tulos -= tulos // n #Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa #jos n on alkuluku palauttaa int(tulos) # Ohjain ohjelma testaamaan yllä olevaa funktiota n:lle alueella(1, 11): print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Tämän koodin on toimittanut # Nikita Tiwari.>>C# // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku palauttaa (int)tulos;  } // Ohjainkoodi public static void Main() { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>Javascript // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku return parseInt(result); } // Ohjainkoodi kohteelle (olkoon n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $tulos -= $tulos / $n;  //Koska joukossa {1,2,....,n-1}, kaikki luvut ovat suhteellisen alkulukuja n:n kanssa //jos n on alkuluku return intval($tulos); } // Ohjainkoodi kohteelle ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>>  
  Lähtö  Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4
     Aika monimutkaisuus:    O(Φ n log n)  
    Aputila:    O(1)
 Voimme välttää liukulukulaskutoimitukset yllä olevalla menetelmällä. Ajatuksena on laskea kaikki alkutekijät ja niiden kerrannaiset ja vähentää tämä luku n:stä saadaksesi kokonaisfunktion arvon (Alkutekijöiden ja alkutekijöiden kerrannaisten gcd ei ole 1)
 1) Alusta tulokseksi n  
2) Tarkastellaan jokaista lukua 'p' (missä 'p' vaihtelee 2:sta Φ(n)).  
Jos p jakaa n:n, toimi seuraavasti  
a) Vähennä p:n kaikki kerrannaiset luvusta 1 arvoon n [kaikki p:n kerrannaiset  
on gcd enemmän kuin 1 (vähintään p) ja n]  
b) Päivitä n jakamalla se toistuvasti p:llä.  
3) Jos pelkistetty n on suurempi kuin 1, poista kaikki kerrannaisuudet  
n:stä tuloksesta.
Alla on yllä olevan algoritmin toteutus.
C++ // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;    palauttaa tuloksen; } // Ohjainkoodi int main() { int n;  for(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>C // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  palauttaa tuloksen; } // Ohjainohjelma yllä olevan funktion testaamiseen int main() { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>Java // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) tulos -= tulos / n;  palauttaa tuloksen; } // Ohjainkoodi public static void main (String[] args) { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>Python 3 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): tulos -= int(tulos / n); palauttaa tuloksen; # Ohjainkoodi n:lle alueella(1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Tämän koodin # on toimittanut mits>>C# // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) tulos -= tulos / n; palauttaa tuloksen; } // Ohjainkoodi staattinen public void Main () { int n;  varten (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>Javascript // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) tulos -= parseInt(tulos / n);  palauttaa tuloksen; } // Ohjainkoodi kohteelle (olkoon n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $tulos -= (int)$tulos / $n;  palauttaa $tulos; } // Ohjainkoodi kohteelle ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>>  
  Lähtö  Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4
     Aika monimutkaisuus:    O(Φ n log n)  
    Aputila:    O(1)
 Otetaan esimerkki yllä olevan algoritmin ymmärtämiseksi.
 n = 10.  
Alusta: tulos = 10  
  
2 on alkutekijä, joten n = n/i = 5, tulos = 5  
3 ei ole ensisijainen tekijä.  
  
For-silmukka pysähtyy 3:n jälkeen, koska 4*4 ei ole pienempi tai yhtä suuri  
10:een.  
  
For-silmukan jälkeen tulos = 5, n = 5  
Koska n> 1, tulos = tulos - tulos/n = 4
    Jotkut Eulerin Totient-funktion mielenkiintoiset ominaisuudet       
    1)    a    alkuluku s    ,phi(p) = p – 1
     Todiste :    
 missä k on mikä tahansa satunnaisluku jaKokonaisluku 1:stä p = p Luku, jolle, eli itse luku p, joten p:stä vähennetään 1phi(p) = p - 1
    Esimerkkejä:     
 phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28
  
    2)    varten    kaksi alkulukua a ja b     phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , käytetty  RSA-algoritmi  
     Todiste :    
 phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), jossa a ja b ovat alkulukujaphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Kokonaisluku 1:stä ab = ab:n kokonaiskerrat 1:stä ab =frac{a cdot b} {a}=bB:n kokonaiskerrat arvosta 1 arvoon ab =frac{a cdot b} {b}=a    Esimerkki:    a = 5, b = 7, ab = 35 A = kerrannaisetfrac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} b:n kerrannaiset =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35}    Voiko kaksoislaskentaa olla?    (Katso yllä oleva esimerkki huolellisesti, kokeile muilla    alkuluvut    myös enemmän ymmärrystä)Tietenkin olemme laskeneetab     kahdesti    a:n kerrannaisina ja b:n kerrannaisina, joten kokonaiskerrat = a + b - 1 (jossagcd 
eq 1kanssaab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), poistamalla kaikki numerotgcd 
eq 1kanssaab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)
    Esimerkkejä:    
 phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12
  
    3)    varten    alkuluku p    ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}
     Todiste :    
 phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, jossa p on alkulukuKokonaisluvut 1 -p ^ k = p ^ kYhteensä kerrannaisinap = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Poistamalla nämä kerrannaisuudet kuten niiden kanssagcd 
eq 1    Esimerkki:    p = 2, k = 5,p ^ k= 32 2:n kerrannaiset (kuten heidänkingcd 
eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}
    Esimerkkejä:    
 phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162
  
    4)    varten    kaksi numeroa a ja b     phi(a cdot b)  = phi(a) cdot phi(b)  cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}
     Erikoistapaus: gcd(a, b) = 1    
 phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)
     Esimerkkejä:    
     Erikoistapaus :    gcd(a, b) = 1    ,    phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b)         phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8     Normaali tapaus:    gcd(a, b) 
eq 1    ,    phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16
    5)    Kaikkien n:n jakajien kokonaisfunktioiden arvojen summa on yhtä suuri kuin n.  
 
  
   
    Esimerkkejä:    
 n = 6  
tekijät = {1, 2, 3, 6}  
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8 tekijää = {1, 2, 4, 8} n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10 tekijää = {1, 2, 5, 10} n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10
    6)    Tunnetuin ja tärkein ominaisuus ilmaistaan        Eulerin lause        :
 Lauseen mukaan jos n ja a ovat koprime  
(tai suhteellisen ensiluokkaiset) positiiviset kokonaisluvut  
  
a^Φ(n)Φ 1 (mod n)
The  RSA-salausjärjestelmä  perustuu tähän lauseeseen:  
Erityisessä tapauksessa, kun m on alkuluku eli p, Eulerin lause muuttuu ns        Fermatin pieni lause        :
 a^p-1Φ 1 (p:tä vastaan)
     7)      Moduulilisäyksen alaisen äärellisen syklisen ryhmän generaattorien lukumäärä on Φ(n) .
     Aiheeseen liittyvä artikkeli:       
 Eulerin Totient-funktio kaikille luvuille, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n    
 Optimoitu Euler Totient -funktio useisiin arviointeihin 
     Viitteet:       
  http://e-maxx.ru/algo/euler_function   
  http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function  
   https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html  
   http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/